Probleme: aria si volumul sferei

Probleme de Matematica Capacitate – Aria si volumul sferei

1. Dintr-o bara de otel, sub forma de prisma patrulatera regulata cu latura bazei de 12 cm si inaltimea de 4,5 m, se strunjeste un ax cilindric, cu pierdere minima de material. Sa se afle volumul axului obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 1

R=\frac{12}{2}=6;

V=\pi\cdot36\cdot450=16200\pi\ {cm}^3

2. Sa se afle volumul unui cilindru circular drept inscris intr-o prisma triunghiulara regulata dreapta care are latura bazei de 4\sqrt3 dm si inaltimea de 10 dm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 2

R\sqrt3=4\sqrt3=> R=4; V=\pi\cdot16\cdot10=160\pi\ {dm}^3

3. Un con circular drept are raza bazei de 6 cm si generatoarea de 10 cm. Gasiti volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 3

h=\sqrt{100-36}=8;

\ V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot8\pi=96\pi\ {cm}^3

4. Un triunghi dreptunghic ABC m(∢A=90°) se roteste, pe rand, in jurul catetelor si apoi al ipotenuzei. 

  1. Daca AB = 5 dm si AC = 12 dm, gasiti cele trei volume V_1,\ V_2 si \ V_3.
  2. Daca AB = c, AC = b, V_1 si V_2 sunt volumele obtinute prin rotirea triunghiului in jurul catetelor, iar V prin rotirea in jurul ipotenuzei, aratati ca:

\frac{1}{V^2}=\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}.

Rezolvare:

a.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot12=100\pi\ {dm\ }^3;

V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot144\cdot5=240\pi\ {dm\ }^3;

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 4

BC=\sqrt{25+144}=13; AO=\frac{12\cdot5}{13}=\frac{60}{13}; OB=\frac{144}{13}; OC=\frac{25}{13}; \ V_3=\frac{1}{3}\cdot\pi\ \frac{{60}^2}{{13}^2}\cdot\left(\frac{144}{13}+\frac{25}{13}\right)= \frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3600}{13}=\frac{1200}{13}\pi\ {dm\ }^3

b.

\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot c^2\cdot b\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot c\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}\right)= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\frac{a^2}{c^2\cdot b^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{b^2}{a}+\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{c^2}{a}= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{h^2}{a}\cdot a^2= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot a \frac{1}{V^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{c^2\cdot b^2}{a^2}\cdot a\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

5.*Un con circular drept are raza bazei . El are trei generatoare doua cate doua perpendiculare.

  1. Aflati volumul conului.
  2. Rezolvati problema in cazul general, cand raza bazei este r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 5

m\left(\sphericalangle AOB\right)=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ};

AB=2\cdot\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r2\sqrt3}{2}=r\sqrt3;

VA=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{{3r}^2}=\frac{r\sqrt3}{\sqrt2};

H=\sqrt{\frac{{3r}^2}{2}-r^2}=\frac{r}{\sqrt2};

\ V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\frac{r}{\sqrt2}= \frac{\sqrt2}{6}\cdot\pi\cdot r^3;

V=\frac{0.256}{3}\pi\sqrt2\ m^3

6. *Calculati volumul unui con circumscris unui tetraedru regulat de muchie a = 6 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 6

r=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3;

h=\sqrt{36-12}=2\sqrt6;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot12\cdot2\sqrt6=8\pi\sqrt6\ m^3

7. Un dreptunghi cu laturile si se roteste in jurul lui a si apoi in jurul lui b.

  1. In ce caz se obtine aria laterala mai mare?
  2. In ce caz se obtine volumul mai mare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 7

AB=a;BC=b;

A_{L1}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\cdot b=ab\pi;

\ A_{L2}=2\pi\cdot\frac{b}{2}\cdot a=ab\pi

Ariile laterale sunt egale.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot a^2\cdot b;

\ V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot a=>V_2>V_1

8. Un trapez dreptunghic ABCD (m(∢B)=m(∢C)=90°) se roteste in jurul unei paralele cu BC, distanta de la BC la axa fiind de 3 cm (se considera axa in planul trapezului, dar in afara lui). Daca AB = 12 cm, AD = 10 cm si CD = 4 cm, sa se afle aria totala si volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 8

R=AB+3=15; r=DC+3=7; G=AD=10;

H=\sqrt{100-64}=6;

A_T=\pi\left(R+r\right)G+\pi r^2+\pi

R^2=\pi\left(150+70+144+49\right)= 413\pi\ {cm}^2;

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \frac{6\pi}{2}\left(144+49+84\right)=831\pi\ {cm}^3.

9. Aria totala a unui cilindru circular drept este de 132π cm2, iar cea laterala 96π cm2. Sa se afle volumul cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 9

A_{.T}=2\pi r^2+2\pi ra= 2\pi r\left(r+a\right)=132\pi;

A_{.L}=2\pi ra=96\pi 2\pi r^2= 132\pi-96\pi=36\pi=>r=3\sqrt2;

a=8\sqrt2;

V=18\pi\cdot8\sqrt2=144\pi\sqrt2\ {cm}^3

10. Un con se desfasoara pe un plan dupa un semicerc cu diametrul de 20 cm. Sa se afle volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 10

g=R=10; 2πr=πR=10π => r=5

h=\sqrt{100-25}=5\sqrt3;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot5\sqrt3=\frac{125\sqrt3}{3}\pi\ {cm}^3

11. *Un trapez dreptunghic se roteste, o data in jurul bazei mici, alta data in jurul bazei mari. Cunoscand volumele V_1 si V_2 ale corpurilor astfel obtinute, precum si latura a perpendiculara pe baze, sa se calculeze, in functie de V_1, V_2 si a, diferenta dintre bazele trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 11

V_1=\pi a^2b+\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right);

V_2=\pi a^2B-\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

V_2-V_1=\pi a^2\left(B-b\right)-\frac{2}{3}\pi a^2\left(B-b\right)= \frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

B-b=3\cdot\frac{V_2-V_1}{\pi a^2}

12. *Intr-un con circular drept cu diametrul bazei egal cu 12\sqrt2 cm si inaltimea egala cu 6 cm, se inscrie un cub astfel incat o fata a sa sa se gaseasca in planul bazei conului, iar varfurile celelilalte baze sa fie situate pe panza conica.

  1. Sa se gaseasca volumul cubului.
  2. Rezolvati aceeasi problema in cazul cand diametrul bazei cercului este 2a\sqrt2 si inaltimea conului a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 12

Facem o sectiune axiala in con, determinata de sectiunea ACC’A’ prin cub. Notam cu xlatura cubului si tinanc cont de asemanarea triunghiurilor AVC si PVQ, obtinem:

\frac{x\sqrt2}{2a\sqrt2}=\frac{a-x}{a}=> x=\frac{2a}{3},V=\frac{8a^3}{27}.

Daca a=6 cm=>

x=4 cm, V= 64 cm3

13. Un con circular drept, care are raza bazei de 8 m si inaltimea de 16 m, se taie cu un plan paralel cu planul bazei, determinand astfel un trunchi de con de inaltime de 12 m.

  1. Sa se calculeze volumul trunchiului de con format.
  2. Sa se determine la ce distanta de planul bazei trebuie sa se faca o sectiune in con, printr-un plan paralel cu baza, astfel ca ariile laterale ale celor doua corpuri formate sa fie egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 13

Raportul de asemanare dintre conul mic si conul mare este 1/4:

V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot1024\ {cm}^3;

V_{con\ mic}=\frac{1}{4^3}\cdot V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot16\ {cm}^3;

V_{trunchi}=V_{con\ mare}-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{3}\cdot1024-\frac{\pi}{3}\cdot16=336\pi\ {cm}^3;

A_{l\ con\ mare}=k^2\cdot\ A_{l\ con\ mic};

A_{l\ con\ mic}=A_{l\ trunchi}=>

k=\frac{1}{\sqrt2};

\frac{h}{16}=\frac{\sqrt2}{2}=>h=8\sqrt2;

d=16-8\sqrt2=8\left(2-\sqrt2\right)cm.

14. Un triunghi dreptunghic ABC, (m(∢A)=90°) se roteste in jurul perpendicularei in B pe BC. Daca AB = 3 cm si AC = 4 cm, gasiti volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 14

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right);

BC=5; h=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}; R=5; r=\frac{9}{5};

V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \pi\frac{12}{15}\left(25+\frac{81}{25}+9\right)= \pi\frac{4}{5}\cdot\frac{931}{25};

V_{con\ mic}=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{81}{25}\cdot\frac{12}{5}= \pi\cdot\frac{27}{25}\cdot\frac{12}{5};

V_{corp}=V-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{125}\cdot\left(3724-324\right)=27,2\pi\ {cm}^3

15. Un trunchi de con circular drept are aria laterala 220\ \pi\ {cm}^2 si generatoarea 10 cm. Stiind ca raportul razelor trunchiului este de 4 : 7, sa se afle aria totala si volumul trunchiului de con.

Rezolvare:

A_l=\pi\left(R+r\right)G=10\pi\left(R+r\right)=220\ \pi=>R+r=22;

\frac{r}{R}=\frac{4}{7} =>r=\frac{4R}{7}=> \frac{11R}{7}=22=> R=14,\ r=8

A_t=220\ \pi+196\pi+64\pi=480\pi\ {cm}^2;

h=\sqrt{100-36}=8;

V=\frac{\pi8}{3}\left(196+64+112\right)=992\pi\ {cm}^3

16. Intr-o sfera cu raza R = 5 m, se inscrie un con cu inaltimea h = 8 m. Sa se afle:

  1. Aria si volumul sferei
  2. Aria si volumul conului
  3. Ariile calotelor formate

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 15

A_{sfera}=4\pi\cdot R^2=100\pi\ m^2;

\ V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500}{3}\pi\ m^3;

m\left(\sphericalangle VBM\right)=90^{\circ};

 VO=ON=OM=5;O^\prime M=2;OO^\prime=3=>

O^\prime B=\sqrt{25-9}=4\ r=4;

AB=g=\sqrt{64+16}=4\sqrt5

A_{con}=\pi\cdot r^2+\pi rg=16\pi+16\sqrt5\pi= 16\pi\left(1+\sqrt5\right)\ m^2

V_{con}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot16\cdot\pi=\frac{128}{3}\pi\ m^3

A_{calota\ mica}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot2=20\pi\ m^2;

A_{calota\ mare}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot8=80\pi m^2

17. Un con circular drept, in care generatoarele fac unghiuri de 30° cu inaltimea, taie dintr-o sfera, cu centrul in varful conului, o calota. Raza sferei fiind R, sa se afle aria calotei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 16

OA=OB=R;m(∢AOB)=30°+30°=60°=>AB=R;

O^\prime=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{R\sqrt3}{2};

H=O^\prime M=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}

A_{calota\ }=2\pi R\cdot H=2\pi R\cdot\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}=\pi R^2(2-\sqrt3)

18.*O piramida, cu baza patrat de latura a, are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale. Calculati raza semisferei cu centrul in centrul bazei piramidei si tangenta la fetele laterale ale piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 17

V=\frac{a^2}{3}\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a^3\sqrt2}{6};

V=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{r}{3}=>

\frac{a^3\sqrt2}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{3}\cdot r

=>r=\frac{a\sqrt6}{6}

19. Daca doua cercuri necoplanare au doua puncte comune, atunci ele sunt situate pe aceeasi sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 18

OA=OB=r=>Centrul sferei se afla pe planul mediator al coardei comune.

20.*Daca un poliedru are toate varfurile sale pe o sfera, atunci toate fetele sale sunt poligoane inscriptibile.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 19

Varfurile unei fete apartin intersectiei planului acelei fete cu sfera, care este un cerc.

21.*Piramida VABCD are baza ABCD dreptunghi. Ducem CP⊥VA (P∈AV), iar din D ducem DQ⊥VB (Q∈BV). Demonstrati ca PQBA este un patrulater inscriptibil.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 20

⊿APCeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul AC;

⊿DQBeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul BD

Dar BD=AC => consideram sfera cu diametrul egal cu diagonala dreptunghiului. P, Q, A, B sunt coplanare si se afla pe aceeasi sfera => patrulaterul este inscriptibil.

22. Daca exista o sfera tangenta la toate muchiile unui tetraedru, atunci suma oricaror doua muchii opuse ale tetraedrului este aceeasi. (Prin muchii opuse intelegem doua muchii care n-au niciun varf comun.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 21

Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc la un cerc din acelasi plan sunt congruente ceea ce face ca segmentele care unesc un varf cu punctele de tangenta ale fetelor care il contin sa fie congruente => laturile pot fi determinate in functie de aceste tangente.Daca le notam cu a, b, c, d:

BM=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

AN=\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{a^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}

=>AD+BC=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+

\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

Egalitate valabila pentru orice muchii opuse.

23.*Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Fie M si N doua puncte variabile astfel incat MA⊥AN,MB⊥BN,  MC⊥NC, MD⊥ND Sa se arate ca segmentul MN are lungimea constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 22

⊿MAN, ⊿MBN sunt dreptunghice => A si B apartin unui cerc de diametru MN => OA=OB, unde O este mijlocul segmentului MN

⊿MAN, ⊿MDN sunt dreptunghice => A si D apartin unui cerc de diametru MN =>OA=OD;

⊿MAN, ⊿MCN sunt dreptunghice => A si C apartin unui cerc de diametru MN=>OA=OC;

=>OA=OB=OC=OD;

=> A, B, C, D apartun unei sfere de diametru MN circumscrisa tetraedrului ABCD

Aria si volumul sferei

Aria sferei

Suprafata unei sfere nu se poate “aseza” pe un plan.

Vom incepe prin a studia aria laterala a unui trunchi de con circular drept inscris in sfera (fig.19.8).

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 23
Fig. 19 8

Daca sectionam figura cu un plan ce trece prin cele doua centre C si D ale bazelor trunchiului de con, plan ce va trece prin centrul O al sferei, intersectia cu sfera va da un cerc cu centrul in O. Generatoarea trunchiului de con va fi o coarda AB in acest cerc. Fie M mijlocul acestei coarde. Lungimea MN a perpendicularei din M pe dreapta OC este egala cu \frac{R+r}{2}. Daca P este piciorul perpendicularei din A pe BD, atunci ⊿OMN este asemenea cu ⊿APB, deci \frac{MN}{OM}=\frac{AP}{AB} sau MN\cdot AB=OM\cdot AP. Deci, aria laterala a trunchiului de con circular drept poate fi scrisa A_l=\pi\cdot2\ MN\cdot AB= \pi\cdot2 OM\cdot AP= 2\cdot\pi\cdot OM\cdot CD. Aceasta permite sumarea unor astfel de arii, deoarece OM este acelasi. Anume:

Sa consideram o  “zona sferica”, sectionata cu un plan ce trece prin centrele C, D ale cercurilor ce o formeaza (fig. 19.9).

Sa facem in acest caz un rationament mai riguros decat in cazul celorlalte suprafete curbe pe care le-am considerat pana acum.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 24
Fig. 19 9

Sa impartim arcul AB in n parti egale prin punctele A=A_0,\ A_1,\ \ldots,A_n=B si sa consideram cele n trunchiuri de con circular drept ce au ca generatoare A_kA_{k+1} si drept centre ale fetelor (bazelor) proiectiile D_kD_{k+1} ale lui A_kA_{k+1} pe CD.

Suma ariilor laterale ale acestor trunchiuri de con va aproxima aria zonei sferice.

Fie M_k mijlocul lui A_kA_{k+1}. Stim ca aria laterala a trunchiului de con respectiv este \pi\cdot2OM_k\cdot D_kD_{k+1} . Dar OM_k este acelasi pentru toti k, deci suma acestor arii este 2\pi OM_k\cdot CD.

Facand pe n tot mai mare, A_kA_{k+1} devine tot mai mic, OM_k se apropie de raza R a sferei. Deci:

Aria unei zone sferice este egala cu 2\pi R\cdot H unde R este raza sferei din care face parte, iar H este distanta dintre acele plane care determina zona sferica. Aceasta formula se foloseste si la calculul ariei unei calote sferice.

Pentru H=2R obtinem toata sfera, deci aria sferei de raza R este egala cu \large {\color{Blue} 4\pi\cdot R^2}.

Volumul sferei

Volumul unei sfere de raza R este egal cu o treime din produsul dintre aria acestei sfere si raza ei, adica:

\large {\color{Blue} V=\frac{4}{3}\pi R^3.}

Aceasta afirmatie se poate argumenta in acelasi mod in care s-a argumentat faptul ca aria cercului este egala cu o jumatate din produsul dintre lungimea cercului si raza. Vom presupune sfera umpluta cu piramide cu varfurile in centrul ei si bazele patrulatere cu varfurile pe sfera. Vom observa ca inaltimile lor aproximeaza raza sferei, iar suma ariilor bazelor lor aproximeaza aria sferei. Suma volumelor lor va aproxima volumul sferei si va fi o treime din inaltimea cumuna (raza sferei) inmultita cu suma ariilor bazelor (aria sferei).

\large {\color{Blue} V=\frac{R}{3}\cdot4\pi R^2=\frac{4\pi R^3}{3}.}

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 25
Fig. 19 10

Problema rezolvata. Un trapez are bazele de 30 cm si 45 cm, iar laturile neparalele de 9 cm si 12 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul corpului obtinut prin rotirea trapezului in jurul laturii de 12 cm.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 26
Fig. 19 11

Rezolvare. Inainte de a incepe rezolvarea propriu-zisa a problemei, atragem atentia asupra modului in care este bine sa faceti desenul corpurilor de rotatie.

Cand vreti sa vedeti ce forma are un corp, provenind din rotirea unei figuri plane in jurul unei axe, este bine sa procedati in modul urmator: desenati simetrica figurii plane A’ fata de axa, iar cu extremitatile in varfurile simetrice duceti elipse, cu axa mai mica cat mai mica.

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu {P}=AD\cap BC si CC’∥AD, ⊿CC’ B≡⊿PAB=>\frac{AP}{9}=\frac{BP}{12}=\frac{45}{15}=3, AP=27 cm, BP=36 cm.Din ⊿CC’B∼⊿PDC, PC=24 cm Observam ca {AP}^2+{BP}^2={AB}^2, ({27}^2+{36}^2={45}^2).. Deci ∢APB=90°. Fie A’ si D’ simetricele lui A si D fata de BC, ele se vor gasi in prelungirea lui AP. Descriem cercuri cu diametrele AA’ si DD’ (pe care le desenam in spatiu asa cum se vede in figura 19.11). Simetricele punctelor B si C fata de axa de rotatie coincid cu ele insele.

Deci, acum observam ca s-a format un con circular drept (cu varful in B si cu baza cercul de diametru AA’) din care lipseste un alt con (cu varful in C si cu baza cercul de diametru DD’), asemenea cu el.

Volumul conului mic este v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}\ {cm}^3.

Volumul conului mare este V=\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}\ {cm}^3. Deci,

V-v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}-\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}

=\frac{\pi9^2\cdot12}{3}\left(3^2\cdot3-2^2\cdot2\right)= \pi9^2\cdot4\cdot19=6156\pi

{\ V}^\prime=6156\pi\ {cm}^3.

Pentru a calcula aria totala, vom observa asemanarea dintre cele doua conuri, raportul de asemanare fiind \frac{2}{3}. Notand cu A_l aria laterala a conului mic si cu {A\prime}_l aria laterala a conului mare, putem scrie:

\frac{A_l\ }{{A^\prime}_l\ }= \frac{4}{9}; \ A_l=\frac{4}{9}\cdot\pi\cdot27\cdot45= 540\ \pi\ {cm}^3.

A^\prime=540\pi+1215\pi+405\pi=2160\pi; A^\prime=2160\pi\ {cm}^3