Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu

1. Un segment AB = 10 cm face cu planul α un unghi de a) 45°; b) 30°; c) 60°. Aflati masura proiectiei segmentului AB pe planul α, in cele trei cazuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 1

Cos ∢ABC  =\frac{BC}{AC}=\cos{45^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt2} =>BC=5\sqrt2\ cm;

Cos ∢ABC =\frac{BC}{AC}=\cos{60^{\circ}}=\frac{1}{2} =>BC=5\ cm

Cos ∢ABC =\frac{BC}{AC}=\cos{30^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2} =>BC=5\sqrt3\ cm

2. Triunghiul dreptunghic ABC (m(∢A)=90°) are cateta AB continuta in planul . Proiectia punctului C pe este C’. Sa se demonstreze ca triunghiul ABC’ este dreptunghic.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 2

{BC}^2={AC}^2+{AB}^2 =>{AB}^2={BC}^2-{AC}^2

{AC}^2={CC^\prime}^2+{AC^\prime}^2 =>{AC^\prime}^2={AC}^2-{CC\prime}^2

{BC}^2={CC^\prime}^2+{C^\prime B}^2 =>{C^\prime B}^2={BC}^2-{CC\prime}^2

=>{C^\prime B}^2={AC^\prime}^2+{BC\prime}^2

=>⊿AC’B este dreptunghic

3. Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (m(∢A)=90°) are latura BC continuta in planul α, si se proiecteaza pe acest plan dupa A’BC. Stiind ca m(∢BA’C)=120° si ca BC=a, sa se afle:

  1. Inaltimea A’D (D∈BC) a triunghiului BA’C in functie de a;
  2. Una din functiile trigonometrice ale unghiurilor formate de AB si AC cu planul .

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 3

AB=AC=b;

2b^2=a^2 =>b=\frac{a\sqrt2}{2};

BA^\prime=A^\prime C  =>\ BD=\frac{a}{2};

m\left(\measuredangle DA^\prime B\right)=60^{\circ};

tg∢DA’B =\frac{DA^\prime}{BD}= \frac{2DA^\prime}{a}= \sqrt3 =>DA^\prime=\frac{a}{2\sqrt3}

{AD}^2={AB}^2-{BD}^2= \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{8}= \frac{{3a}^2}{8} =>AD=\frac{a\sqrt6}{4};

{AA^\prime}^2= {AD}^2-{DA^\prime}^2= \frac{3a^2}{8}-\frac{a^2}{12} =>AA^\prime=\frac{a}{\sqrt6};

tg∢ABA’ =\frac{AA^\prime}{BA^\prime}= \frac{a}{\sqrt6}\cdot\frac{2}{A}=\frac{\sqrt6}{3}

4. Se da unghiul xOy si un punct M ce nu apartine planului unghiului. Sa se arate ca, daca proiectia lui M pe planul unghiului apartine bisectoarei acestuia, atunci punctul M este egal departat de laturile unghiului xOy.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 4

Fie MN⊥ON; ∢AON≡∢BON, NA⊥Ox;NB⊥Oy;=>NA≡NB;

MN⊥NA;MN⊥NB=>⊿NMA≡⊿NMB(c.c.)=>MB≡MA

5. Un trapez dreptunghic ABCD (AB∥CD, m(∢A)=90°) are baza AB continuta in planul α. Stiind ca AB=5 cm, CD=2 cm, BC=6 cm, si ca planul trapezului formeaza cu α un unghi egal cu unghiul sau ascutit, se cere:

  1. Sa se arate ca patrulaterul ABC’D’, (C’, D’ – proiectiile lui C si D pe α) este trapez dreptunghic.
  2. Sa se calculeze dimensiunile trapezului ABC’D’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 5

a. AD⊥AB, AB⊂α; DD’⊥α, AD’⊂α => DD’⊥AD’ => AD’⊥AB (conform teoremei celor trei perpendiculare);

AB∥DC; AB⊂α => AB∥α; D’C’⊂α => AB∥D’C’

ABC’D’ este trapez dreptunghic.

b. {AD}^2={BC}^2-\left(AB-DC\right)^2= 36-9=27 =>AD=3\sqrt3;

\sin{ \sphericalangle CBA}=\frac{AD}{BC}= \frac{3\sqrt3}{6}= \frac{\sqrt3}{2}=\sin{\sphericalangle D A D^\prime}=\frac{DD^\prime}{AD}= \frac{DD^\prime}{3\sqrt3}=>

DD^\prime=\frac{9}{2}; {AD^\prime}^2= 27-\frac{81}{4}= \frac{27}{4}=>AD^\prime= \frac{3\sqrt3}{2};

D^\prime C^\prime=2; {BC^\prime}^2=\left(AB-D\prime C\prime\right)^2+ {AD^\prime}^2= 9+\frac{27}{4} =>BC^\prime=\frac{3\sqrt7}{2}

6. Un segment AB se proiecteaza pe un plan  dupa A’B’. Stiind ca A^\prime B^\prime=\frac{3}{5}AB, sa se calculeze tangenta unghiului format de segmentul AB cu α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 6

Consideram M∈MB, AB≡A’M=>ABMA’ dreptunghi => AB = A’M

In triunghiul dreptunghic A’MB : A^\prime B^\prime=\frac{3}{5}A^\prime M;

{A^\prime M}^2= {MB^\prime}^2+{A^\prime B^\prime}^2 =>MB^\prime= \sqrt{{A^\prime M}^2-\frac{9}{25}{A^\prime M}^2}= \frac{4}{5}A^\prime M=> tgMA^\prime B^\prime= \frac{MB^\prime}{A^\prime B^\prime}= \frac{4}{3}

7. Un triunghi echilateral ABC cu latura de 6 cm se proiecteaza pe un plan α, ce contine punctul A, dupa AB’C’. Se stie ca m(∢B’AC’)=90°, AB si AC fac cu α unghiuri congruente, si ca sunt de aceeasi parte a lui α. Sa se calculeze unghiul format de AB si AC cu α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 7

Cos ∢CAC’ =cos ∡BAB’ =\frac{x}{6}=\frac{y}{6} =>x=y;2x^2=36 =>x=3\sqrt2;

Cos ∢CAC’ =cos ∡BAB’ =\frac{\sqrt2}{2}=>

m(∢CAC’)=m(∢BAB’)=45°

8. Doua oblice, care pleaca din acelasi punct exterior unui plan, au lungimile de 20 cm si 16 cm. Proiectia pe plan a primei oblice este de 15 cm. Sa se afle lungimea proiectiei celei de-a doua oblice.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 8

Ducem un plan paralel cu (ABC) care intersecteaza planul initial in punctele E si F si dreapta AD in G.

{GD}^2={GF}^2-{DF}^2= {GE}^2-{DE}^2 =>400-225=256-{DF}^2=> {DF}^2=81=>DF=9

9. Triunghiul ABC se proiecteaza pe planul , care contine pe BC, dupa triunghiul A’BC. Stiind ca: m(∢BA^’ C)=90°, m(∢ABC)=45°, m(∢BAC)=75° si ca inaltimea AD a triunghiului ABC, (D∈BC) are lungimea a, sa se calculeze:

  1. Segmentele BD si DC in functie de a;
  2. Inaltimea corespunzatoare a laturii BC a triunghiului BA’C;
  3. Cosinusurile unghiurilor formate de AB si AC cu planul α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 9

tg∢ABC =\frac{AD}{BD}= \frac{a}{BD}=1 =>BD=a;AB=a\sqrt2;

tg∢ACB =\frac{AD}{CD}= \frac{a}{CD}=\sqrt3 =>CD=\frac{a\sqrt3}{3}\ ; AC=a\sqrt{\frac{2}{3}}

BC=a+\frac{a\sqrt3}{3}

AD⊥BC;AA’⊥AD=>AD⊥BC; {A^\prime D}^2=BD\cdot CD=\frac{a^2\sqrt3}{3};

 {A^\prime C}^2=\frac{a^2\sqrt3}{3}+\frac{a^2}{3}= \frac{a^2}{3}\left(\sqrt3+1\right) =>A^\prime C=\frac{a}{\sqrt3}\sqrt{\sqrt3+1}\ ;

\cos{ACA\prime}=\frac{A^\prime C}{AC}= \frac{a}{\sqrt3}\sqrt{\sqrt3+1}\cdot\frac{1}{a}\sqrt{\frac{3}{2}} =\sqrt{\frac{\sqrt3+1}{2}}

10. Un triunghi dreptunghic ABC (m(∢A)=90°) , cu AB=6 cm, AC=8 cm se proiecteaza pe un plan α dupa A’B’C’. Stiind ca aria triunghiului A’B’C’ este de 12cm2, sa se afle unghiul plan al diedrului format de α cu planul triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 10

Ducem prin B’ paralele la laturile triunghiului ABC si reconstruim triunghiul conform figurii.

NM⊥MB’; NM⊥MA’ => NM ⊥ (ABB’A’) deci paralel si congruent cu inaltimea din C’ a triunghiului A’B’C’

Cos ∢MB’A’ =\frac{A^\prime B^\prime}{MB^\prime}= \frac{A^\prime B^\prime\cdot\frac{H}{2}}{MB^\prime\cdot\frac{NM}{2}} =\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=>

m(∢MB’A’)=60°

11. Un trapez dreptunghic, cu bazele de 2 cm si \left(2+3\sqrt3\right)cm, are latura oblica de 6 cm. Se proiecteaza acest trapez pe un plan. Acest plan face cu planul trapezului un unghi cat unghiul ascutit al trapezului. Sa se afle aria proiectiei trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 11

Ducem un plan paralel cu planul pe care se face proiectia si care sa contina latura AD a trapezului, conform figurii.

∢B’A’M ≡ ∢C’D’N ≡ ∢BCE =>

Cos ∢B’A’M = cos ∢C’D’N = cos ∢BCE =\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}=> \frac{A^\prime B^\prime}{2}= \frac{\sqrt3}{2}=>A^\prime B^\prime= \sqrt3; \frac{D^\prime C^\prime}{2+3\sqrt3}= \frac{\sqrt3}{2} =>D^\prime C^\prime=\frac{9+2\sqrt3}{2}

S=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\left(\sqrt3+\frac{9+2\sqrt3}{2}\right)= \frac{3}{4}\cdot(4\sqrt3+9)

12. Triunghiul ABC se indoaie de-a lungul liniei mijlocii MN (M∈AB, N∈AC), astfel incat planul triunghiului AMN si cel al trapezului MNCB sa formeze un diedru drept.

  1. Sa se determine unghiul plan al diedrului format de planul trapezului MNCB si cel determinat de punctele A, B, C.
  2. Notand cu S aria triunghiului initial ABC, sa se determine, in functie de S, aria noului triunghi obtinut dupa indoire.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 12

MA=MB=>m(∢MAB)=m(∢MBA)=\frac{90^{\circ}}{2}=45°

Fie AE⊥BC, AE⋂MN = {D}; AD=DE

S_{ABC\ inainte}=\frac{1}{2}\left(AD+DE\right)\cdot BC= AD\cdot BC;

S_{ABC\ dupa}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot BC;

{AE}^2={AD}^2+{DE}^2=2{AD}^2 =>AE=AD\sqrt2=>

S_{ABC\ dupa}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot AD\cdot BC= \frac{\sqrt2}{2}\cdot S_{ABC\ inainte}

13. Un trapez isoscel are baza mica si laturile oblice egale fiecare cu 2a, iar unghiurile ascutite egale cu 60°. Sa se calculeze aria proiectiei acestui trapez pe un plan care face cu planul trapezului un unghi congruent cu unghiul ascutit al diagonalelor.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 13

⊿DAB este isoscel => m(∢ADB)=m(∢ABD)=30°

⊿ABC este isoscel => m(∢BAC)=m(∢BCA)=30°=>

m(∢DAC)=90°=>m(∢AOD)=60°;cos ∢ADC =\frac{1}{2}=\frac{AD}{AC}=> AC=DB=4a; {DC}^2={AC}^2-{AD}^2 =>DC=2\sqrt3a

Cos ∢BCF =\frac{BF}{BC}=\frac{BF}{2a}=\frac{1}{2} =>BF=a;

⊿ADE≡⊿BCF (i.u)=>AE=BE=>

ABFE dreptunghi => EF=2a;

Inaltimea triunghiului DBC, h=\sqrt{DB\cdot D C}=2\sqrt2a

Inaltimea trapezului EFCD se opune unui unghi de 30° intr-un triunghi dreptunghic de ipotenuza a =>

H\ =\frac{a}{2}; S=\frac{1}{2}\cdot\left(2a+2\sqrt3a\right)\cdot\frac{a}{2}= \frac{a^2}{2}\cdot(1+\sqrt3)

14. Un trapez ABCD, cu baza mare AB, continuta in planul , are raportul bazelor \frac{CD}{AB}=\frac{5}{7}. Stiind ca distanta de la punctul C la planul α este de 24 cm, sa se afle distanta de la punctul O, de intersectie a diagonalelor trapezului, la planul α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 14

∢BAC≡∢ACD; ∢DBA≡∢BDC=>⊿DOC∼⊿BOA=>

\frac{OC}{OA}=\frac{DC}{AB}=\frac{5}{7}  =>\frac{AC}{OA}=\frac{12}{7}

⊿OAP∼⊿CAQ=> \frac{OA}{AC}=\frac{OP}{CQ}=> \frac{OP}{CQ}=\frac{7}{12}=\frac{OP}{24} =>OP=14