Rezolvarea triunghiurilor oarecare

In acest paragraf vom rezolva cele trei probleme legate de constructia triunghiurilor.

Problema rezolvata 1. Intr-un triunghi se cunosc lungimile a doua laturi si masura unghiului cuprins. Sa se determine lungimea celei de-a treia laturi si masurile celorlalte doua unghiuri.

Sa consideram intai un caz concret, in care sa presupunem ca “unghiul cuprins” este dat nu prin masura sa ci prin cosinusul sau. (fig.1.60).

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 1

Ipoteza: AB = 5, AC = 7, m(∢A)<90°, cosA = 0,4

Concluzie: BC=?,m(∢C)=?,m(∢B)=?

Rezolvare. Pentru a putea aplica relatiile din triunghiul dreptunghic ce le cunoastem, sa ducem inaltimea BD. Vom avea din ∆ABD, \inline AD=AB\bulletcosA=5\cdot0,4=2, \inline BD=\sqrt{{BD}^2-{AD}^2}=\sqrt{21}, apoi DC=7-2=5 si din ∆BDC, \inline BC=\sqrt{{BD}^2+{DC}^2}=\sqrt{46,} \inline sinC=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{46}}=\sqrt{0,4665} = 0,67…, m(∢C)=42°,m(∢ABC)=180°-(m(∢A)+m(∢C))=180°-(66°+42°)=71° (unghiurile din paranteza sunt amandoua putin mai marei decat valorile scrise…) – Puteam determina pe BD si ca AB sin A, iar pe C si din \inline cosC=\frac{CD}{BC}=\frac{5}{\sqrt{46}}.

Vom rezolva insa prima parte a problemei si in cazul general, cu date literale; se va vedea cum rezultatul ce-l vom obtine va fi esential in special pentru problema 3.

Va trebui sa deosebim doua cazuri.

Cazul 1. Unghiul cuprins este ascutit. (fig. 1.61)

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 2

Ipoteza: AB=c, AC=b, b≤c, m(∢A)=x

Concluzie: BC = ?

Rezolvare.Rolurile ce le joaca ∢B si ∢C in enunt sunt simetrice, de aceea am precizat ca b≤c, pentru a sti ca m(∢B)≤m(∢C), deci ca ∢B este ascutit si ca figura arata asa cum a fost desenata. Vom proceda la fel ca in cazul concret de mai sus: vom considera piciorul D al perpendicularei din C pe AB care, datorita ipotezelor, se va afla intre A si B.

In ∆ACD avem CD=b∙sin x, AD=b∙cos x, apoi BD=c-b∙cos x. Teorema lui Pitagora in ∆BCD da \inline BC=\sqrt{{BD}^2+{DC}^2}=\sqrt{b^2\sin^2x+{(c-b\cdot\cos{x)}}^2}=\inline \sqrt{b^2{(\sin}^2x{+\cos}^2x)+c^2-2bc\cdot\cos{x}}=\inline \sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot\cos{x}}.

Cazul 2. Unghiul cuprins este obtuz.

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 3

Ipoteza: AB=c,AC=b,m(∢A)=x

Concluzia: BC=?

Rezolvare. In acest caz, ∢B este sigur ascutit. Avem m(∢CAD)=180°-x si in continuare procedam in acelasi mod ca in cazul 1:

         AD=b∙cos(180°-x),CD=b∙sin(180°-x),BD=c+b∙cos(180°-x)=\inline BC=\sqrt{{CD}^2+{BD}^2}=\inline \sqrt{b^2\sin^2(180^{\circ}-x)+{(c+b\bulletcos(180^{\circ}-x))}^2}=\inline \sqrt{b^2+c^2+2bccos(180^{\circ}-x)} si apoi \inline sinB=\frac{CD}{CB}.

Observatie. Daca examinam cele doua formule obtinute in cele doua cazuri pentru lungimea lui BC observam ca, daca definim, pentru 90° < x <180°, cos x drept – cos (180°- x), atunci formula de la cazul 1 este valabila si in cazul 2. Daca definim si cos 90° = 0, atunci formula de la cazul 1 va fi valabila si pentru m(∢A)=90°, devenind teorema lui Pitagora.

Din rezolvarea problemei 1 deducem deci:

Teorema lui Pitagora generalizata.  In orice triunghi, patratul unei laturi este egal cu suma patratelor celorlalte doua laturi minus dublul produs al celor doua laturi inmultit cu cosinusul unghiului format de ele, convenind sa consideram cosinusul unui unghi obtuz ca fiind egal cu cosinusul suplementului, cu semnul minus.

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 4

{\color{Blue} {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot cosA}

cos x = – cos(180°-x), cos 90°=0

Aceasta teorema se numeste teorema lui Pitagora “generalizata” deoarece teorema lui Pitagora este un caz particular al ei, pentru m(∢A)=90°

Problema rezolvata 2. Cunoscand masurile a doua unghiuri ale unui triunghi si lungimea laturii curpinse intre ele, sa se determine lungimile celorlalte doua laturi (si masura celui de-al treilea unghi).

Vom considera un caz concret. (fig. 1.64)

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 5

Ipoteza:   BC=10,m(∢B)=25°,m(∢C)=40°

Concluzie: AB=?,AC=?,m(∢A)=?

Rezolvare:

Evident m(∢A)=180°-(25°+40°)=115°.Vom considera, ca in problema precedenta, piciorul D al perpendicularei din C pe AB. Avem CD=BC∙sinB=10∙0,423=4,23, iar m(∢CAD)= 65°, \inline AC=\frac{CD}{sin C A D}=\frac{4,23}{0,906}=4,66\ldotsCalculul lui AB se face asemanator, ducand perpendiculare din B pe AC: \inline AB=\frac{BCsin C}{sin(180^{\circ}-A)}=\frac{10\cdot0,643}{0,906}=7,09\ldots .

Observatie.  Daca vom conveni sa consideram ca sin 90° = 1 si, ca pentru 90° < x < 180°, sin x = sin (180° – x), atunci in figura 1.64, de exemplu, am putea scrie direct CD=ACsinA si deci \inline AC=\frac{BCsin B}{sin A} ar fi o formula valabila in toate cazurile (chiar cand ∢ ar fi obtuz).

Problema rezolvata 3. Cunoscand lungimile celor trei laturi ale unui triunghi, sa se afle masurile unghiurilor sale.

Vom considera, ca mai inainte, un caz concret. (fig. 1.65).

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 6

Ipoteza: AB=5,BC=7,AC=8

Concluzia:m(∢A)=?,m(∢B)=?,m(∢C)=?

Rezolvare:

Vom aplica teorema generalizata a lui Pitagora.

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB ∙ AC ∙ cos A, deci 49 = 25 + 64 – 80 ∙ cos A =>

m(∢A)=60°

Asemanator obtinem

64 = 49 + 25 – 70 ∙ cos B =>\inline cosB=\frac{1}{7}=0,142\ldots=m(\sphericalangle B)=81^{\circ} si 25 = 49 + 64 – 112 ∙ cos C, \inline cosC=\frac{11}{14}=0,785\ldots=m(\sphericalangle C)=38^{\circ}

Bineinteles, ultimul unghi putea fi dedus si din celelalte doua – suma unghiurilor unui triunghi fiind de 180°.

Observatie. Uneori, cand atat datele problemei, cat si ceea ce se cere de calculay, se refera numai la lungimi de segmente, este avantajos sa nu mai antrenam si unghiuri in calculele noastre si sa enuntam teorema lui Pitagora generalizata astfel: patratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma patratelor celorlalte doua laturi, plus sau minus, dupa cum unghiul opus este obtuz sau ascutit, produsul uneia din celelalte doua si proiectia celeilalte pe ea.

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 7

De exemplu, daca in situatia din problema rezolvata 3 am dori sa calculam inaltimea din B a triunghiului, am calcula intai distanta AD de la A la piciorul inaltimii prin formula de mai sus si am gasi \inline AD=\frac{5}{2}, iar apoi din teorema lui Pitagora am deduce \inline BD=\sqrt{{AB}^2-{AD}^2}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt3}{2}.