Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

Pentru a deduce o prima consecinta a teoremei din paragraful precedent (teorema care se va numi “teorema asupra puterii punctului fata de un cerc”), sa consideram un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90°, sa deducem cercul de centru B si raza AB si sa consideram intersectiile sale D si E cu BC.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 1

Cercul va fi tangent in A la AC, iar BE = BD = BA. Teorema asupra puterii punctului C fata de acest cerc ne spune ca AC2 = CE ∙ CD = (CB + AB)(CB – AB) = CB2 – AB2. Obtinem, ca prima consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc:

Teorema lui Pitagora. Intr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenuzei.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 2

Importanta acestei teoreme este foarte mare. Ea reprezinta solutia unei probleme de tipul: se cunosc lungimile a doua laturi a unui triunghi si masura unghiului cuprins intre ele, sa se calculeze lungimea celei de-a treia laturi (unghiul cuprins intre ele avand o valoare particulara, de 90).

Alta consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc se obtine ducand un diametru AB al unui cerc, alegand un punct C pe tangenta A la cerc si considerand celalalt punct comun D al dreptei CB si al cercului (fig. 1.42).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 3

Vom avea si AB2 = CB ∙ CD

Cum orice triunghi dreptunghic se poate considera in situatia triunghiului ABC din figura, obtinem:

Teorema catetei. Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este medie proportionala intre ipotenuza si proiectia acesteia pe ipotenuza. (Prin proiectie a unui punct pe o dreapta intelegem piciorul perpendicularei duse din acel punct pe acea dreapta. Proiectia unui segment este segmentul determinat de proiectiile capetelor sale; se poate evident intampla ca proiectia unui segment sa se “reduca” la un punct.)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 4

In fine, sa consideram un punct D in interiorul unui cerc si sa ducem diametrul BC si coarda AA’ perpendiculara pe acest diametru ce trec prin D (fig.1.44).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 5

Avem AB ≡ DA’,  iar DB ∙ DC = DA ∙ DA’ = DA2. Deci:

Teorema inaltimii.  Intr-un triunghi dreptunghic, inaltimea dusa din varful unghiului drept este medie proportionala intre cele doua segmente determinate de ea pe ipotenuza.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 6

Observatie. Teorema catetei si teorema inaltimii se pot demonstra si observand ca  si ca  si alegand, din relatiile de proportionalitate ale laturilor, cate doua rapoarte egale, relativ la care se scrie egalitatea dintre produsul mezilor si cel al extremilor.

Cele trei teoreme de mai sus ne permit sa “stapanim situatia” din figura 1.46, in care este desenat un triunghi deptunghic ABC si inaltimea sa AD dusa din varful unghiului drept A.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 7

Mai precis, aceste teoreme ne permit, cunoscand lungimile a doua din cele sase segmente ce apar in figura 1.46 – doua catete, ipotenuza, inaltimea, cele doua proiectii ale catetelor pe ipotenuza – sa calculam lungimile celorlalte patru. Tinand cont si de “simetria situatiei” (nu a figurii!), se pot formula noua astfel de probleme. Doua dintre ele sunt mai dificile si vor fi rezolvate in continuare (problemele rezolvate 2 si 3). Vom incepe cu una din cele simple, iar celelalte sase vor fi obiectul problemelor 1 – 6 din categoria probleme.

Problema rezolvata 1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC, lungimile catetelor sunt AB = 4 cm si AC = 3 cm (fig. 1.47). Sa se determine lungimile ipotenuzei, a inaltimii si a segmentelor determinate pe ipotenuza de piciorul inaltimii.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 8

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AB=4,AC=3

Concluzia: BC=?,AD=?,BD=?,CD=?

Rezolvare:

Din Teorema lui Pitagora deducem BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25, deci

\inline BC\ =\ \sqrt{25}=5

Din teorema catetei deducem AB2 = BD ∙ BC, deci \inline BD=\frac{{AB}^2}{BC}, adica \inline BD=\frac{16}{5}.

Avem acum doua posibilitati de a calcula CD: una consta in a aplica teorema catetei pentru AC, cealalta in a scrie CD=BC-BD=\inline 5-\frac{16}{9}=\frac{5}{9}.

In fine, avem trei posibilitati de a calcula AD: teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice ABD, ACD si teorema inaltimii. Prima da

\inline AD=\sqrt{{AB}^2-{BD}^2}=\sqrt{4^2-{(\frac{16}{5})}^2}=\frac{12}{5}

Observatie.  Din ∆ABC∼∆DACdeducem si \inline \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC} sau AB ∙AC = AD ∙ BC, relatie care ofera o a patra posibilitate de calcul a lui AD. Aceasta relatie nu reprezinta altceva decat “aria lui ABC, calculata in doua moduri”.

Problema rezolvata 2.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC cunoastem lungimile ipotenuzei BC = a si ale inaltimii AD = h. Sa se determine lungimile proiectiilor BD, DC ale catetlor pe ipotenuza. (fig.1.48)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 9

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,BC=a,AD=h

Concluzia: BD=?,CD=?

Rezolvare:

Unghiul BAC fiind drept, rezulta ca bc este un diametru al cercului circumscris triunghiului ABC, deci centrul O al acestui cerc se afla la mijlocul lui BC. Deducem \inline OA=\frac{1}{2};\ BC=\frac{a}{2} si acum este simplu de continuat, aplicam teorema lui Pitagora in ∆OAD care da \inline OD=\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} si obtinem ca rezultat BD=BO+OD= \inline \frac{a}{2}+\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2}, CD=CO-OD= \inline \frac{a}{2}-\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} . Evident ca acest rezultat corespunde modului de a nota astfel figura incat D sa fie intre O si C.

a si h fiind date, conditia necesara si suficienta de existenta a triunghiului din enunt este \inline h\le\frac{a}{2} (aceasta este conditia necesara si suficienta pentru a putea construi ∆OAD).

Odata determinate BD, CD, putem calcula AB, AC aplicand teorema lui Pitagora in ∆ABD si  ∆ACD.

Observatie.  Tinand cont de teorema inaltimii, formulele obtinute rezolva si problema: cunoscand suma a si produsul h2 a doua numere (lungimile BD, CD), sa se afle cele doua numere. Verificati si cu ajutorul calculului algebric aceasta.

Problema rezolvata 3.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC se cunosc lungimile unei catete AC si a proiectiei BD a celelilalte pe ipotenuza, sa se afle lungimile ipotenuzei BC si a proiectiei CD a celeilalte catete pe ipotenuza. (fig. 1.49)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 10

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AC=b,BD=d

Concluzia: BC=?,CD=?

Rezolvare:

Sa consideram cerculd e diametru BD si sa ducem o tangenta CT la acest cerc. Fie O centrul cercului. Teorema catetei spune ca AC2 = CD ∙ CB iar teorema asupra puterii punctului  ca CT2 = CD ∙ CB. Deducem ca CT = AC = b. Avem OT⊥CT si teorema lui Pitagora in ∆CTO da CO=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} obtinem BC=CO+OB=\inline \frac{d}{2}+\sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} iar CD=CO-OD=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2}-\frac{d}{2}.

Oricum am alege doua numere b, d, exista un triunghi care indeplineste conditiile din enunt (se construieste  cu m(∢T)=90° etc.).

Formulele obtinute rezolva si problema; cunoscand diferenta d si produsul b2 a doua numere (lungimile CB, CD) sa se afle cele doua numere (verificati aceasta si prin algebra).

Triunghiul dreptunghic

Triunghiul dreptunghic = triunghiul care are un unghi drept, de 90. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Matematica Capacitate Triunghiul dreptunghic 11

Proprietățile triunghiului dreptunghic
  • Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.
  • Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.
  • Prima teorema a inaltimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.\inline \fn_jvn \large AD=\sqrt{CD\cdot BD}
  • A doua teoremă a înălțimii: Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu m (∢ A) = 90° (v. figura alăturată), iar AD este perpendiculara pe AB. Există relația: AD ∙ BC = AB ∙ AC
  • Teorema catetei: În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu m (∢A) = 90° și AD perpendiculara pe BC (v. figura). Există relația:\inline \fn_jvn \large AB^{2}=BC\cdot BD

  • Teorema unghiului de 45°: Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
  • Teorema unghiului de 30°: Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Teorema unghiului de 15°: Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.
  • Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor: \inline \fn_jvn \large Aria=\frac{AB\cdot AC}{2}
  • Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”: \inline \fn_jvn \large BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}

Functii trigonometrice

  • Sinusul = cateta opusă / ipotenuză: \inline \fn_jvn \large sin B=\frac{AC}{BC}
  • Cosinusul = cateta alaturată / ipotenuză: \inline \fn_jvn \large cos B=\frac{AB}{AC}
  • Tangenta = cateta opusă / cateta alaturată: \inline \fn_jvn \large tg B=\frac{AC}{AB}
  • Cotangenta = cateta alaturată / cateta opusa: \inline \fn_jvn \large ctg B=\frac{AB}{AC}

Matematica Capacitate Triunghiul dreptunghic 12