Aria si volumul trunchiului de con circular drept

Prin analogie cu trunchiul de piramida, la fel ca mai sus, pentru con si cilindru, deducem:

Volumul unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right),}

Unde h este inaltimea sa, R si r razele bazelor.

Aria laterala a unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} A_l=\pi\left(R+r\right)G,}

Unde G este generatoarea, iar R si r razele bazelor sale.

Putem deduce aceste formule si din formulele corespunzatoare pentru con, astfel:

Fiind dat trunchiul de con circular drept (fig.19.6) figuram panza conica din care provine (fig.19.7) si determinam elementele x si g, din relatiile:

\frac{x}{x+h}=\frac{r}{R}=\frac{g}{g+G}

De unde: xR=r\left(x+h\right), deci x=\frac{rh}{R-r} si, analog, g=\frac{Gr}{R-r}.

Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 1
Fig. 19 6
Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 2
Fig. 19 7

Volumul trunchiului de con este diferenta volumelor celor doua conuri:

V=\frac{\pi\left(x+h\right)}{3}R^2-\frac{\pi x}{3}r^2; x+h=\frac{Rh}{R-r};

Deci:

V=\frac{\pi}{3}h\left(\frac{R^3}{R-r}-\frac{r^3}{R-r}\right)= \frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)

(se imparte R^3-r^3 la R – r ca polinoame in R in r).

Analog,

A_l=\pi R\left(G+g\right)-\pi rg;

G+g=\frac{GR}{R-r};

Deci:

A_l=\pi G\left(\frac{R^2}{R-r}-\frac{r^2}{R-r}\right)= \pi G\left(R+r\right).

Probleme: Trunchiul de piramida

1. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de 6\sqrt3\ m, latura bazei mici de 2\sqrt3\ m si muchia laterala de 5\ m. Sa se calculeze aria laterla si volumul trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 3

r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt3}=2;R=6;

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

Fetele laterale sunt trapeze isoscel cu inaltimea:

a_l=\sqrt{25-12}=\sqrt{13};

A_l=3\cdot8\sqrt3\cdot\sqrt{13}\cdot\frac{1}{2}=12\sqrt{39\ }\ {cm}^2

V=\frac{3}{3}\left(3\sqrt3+27\sqrt3+\sqrt{3\cdot3\cdot27}\right)=39\sqrt3\ {cm}^3

2. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari L, latura bazei mici l si inaltimea Sa se calculeze, in functie de L, l si h, inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 4

A^\prime O^\prime=l\sqrt2;AO=L\sqrt2;

\bigtriangleup VA^\prime O^\prime\sim\bigtriangleup VAO=>\frac{A^\prime O^\prime}{AO}=\frac{VO^\prime}{VO}=>

\frac{l}{L-l}=\frac{VO^\prime}{h}=>VO^\prime=\frac{hl}{L-l}

=>VO=h+\frac{hl}{L-l}=\frac{hL}{L-l}

3. O piramida are aria bazei de 8 cm2 si inaltimea de 10 cm. Se sectioneaza cu un plan paralel cu baza dusa prin mijlocul inaltimii. Se cere volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

V_{piramida\ mare}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot10=\frac{80}{3};

V_{piramida\ mica}=\frac{1}{3}\cdot2\cdot5=\frac{10}{3}=>

V_{trunchi}=\frac{70}{3}

4. Intr-un trunchi de piramida hexagonala regulata se cunosc (notatiile fiind cele din figura 15.7): inaltimea A’P = 3 cm, distanta B’E’ = 8 cm si latura bazei mari DE = 8 cm.

  1. sa se calculeze volumul trunchiului de piramida.
  2. Sa se calculeze aria laterala a trunchiului de piramida.

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 5
fig. 15 7

Rezolvare:

B^\prime E^\prime=2r=>{r=B}^\prime C^\prime=4\ cm;

s=3\cdot16\cdot\frac{\sqrt3}{2};

S=3\cdot64\cdot\frac{\sqrt3}{2};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(24\sqrt3+96\sqrt3+\sqrt{24\cdot96\cdot3}\right)= 168\sqrt{3\ }\ {cm}^3;

B^\prime B=\sqrt{9+16}=5;

\ H_{trapez}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}

A=6\cdot\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{21}=36\sqrt{21}\ {cm}^2

5. Se da o piramida regulata VABCD, avand baza un patrat ABCD si lungimea inaltimii egala cu 8 cm. La ce distanta de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu planul bazei, astfel incat raportul dintre volumul trunchiului de piramida obtinut si volumul piramidei VABCD sa fie egal cu \frac{7}{8}?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 6

\frac{V_{ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}= \frac{7}{8}=\frac{V_{VABCD}-V_{VA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}=

\frac{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8-\frac{1}{3}\cdot{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8}= 1-\frac{{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{8\cdot{AB}^2};

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{h}{8}=> 1-\frac{h^3}{8^3}=\frac{7}{8}=>

\left(\frac{h}{8}\right)^3=\frac{1}{8}=> \frac{h}{8}=\frac{1}{2};

h=4;d=8-4=4

6. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 12 cm, latura bazei mici l = 0,6 dm si volumul V=63\sqrt3\ {cm}^3. Sa se afle inaltimea, apotema, muchia si aria laterala a trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 7

r=2\sqrt3;O^\prime M=\sqrt3\;

R=4\sqrt3;ON=2\sqrt3;

s=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3;

S=\frac{144\sqrt3}{4}=36\sqrt3;

V=\frac{I}{3}\cdot\left(9\sqrt3+36\sqrt3+\sqrt{9\cdot36\cdot3}\right)=

63\sqrt3=> I\cdot63\sqrt3=189\sqrt3=>

I=3\ cm;

MN=\sqrt{9+3}=2\sqrt3\ cm;

B^\prime B=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\ cm;

\ A_l=3\cdot\frac{18}{2}\cdot2\sqrt3=54\sqrt3\ {cm}^2

7. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 10m, raza cercului circumscris bazei mici r=\frac{4\sqrt3}{3}m si aria laterala A_l=168\ m^2. Sa se afle volumul si muchia laterala a trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 8

C^\prime B^\prime=4;

\ A_{BCC^\prime B^\prime}=56=\frac{4+10}{2}\cdot MN=>MN=8;

O^\prime M=\frac{2\sqrt3}{3};

OA=\frac{10\sqrt3}{3}; ON=\frac{5\sqrt3}{3};

OO^\prime=\sqrt{64-3}=\sqrt{61};

AA^\prime=\sqrt{12+61}=\sqrt{73};

V=\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot\left(\frac{100\sqrt3}{4}+\frac{16\sqrt3}{4}+\sqrt{25\cdot4\cdot3}\right)=

\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot51\sqrt3=17\sqrt{183}

8. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are diagonala de 9 m si laturile bazelor de 7 m si 5 m. Se cere aria laterala si volumul sau.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 9

A^\prime C^\prime=5\sqrt2;AC=7\sqrt2;\\

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 10

C^\prime M=\sqrt{81-72}=3;

C^\prime C=\sqrt{9+2}=\sqrt{11};

NP=\sqrt{11-1}=\sqrt{10};

A_l=4\cdot\frac{7+5}{2}\cdot\sqrt{10}=24\sqrt{10};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(49+25+\sqrt{35}\right)=74+\sqrt{35}

9. Un trunchi de piramida are ca baze doua romburi cu laturile de 6 cm si 8 cm si cu cate un unghi de 120°. Inaltimea trunchiului este egala cu triplul diagonalei mari a bazei mari si uneste centrele romburilor. Sa se calculeze inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 11

Triunghiul ABD este echilateral =>

AB=BD=8\ cm;

AO=\sqrt{64-16}=4\sqrt3;

AC=8\sqrt3;

O^\prime O=24\sqrt3;

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=>

\frac{VO^\prime}{VO^\prime+24\sqrt3}=\frac{6}{8}=>

VO^\prime=72\sqrt3=>VO=96\sqrt3

10. O piramida are toate muchiile laterale congruente si ele formeaza cu planul bazei unghiuri de 45°. Baza este un trapez isoscel cu unghiurile ascutite de cate 60° si bazele de 6 cm si 8 cm. Se sectioneaza piramida cu un plan paralel cu baza, si care imparte inaltimea in doua parti egale. Sa se afle volumul trunchiului de piramida obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 12

MB=\frac{8-6}{2}=1; BC=2MB=2;

CM=\sqrt3;AO=OV;

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{VO^\prime}{VO}=> \frac{A^\prime B^\prime}{8}=\frac{1}{2}=>

A^\prime B^\prime=4;D^\prime C^\prime=3;

C^\prime M^\prime=\frac{\sqrt3}{2};

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 13

AN=ND=1;

AP=2\cdot AN=2;

PT=\frac{AB}{2}-AP=2;

\cos{30}=\frac{PT}{PO}=> PO=\frac{4}{\sqrt3};

OT=\frac{2}{\sqrt3}; OQ=\frac{2}{\sqrt3}+\sqrt3

OD=\sqrt{\frac{25}{3}+9}=\sqrt{\frac{52}{3}}= \frac{2\sqrt{39}}{3}=OA=H;

V=\frac{49\sqrt{13}}{12}

11. O piramida regulata are inaltimea de 12 cm. La ce distanta de varf trebuie sa se faca o sectiune, printr-un plan paralel cu baza, astfel incat aria laterala a piramidei mici, ce se formeaza, sa fie egala cu aria laterala a trunchiului de piramida regulata.

Rezolvare:

Se foloseste relatia \frac{p\cdot a}{P\cdot A}=\frac{1}{2} (p, a fiind perimetrul si apotema piramidei mici si P, A a celei mari). Daca notam cu x distanta de la varf la sectiunea in piramida, \frac{x^2}{144}=\frac{1}{2}

=>x=6\sqrt2\ cm.

12. Un trunchi de piramida regulata are ca baze doua triunghiuri echilaterale cu laturile a si respectiv 2a. Apotema trunchiului este agala cu 4a. Sa se calculeze, in functie de a, aria totala si volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 14C^\prime M=\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{\sqrt3}{6}a;

CN=a\sqrt3; ON=\frac{\sqrt3}{3}\ a;

NP=\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{a}{2\sqrt3}

h^2=\left(4a\right)^2-\left(\frac{a}{2\sqrt3}\right)^2,\ h fiind inaltimea trunchiului de piramida,

A_t=\frac{75+5\sqrt3}{4}\cdot a^2,

V=\frac{7\sqrt{191}}{24}\cdot a^3.

13. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de b metri, latura bazei mici de a metri si unghiul format de muchia laterala cu muchia bazei mari, care pornesc din acelasi varf, egal cu 60°. Sa se calculeze, volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 15

AT=UC=\frac{b-a}{2};

m\left(\sphericalangle AA^\prime T\right)=30=>

AA^\prime=b-a; A^\prime T=\frac{\sqrt3}{2}\left(b-a\right);

O^\prime N=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{1}{3}\cdot\frac{b\sqrt3}{2};

MP=\frac{\sqrt3}{6}\left(b-a\right);

NP=\sqrt{\frac{3}{4}\left(b-a\right)^2-\frac{3}{36}\left(b-a\right)^2}=

\left(b-a\right)\sqrt{\frac{8}{12}}=\frac{\left(b-a\right)2}{\sqrt6};

V=\frac{\left(b-a\right)2}{3\sqrt6}\cdot\left(\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac{ab\sqrt3}{4}\right)=

\frac{\left(b-a\right)}{6\sqrt6}\left(a^2+b^2+ab\right)=

\left(a^2b+b^3+ab^2-a^3-{ab}^2-a^2b\right)\cdot\frac{1}{6\sqrt6}=

\frac{b^3-a^3}{6\sqrt6}

14.*Un trunchi de piramida are ariile bazelor egale cu S1 si S2. Se face o sectiune printr-un plan paralel cu bazele, la aceeasi distanta fata de ambele baze. Sa se calculeze aria S a acestei sectiuni in functie de S1 si S2.

Rezolvare:

Daca notam cu H inaltimea piramidei din care face parte trunchiul si cu h inaltimea trunchiului, putem scrie:

\left(\frac{H-h}{H}\right)^2=\frac{S_1}{S_2};

\ \left(\frac{H-\frac{h}{2}}{H}\right)^2=\frac{S}{S_2}=>

h=\frac{H\left(\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}\right)}{\sqrt{S_2}}\ ;

\ \frac{H-\frac{h}{2}}{H}=\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}=>

\left(\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}\right)^2=\frac{S}{S_2}

=>S=\frac{{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}^2}{4}

15. Un trunchi de piramida are ariile bazelor S si s si inaltimea I. Sa se calculeze, in functie de S, s si I, volumul piramidei din care face parte trunchiul.

Rezolvare:

Daca se noteaza cu x inaltimea piramidei:

\frac{x}{I+x}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S}=>

\frac{x}{I}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s}=>

x=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

H=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

V=\frac{I\cdot S\sqrt S}{3\cdot(\sqrt S-\sqrt s)}.

Trunchi de piramda

Corpul ce rezulta indepartand dintr-o piramida o piramida mai mica, obtinuta sectionand piramida initiala cu un plan paralel cu baza ei, se numeste trunchi de piramida.

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 16
fig. 15 1

Cu notatiile din figura 15.1:

  1. Poligonul (P) se numeste baza mare.
  2. Poligonul din planul de sectiune (P’) se numeste baza mica.
  3. Toate trapezele ce raman din fetele laterale, in urma sectionarii si indepartarii piramidei mai mici, se numesc fete laterale.

Este usor de aratat ca cele doua baze sunt poligoane asemenea, Lasam aceasta demonstratie pe seama cititorului.

Daca trunchiul de piramida provine dintr-o piramida regulata, el se numeste trunchi de piramida regulata. Fetele sale laterale sunt trapeze isoscele congruente. Vom numi inaltimea unei astfel de fete, apotema trunchiului de piramida. Deci, la un trunchi de piramida regulata, avem trei feluri de apoteme: apotema trunchiului, apotema bazei mari si apotema bazei mici.

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 17
fig. 15 2

Aria laterala a unui trunchi de piramida regulata este suma ariilor tuturor fetelor laterale. Notand cu n numarul laturilor unei baze, cu at apotema trunchiului, cu l lungimea laturii bazei mici si cu L cea a bazei mari, Al fiind aria laterala, se obtine, printr-un procedeu asemanator cu cel de la piramida ca:

{\color{Blue} A_l=n\cdot\frac{\left(L+l\right)\cdot a_l}{2}}

Aria totala a trunchiului de piramida se obtine adunand la aria sa laterala suma ariilor celor doua baze. Daca notam cu At aria totala, cu aM apotema bazei mari si cu am pe cea a bazei mici:

A_t=A_l+\frac{L\cdot a_M+l\cdot a_m}{2}\cdot n

Desfasurarea trunchiului de piramida se face asemanator cu cea a unei prisme (fig. 13.3):

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 18
fig. 15 3

Distanta dintre planele bazelor trunchiului de piramida o numim inaltime. Luata astfel, ea este numar. In unele probleme o vom considera si ca un segment cu capetele respective in planele bazelor si perpendicular pe aceste baze.

Calculul inaltimii trunchiului de piramida regulata

Notam cu L si l laturile bazelor, cu aM si am apotemele respective ale bazelor, cu at apotema trunchiului, cu m muchia lui laterala, cu RM si Rm razele cercurilor circumscrise bazelor si cu h inaltimea trunchiului de piramida.

  • Sa se exprime, in functie de aM, am si at, inaltimea h ( 15.4).
  • Sa se exprima, in functie de RM, Rm si m, inaltimea h (fig 15.5).

h^2=a_t^2-\left(a_M-a_m\right)^2

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 19
fig. 15 4

h^2=m^2-\left(R_M-R_m\right)^2

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 20
fig. 15 5

In general, un plan paralel cu baza ABC … MN a unei piramide determina inca o piramida cu baza A’B’C’ … M’N’ si cu acelasi varf P, pe care o vom numi “asemenea” cu piramida mare, pentru ca toate fetele de tipul PAB sunt asemenea cu cele de tipul PA’B’, bazele ABC … MN si A’B’C’ … M’N’ sunt si ele asemenea si raportul lor de asemanare (raportul a doua segmente omoloage), prin tranzititvitate, se poate dovedi ca este acelasi.

Daca, in plan, raportul ariilor a doua poligoane asemenea este egal cu patratul raportului de asemanare (fapt valabil si pentru ariile laterale si totale a celor doua piramide), vom putea afirma urmatoarea:

Teorema. Raportul volumelor a doua piramide asemenea este egal cu cubul raportului de asemanare.

Demonstratie. Daca notam raportul de asemanare cu n, avem:

\frac{S_{ABC\ldots M N}}{S_{A^\prime B^\prime C^\prime\ldots M\prime N\prime}}=n^2\ si\frac{h}{h^\prime}=n,

Unde h este inaltimea piramidei initiale si h’ a celei mici, iar

\frac{V}{V^\prime}=\frac{S_{ABC\ldots M N}\cdot h}{S_{A^\prime B^\prime C^\prime\ldots M\prime N\prime}\cdot h\prime}=n^2\cdot n=n^3.

Volumul trunchiului de piramida

Teorema. Volumul trunchiului de piramida este egal cu o treime din inaltime inmultita cu suma dintre aria bazei mari, aria bazei mici si radacina patrata din produsul ariilor celor doua baze.

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 21
fig. 15 6

Avem deci de aratat ca {\color{Blue} V=\frac{I}{3}(S+s+\sqrt{Ss})}, unde V este volumul trunchiului, I este inaltimea trunchiului de piramida, S aria bazei mari si s aria bazei mici. H si h sunt marimi ajutatoare, si anume, inaltimile piramidelor asa cum se formeaza ele in desen, prin prelungirea muchiilor, iar V1 si v1 volumele piramidelor respective (fig. 15.6).

Stim ca \frac{V_1}{v_1}=\frac{H^3}{h^3} si, dintr-o proportie derivata, obtinem:

Stim ca \frac{V_1}{v_1}=\frac{H^3}{h^3} si, dintr-o proportie derivata, obtinem:

\frac{V_1-v_1}{v_1}=\frac{H^3-h^3}{h^3}

Deci,

V=\frac{v_1(H-h)(H^2+Hh+h^2)}{h^3}=\frac{v_1I}{h}\cdot\left(\frac{H^2}{h^2}+\frac{H}{h}+1\right).

Dar, \frac{H}{h}=\frac{\sqrt S}{\sqrt s}. Rezulta:

V=\frac{shI}{3h}\cdot\left(\frac{S}{s}+\frac{\sqrt S}{\sqrt s}+1\right)=\frac{I}{3}\cdot\left(S+\sqrt{Ss}+s\right),

Ceea ce trebuia demonstrat.