Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu

1. Care sunt planele de simetrie ale unui diedru?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 1

Planul bisector si orice plan perpendicular pe muchia comuna.

2. Care sunt planele de simetrie a doua plane distincte? Discutie (dupa cum ele sunt paralele sau secante).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 2

Planele bisectoare ale celor patru diedre formate (sunt doua plane perpendiculare) si orice lan perpendicular pe intersectia lor, in cazul in care planele initiale nu sunt paralele, iar, in cazul in care planele sunt paralele, un plan paralel cu ele, situat intre ele, la distante egale de acestea si orice plan perpendicular pe ele.

3. Dar care sunt axele de simetrie a acestor plane?

Rezolvare:

Daca planele sunt secante, axa de simetrie este muchia lor comuna sau orice dreapta dintr-un plan bisector, perpendiculara pe muchia lor comuna; daca planele sunt paralele, axa de simetrie este orice dreapta perpendiculara pe ele sau continuta in planul echidistant.

4. Cate centre, axe si plane de simetrie are un cub?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 3

Are un centru de simetrie, 3 + 6 = 9 axe de simetrie si 3 + 6 = 9 plane de simetrie.

5. Cate centre, axe si plane de simetrie are un tetraedru regulat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 4

Nu are centru de simetrie. In functie de tipulde rotatie are 4 axe de simetrie – care unesc un varf cu centrul triunghiului opus si 3 axe de simetrie care unesc mijloacele a doua muchii opuse. Are 6 plane de simetrie care contin mijlocul unei muchii si muchia opusa.

6. Care sunt prismele regulate, care au centru de simetrie? Dar axe? Dar plane? Cate?

Rezolvare:

Centre de simetrie au prismele regulate cu numar par de laturi la poligonul de baza. Plane de simetrie sunt n la cele cu numar impar (n) de laturi la poligonul de baza si 2n la cele cu numar par (n) de laturi ale poligonului de baza. Axe de simetrie au numai prismele cu numar par de laturi ale bazei.

7. Aceleasi intrebari pentru piramidele regulate.

Rezolvare:

Piramidele regulate cu numar n par de laturi ale poligonului de baza au 2n plane de simetrie. Cele cu n impar, au n plane de simetrie. Ambele au o singura axa de simetrie.

8. Se dau, in spatiu, o dreapta d si doua puncte P si Q. Se iau simetricele P’ ale punctului P fata de fiecare punct al dreptei d, apoi simetricele Q’ ale fiecarui punct al dreptei d fata de Q. Sa se arate ca toate punctele P’ si Q’ sunt situate in acelasi plan cu paralel cu d.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 5

Locul geometric al lui P este o dreapta p∥d. Locul geometric a lui Q’ este o dreapta q∥d=>p∥q,deci coplanare. Atentie! Nu orice punct al acestui plan apartine acestor locuri geometrice.

9. *Un triunghi ABC, cu unghiurile B si C ascutite, se proiecteaza pe un plan α, care contine latura BC. Fie A’ proiectia lui A pe α. Sa se demonstreze ca ∢BA’C>∢BAC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 6

Rotim triunghiul ABC in jurul lui BC pana cand punctul A ajunge in planul de proiectie. Punctul A’ va fi interior triunghiului ABC, AA’⋂BC=M Exprimam unghiurile A si A’ ca sume de doua unghiuri (din care cele din A’ sunt exterioare triunghiului).

Translatii

Definitie. Fie v un vector. Se numeste translatie de vector v, transformarea geometrica Tv care duce intr-un punct P in extremitatea vectorului v, “asezat” cu originea in P.

Matematica Capacitate Translatii 7

Observatie. Translatia de vector nul este asa-numita transformare identica, transformare ce lasa pe loc toate punctele P. Ea se va nota cu I.

Teorema. Orice translatie este o izometrie.

Demonstratie. Fie A si B doua puncte oarecare, A’ si B’ imaginile lor prin translatia considerata. Segmentele orientate \vec{AA^\prime} si \vec{BB^\prime} vor fi deci echivalente, deoarece ambele “fac parte” din vectorul translatiei. Vom deosebi doua cazuri.

Cazul 1. A, A’, B, B’ coliniare. In acest caz ipoteza se poate scrie \vec{AA^\prime} =\ \vec{BB^\prime}si concluzia AB = A’B’ rezulta din \vec{A^\prime B^\prime}= \vec{AA^\prime} + \vec{AB^\prime}= \vec{A^\prime A}+ \vec{AB}+ \vec{BB^\prime}= -\vec{AA^\prime}+ \vec{BB^\prime}+ \vec{AB}= \vec{AB} .

Cazul 2.  A, A’, B, B’ necoliniare.

Matematica Capacitate Translatii 8

Ipoteza: AA’∥BB’,AA’≡BB’

Concluzia: AB≡A’B’

Semidreapta AA’ are acelasi sens cu semidreapta BB’. In acest caz incepem prin a observa ca AA’B’B este un patrulater, (adica nu arata asa Matematica Capacitate Translatii 9) ca urmare a partilor 1 si 3 ale ipotezei. Avand laturile opuse AA’ si BB’ paralele si congruente, el este paralelogram. Rezulta AB≡A’B’ ca opuse in acest paralelogram (pentru a evita folosirea, ca mai sus, a unei teoreme “suplimentare”, se poate arata ca ∆ABA’≡∆B’A’B, cazul 1.)

Observatie. Fie T o translatie. Cunoscand imaginea T(P0) prin aceasta translatie a unui singur punct P0 , translatia T este perfect determinata: ea este translatia de vector \vec{P_0T(P_0)}.

Intuitiv, un vagon de cale ferata, pe o portiune dreapta de linie, executa o translatie (pozitia sa, la fiecare moment fixat, se obtine printr-o anumita translatie, ce depinde de acel moment, din pozitia initiala). (fig. 3.33).

Matematica Capacitate Translatii 10