Probleme: Volumul prismei triunghiulare

1. O prisma dreapta are ca baza un triunghi echilateral cu latura de 6 cm. Stiind ca aria laterala a prismei este de 288 cm2, sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 1

A_l=3\cdot AB\cdot h= 18\cdot h=288=>h=16;

V=16\cdot A_{ABC}= 16\cdot\frac{36\sqrt3}{4}=144\sqrt3

2. O prisma are baza un paralelogram cu dimensiunile de 6 cm si 8 cm si unghiul ascutit egal cu 60°. Stiind ca inaltimea prismei este de 10 cm, sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 2

DE=\frac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3;

V=8\cdot3\sqrt3\cdot10=240\sqrt3

3. O prisma hexagonala regulata are aria totala de 224\sqrt3\ m^2 si cea laterala de \ 200\sqrt3\ m^2. Sa se calculeze volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 3

A_B=\frac{A_T-A_L}{2}= 12\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot l^2 =>l=2\sqrt2;

AA^\prime=\frac{200\sqrt3}{6}\cdot\frac{1}{2\sqrt2}= \frac{25}{3}\sqrt6;

V=12\sqrt3\cdot\frac{25}{3}\sqrt6=300\sqrt2

4. O prisma triunghiulara are ca baza un triunghi dreptunghic cu catetele de 5 m si 12 m. Muchiile laterale sunt egale cu 6 m si fac cu planul bazei unghiuri de 45°. Sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 4

Ducem inaltimea prismei din A’. Se va forma un triunghi dreptunghic isoscel (avand un unghi de 45°) cu ipotenuza AA’. Aplicand teorema lui Pitagora, obtinem:

2\cdot h^2=36=>h=3\sqrt2;

V=\frac{5\cdot12}{2}\cdot3\sqrt2=90\sqrt2

5*. O prisma dreapta are ca baza un patrat de latura a. Stiind ca diagonala prismei formeaza cu o fata laterala ce porneste din acelasi varf un unghi de 30°, sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 5

A^\prime C=2\cdot BC=2a;

{A^\prime C}^2=a^2+a^2+h^2=4a^2=>

h=a\sqrt2;

V=a^3\sqrt2

6. Baza unei prisme oblice este patrulaterul ABCD in care diagonalele sunt perpendiculare intre ele. Sectiunea diagonala AA’C’C este perpendiculara pe planul bazei si are aria egala cu a2, iar diagonala BD=b. Sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 6

(AA’C’C)⊥(ABCD)=>AA’⊥(ABCD), deci este inaltime.

S_{AA^\prime C^\prime C}=AA^\prime\cdot AC= H\cdot AC=a^2; AC\bot BD;

\ S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}= \frac{1}{2}\cdot BD\cdot AC= \frac{b}{2}\cdot AC;

V=S_{ABCD}\cdot H= \frac{b}{2}\cdot AC\cdot H= \frac{a^2b}{2}

7. Se considera paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’cu dimensiunile AB = 16 cm, BC = 12 cmsi AA’ = 3,2 cm. Pe muchia AB se ia AI = 4 cm, iar pe muchia AD se ia AL = 3 cm si se sectioneaza paralelipipedul cu planul A’IL. Se cere:

  1. volumul poliedrului ramas dupa inlaturarea tetraedrului A’AIL;
  2. aria totala a poliedrului ramas.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 7

V=V_{ABCDA\prime B\prime C\prime D\prime}-V_{A^\prime A I L}=

16\cdot12\cdot\frac{32}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot3\cdot4\cdot\frac{32}{10}= \frac{16}{5}\cdot190=608

A=A_{A^\prime B^\prime B I}+A_{BB^\prime C^\prime C}+A_{CC^\prime D^\prime D}+ A_{LDD^\prime A^\prime}+A_{A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}+A_{LIBCD} =

\left(A_{AA^\prime B^\prime B}-A_{ALA\prime}\right)+ \left(12\cdot3,2\right)+\left(16\cdot3,2\right)+ \left(A_{ADD^\prime A^\prime}-A_{LAA^\prime}\right)+

\left(16\cdot12\right)+(A_{ABCD}-A_{AIL)}=

 16\cdot3,2-\frac{1}{2}\cdot3,2\cdot4+ 38\cdot3,2+3,2\cdot12-\frac{1}{2}\cdot3,2\cdot3+

16\cdot12+16\cdot12-\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=

 3,2\cdot64-1,6\cdot3+16\cdot24=584

8. O prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’ are diagonala de 13 cm si raza cercului circumscris bazei de 6 cm. Sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 8

DD^\prime=\sqrt{169-144}=5;

\ A_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot12=72;

V=72\cdot5=360\ {cm}^3

9. In figura 13.8 este desenata o prisma hexagonala regulata dreapta. Stiind ca EB’ = 26 cm si apotema bazei OP=\frac{5\sqrt3}{2}\ cm, sa se determine volumul si aria laterala a prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 9
fig. 13 8

⊿BOC este echilateral =>

OP=\frac{\sqrt3}{2}\cdot OB= \frac{5\sqrt3}{2}=>OB=5;

B^\prime B=\sqrt{{26}^2-100}=24;

V=6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5\sqrt3}{2}\cdot5\cdot24= 900\sqrt3\ {cm}^3;

A=6\cdot5\cdot24=720\ {cm}^2

10. In figura 13.8, care reprezinta o prisma hexagonala regulata dreapta, se cunosc AB = 6 cm si F’D = 12 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 10
fig. 13 8

FM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot FE=3\sqrt3=>

FD=6\sqrt3;

F^\prime F=\sqrt{144-108}=6;

A=2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot\sqrt3\cdot36+36\cdot6= 108\cdot(2+\sqrt3)

V=3\cdot\sqrt3\cdot36\cdot\frac{1}{2}\cdot6=324\sqrt3

11. O prisma oblica are bazele hexagonale regulate ABCDEF si A’B’C’D’E’F’ si ca inaltime A’O, O fiind centrul bazei ABCDEF. Daca latura hexagonului este de 4 cm si m(∢AA’O)=60°, sa se calculeze:

  1. volumul prismei;
  2. unghiul fetei ABB’A’ cu planul bazei. (Valoarea unei functii trigonometrice a acestui unghi).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 11

A^\prime O=\frac{2}{\sqrt3}\cdot AO=\frac{4\sqrt3}{3};

V=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot16\cdot\frac{48\sqrt3}{3}=96

OG=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt3;

tg\ \sphericalangle A^\prime GO=\frac{A^\prime O}{GO}=\frac{4\sqrt3}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt3}=\frac{2}{3}

12. Pe o masa se gaseste o vaza plina cu apa, avand forma unui paralelipiped dreptunghic, cu baza un patrat de latura 8 cm si inaltimea egala cu 12 cm. Se inclina vasul, astfel incat una din muchiile bazei sa ramana pe masa, pana cand portiunile neudate ale muchiilor au lungimea de 4 cm. Dupa aceasta vasul revine in pozitia intitiala. La ce inaltime se ridica apa ramasa?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 12

V_{Ramas}=V_{ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}-V_{MA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime N}=

8\cdot8\cdot12-4\cdot8\cdot12\cdot\frac{1}{3}=640;

8∙8∙h=640=>h=10 cm

13*. Un tetraedru are fetele laterale triunghiuri isoscele cu unghiurile de la varful comun format de laturile congruente de 30° si muchia laterala a. Sa se afle volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 13

⊿AVB≡⊿AVC≡⊿CVB (L.U.L)=>AB=BC=AC

VO⊥(ABC);OM⊥BC=>VM⊥BC;m(∢MVB)=15°;

BM=a\cdot\sin{15}^{\circ}; BC=2\cdot a\cdot\sin{15}^{\circ};

VM=\sqrt{a^2-a^2\cdot\sin^2{15}}

AM=\sqrt3\cdot a\cdot\sin{15}^{\circ};

OM=\frac{1}{3}\cdot\sqrt3\cdot a\cdot\sin{15}^{\circ};

VO=\sqrt{a^2-a^2\cdot\sin^2{15}-3\cdot a^2\cdot\sin^2{15}}= \sqrt{a^2-{4\cdot a}^2\cdot\sin^2{15}};

V=\frac{\sqrt3}{4}\cdot a^3\cdot \sin^2{15}\cdot\sqrt{1-4\cdot\sin^2{15}}

14.* Un paralelipiped are toate muchiile egale cu a si toate fetele sunt romburi, avand un unghi ascutit de 60°. Sa se calculeze volumul paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 14

B’M⊥(ABCD); MN⊥AB; MP⊥BC => B’N⊥AB; B’P⊥BC;

B^\prime N=\frac{a\sqrt3}{2}; NB=\frac{a}{2};BM=2MN;

\ 4{MN}^2={MN}^2+\frac{a^2}{4}

=>MN=\frac{a\sqrt3}{6};

 B^\prime M=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}= \frac{a\sqrt6}{3};

V=\frac{a^3\sqrt2}{2}

15. In cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, O este centrul sau, O1 cel al fetei ABCD, O2, cel al fetei BB’C’C, O3 al fetei CDD’C’, M mijlocul lui DC, N mijlocul lui CC’, P al lui CB. Dupa inlaturarea cubului, O1PCMOO2NO3 cum s-a modificat aria corpului ramas fata de aria totala a cubului. Dar volumul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 15

A_{modificata}=A_{totala}-S_{PO_2NC} -S_{O_1PCM}-S_{O_3NCM}+ S_{O_3MO_1O}+S_{O_2PO_1O}+ S_{O_1MO_3O}=A_{totala};

V_{modificat}=V_{total}-\frac{a^3}{8}

16. In cubul ABCDA’B’C’D’, M este mijlocul muchiei AD, iar N este mijlocul muchiei CD. Stiind ca MN=5\sqrt2\ m, sa se afle volumul si aria totala a cubului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 16

MN este linie mijlocie in ⊿ADC=> AC=2\cdot MN=10\sqrt2=>

AB=\sqrt{100}=10; \ A=600\ {cm}^2; V=1000\ {cm}^3

17. In cubul ABCDA’B’C’D’, N este mijlocul muchiei C’B’. Segmentul AN=3 dm. Sa se afle aria totala si volumul cubului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 17

Ducem NP∥BB’ => BP=B’N =\frac{a}{2}=>

{AP}^2={BP}^2+{AB}^2= a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}=>

{NP}^2+{AP}^2={AN}^2=> a^2+\frac{5a^2}{4}=9=> 9a^2=36=>a=2;

A=24\ {dm}^2;V=8\ {dm}^3

18. Suma tuturor muchiilor unui paralelipiped dreptunghic este de 48 m, iar diagonala de 5\sqrt2 m. Sa se afle aria totala a paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 18

4\cdot\left(a+b+h\right)=48

=>a+b+h=12=>

 a^2+b^2+h^2+2ab+2ah+2bh=144

a^2+b^2+h^2=50=> 2ab+2ah+2bh=94

A=2ah+2bh+2ab=94

19. O prisma dreapta cu baza un trapez oarecare ABCD, cu AB∥CD, AB=25 cm, CD=8 cm, BC=13 cm si inaltimea de 5 cm, este sectionata cu doua plane paralele ce trec prin D si C si sunt perpendiculare pe CD. Sa se calculeze volumele si ariile corpurilor formate, stiind ca inaltimea prismei este de 10 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 19

CN\bot NB=> CN=\sqrt{169-25}= \sqrt{144}=12;

A_{NBCC^\prime Q B^\prime}= \frac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot2+13\cdot10+5\cdot10+12\cdot10= 360\ {cm}^2;

V_{NBCC^\prime Q B^\prime}= \frac{1}{2}\cdot NC\cdot NB\cdot QN= \frac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot10=300\ {cm}^3;

A_{MNCDD^\prime C^\prime Q P}= 2\cdot8\cdot10+2\cdot5\cdot10+2\cdot8\cdot5= 340\ {cm}^2;

V_{MNCDD^\prime C^\prime Q P}= 8\cdot5\cdot10=400\ {cm}^3;

AM=25-12-8=5; AD=5\sqrt2

A_{AMDD^\prime A^\prime P}= \frac{1}{2}\cdot2\cdot5\cdot5+10\cdot5+10\cdot5+10\cdot5\sqrt2= 125+50\sqrt2\ {cm}^2;

V_{AMDD^\prime A^\prime P}= \frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot10=125\ {cm}^3