Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 1

In figura 2.17 ABCD este un patrat, AM≡BN≡CP≡CP≡DQ=a iar AQ≡BM≡CN≡DP=b. Din triunghiurile congruente AMQ, BNM, CPN, DQP deducem congruenta unghiurilor marcate cu o linie, respectiv vu doua si apoi, pe baza teoremei sumei unghiurilor intr-un triunghi, ca MNPQ este un dreptunghi. Din congruenta acelorasi triunghiuri deducem ca MNPQ este un patrat. Scriind S_{ABCD}=S_{MNPQ}+S_{AMQ+\ldots} , deducem ca {(a+b)}^2= {MN}^2+4\cdot\frac{ab}{2} , deci {MN}^2 =a^2+b^2 , ceea ce este tocmai teorema lui Pitagora.

Problema distractiva. Impartiti poligonul din figura 2.18 in cinci poligoane astfel incat, aranjandu-le altfel, sa se formeze din ele un patrat.

Rezolvare. Aria poligonului este 3, deci latura patratului ce se va forma va fi \sqrt3. . Daca examinam mai atent figura, gasim in ea segmente de lungime \sqrt2,\sqrt5, dar nu de \sqrt3.

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 2

Sa transformam intai poligonul intr-un dreptunghi, de forma mai apropiata de cea patrata:

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 3

Apoi sa transformam dreptunghiul intr-un paralelogram, ce are una din laturi \sqrt{3}, dar avand grija sa nu atingem triunghiurile mici, deja mutate.

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 4

Latura din stanga a triunghiului G se calculeaza prin teorema lui Pitagora, gasindu-se \frac{\sqrt3}{2}<1, de unde suntem siguri ca taietura ce separa pe G nu le intalneste pe cele dinainte.

In fine, cum aria paralelogramului obtinut este tot 3, ca si a figurii intiale, rezulta ca inaltimea sa corespunzatoare acestei laturi va fi \sqrt{3}  si, sectionandu-l dupa aceasta inaltime, vom putea obtine patratul dorit (vezi fig. 2.21). Dar problema ne cere sa obtinem 5 figuri, iar sectionarea dupa acea inaltime risca sa conduca la 6 poligoane cu exceptia cazului in care am incepe din coltul din dreapta jos P al paralelogramului. (fig. 2.21)

Verificam daca dreapta trasata din punctul P va intersecta cele doua triunghiuri mai mici: distanta MN este de \frac{1}{2} (fig. 2.19) iar inaltimeadin P intersecteaza MN intr-un punct Q astfel incat ∆MPQ este asemenea cu G, iar din acea asemanare obtinem \frac{MQ}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{MP}{\frac{2}{3}} de unde MQ=\frac{\sqrt3}{2}>\frac{1}{2} iar inegalitatea se verifica direct sau prin ridicare la patrat: \frac{3}{9}>\frac{1}{4}.

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 5

Sa observam si ca G este un triunghi dreptunghic cu unghiul “din dreapta” de 30°. Aceasta ne arata ca ∢QPM=30°, deci PQ intalneste latura opusa a paralelogramului intr-un punct la distanta de \frac{1}{2}\cdot2=1 de la capatul din dreapta al acestei laturi in interiorul ei.

Exista si alta solutie:

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 6

Explicati-o si incarcati sa gasiti si altele!

Eventual incercati aceeasi problema si in alte poligioane: un paralelogram, un triunghi etc.

Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic

1.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 13 cm, iar una din catete este de 5 cm. Aflati cealalta cateta, inaltimea si proiectiile catetelor pe ipotenuza.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 7

AC2=BC2—AB2 => AC2=169-25=144=>AC=12

AB2 =BC∙BD => \inline BD=\frac{25}{13}; AC2=DC∙BC=> \inline DC=\frac{144}{13}

AD2=BD∙DC = \inline \frac{25\cdot144}{13\cdot13} => AD = \inline 5\cdot\frac{12}{13}=\frac{60}{13}

2.O cateta a unui triunghi dreptunghic este de 10 cm, iar inaltimea de 8 cm, Aflati celelalte elemente ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 8

DC2=AC2-AD2=100-64=36 => DC=6

AC2=CD∙BC => BC= \inline \frac{100}{6}=\frac{50}{3};BD=\frac{50}{3}-6=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}

AB2=BC2– AC\inline \frac{2500}{9}-\frac{900}{9}=\frac{1600}{9} =>AB= \inline \frac{40}{3}

3.O cateta a unui triunghi dreptunghic este de 15 cm, iar proiectia sa pe ipotenuza este de 9 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 9

AB2=BD∙BC => BC= \inline \frac{225}{9}=25

AC2=BC2-AB2 =625-225=400 => AC=20

DC=BC-BD=25-9=16

AD2=BD∙DC=16∙9=AD=12

4. Inaltimea unui triunghi dreptunghic este de 24 cm, iar proiectia unei catete pe ipotenuza este de 10 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 10

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=DC=\frac{576}{10}=57,6

BC=BD+DC=67,6

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=10\cdot67,6=676=>AB=26

\inline {AC}^2=DC\cdot BC=67,6\cdot57,6=>AC=62,4

5. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 50 cm, iar proiectia unei catete pe ea este de 5 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 11

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=5\cdot50=>AB=5\sqrt{10}

DC=BC-BD=45;

\inline {AC}^2=CD\cdot BC=45\cdot50=>AC=15\sqrt{10}

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=5\cdot45=>AD=15

6. Proiectiile catetelor unui triunghi dreptunghic pe ipotenuza sunt de 7 cm si 63 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 12

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=7\cdot63=>AD=21

BC=BD+DC=70

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=7\cdot70=>AB=7\sqrt{10}

\inline {AC}^2=CD\cdot BC=63\cdot70=>AC=21\sqrt{10}

7. Enuntati si demonstrati o reciproca a teoremei lui Pitagora.

Rezolvare:

Daca intr-un triunghi o latura la patrat este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi atunci triunghiul este dreptunghic.

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 13

\inline {BD}^2+{AD}^2={AB}^2

\inline {DC}^2+{AD}^2={AC}^2

\inline =>{AB}^2+{AC}^2={BD}^2+{AD}^2+{DC}^2+{AD}^2={BC}^2

\inline 2{AD}^2+{BD}^2+{DC}^2+2BD\cdot DC-2BD\cdot DC=

\inline =2{AD}^2+\left(BD+DC\right)^2-2BD\cdot DC=

\inline =2{AD}^2+{BC}^2-2BD\cdot DC={BC}^2=>

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=>\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD} ; ∢ADB≡∢ADC=>

⊿DAB ∼⊿DCA=>∢ABD≡∢DAC;∢DAB≡∢ACD=>

m(∢BAC)=m(∢ DAB)+m(∢ABD)=90°

8. Deduceti teorema lui Pitagora din teorema catetei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 14

Ipoteza: \inline {AB}^2=AD\cdot BC;{AC}^2=DC\cdot BC

Concluzie: \inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2

\inline {AB}^2+{AC}^2=\ AD\cdot BC+\ DC\cdot BC=

\inline =BC\cdot\left(AD+DC\right)={BC}^2

9. Redactati o demonstratie a teoremei lui Pitagora fara a folosi cercuri si nici teorema catetei (insa reconstituind figura 1.40).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 15

Construim in prelungirea lui BC, BEAB. Pe latura BC luam punctul D astfel incat BD≡AB.

⊿BDAeste isoscel avand doua laturi congruente =>∢BDA≡∢DAB;

⊿EBAeste isoscel avand doua laturi congruente =>∢BEA≡∢EAB;

m(∢BDA)+m(∢DAB)+m(∢BEA)+m(∢EAB)=180°

2∙m(∢EAD)=180°=>m(∢EAD)=90° =>∢DAC≡∢BDA≡∢DAB

⊿AEC∼⊿DAC(avand doua unghiuri congruente)

\inline =>\frac{EC}{AC}=\frac{AC}{CD}=>\frac{EB+BC}{AC}=\frac{AC}{BC-BD}=>

\inline \frac{AB+BC}{AC}=\frac{AC}{BC-AB}

=>AC∙AC=(AB+BC)(BC-AB)=>

\inline {AC}^2={BC}^2-{AB}^2=>

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2

10. Care este lungimea diagonalei unui patrat de latura a?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 16

In triunghiul ABC aplicam teorema lui Pitagora:

AC2 = AB2 + BC2 => AC2 = 2a2 => AC =a\inline \sqrt2

11. Care este lungimea inaltimii unui triunghi echilateral de latura 4 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 17

Daca AD este inaltime, iar triunghiu ABC este echilateral, Ad este si mediana. => BD = DC = 2 cm.

In triunghiul DAB aplicam teorema lui Pitagora:

AB2 = BD2 + AD2 => AD2 = 16 – 4 = 12 => AD = 2\inline \sqrt3

12. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel este de 4 cm. Sa se calculeze catetele triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 18

Aplicam teorema lui Pitagora:

BC2 = AB2 + AC2 => 2 ∙ AC2 = 16 => AC = AB = 2\inline \sqrt2

13. Un triunghi dreptunghic are o cateta de 5 cm, iar unghiul opus ei este de 30. Calculati lungimile ipotenuzei, a celelilalte catete, a inaltimii etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 19

Cateta care se opune unui unghi de 30° este jumatate din ipotenuza

=> BC = 10 cm.

Aplicam teorema lui Pitagora:

BC2 = AB2 + AC2 => AC2 = 100 – 25 = 75 => AC = 5\inline \sqrt3

14. Intr-un trapez dreptunghic, bazele au 10 cm si 7 cm, iar latura neparalela perpendiculara pe ele este de 4 cm. Calculati lungimile celeilalte laturi si ale diagonalelor.

Rezolvare:

Ducem din D perpendiculara DE pe BC. In triunghiul DEC aplicam teorema lui Pitagora, stiind ca EC = BC – AD = 3 cm si DE = AB = 4 cm (ADEB este dreptunghi avand laturile paralele si unghiuri de 90°)

DC2 = DE2 + EC2 => DC2 = 9 + 16 = 25 => DC = 5

Aplicam teorema lui Pitagora in \inline \bigtriangleup ABC:\ {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=\inline 16+100=116=>AC=2\sqrt{29}

Aplicam teorema lui Pitagora in \inline \bigtriangleup BDE:\ {BD}^2={DE}^2+{EB}^2=\inline 16+49=65=>BD=\sqrt{65}

15. Un trapez dreptunghic are bazele 11 cm si 7 cm, iar una din diagonale de 15 cm. Sa se calculeze lungimile laturilor neparalele si a celeilalte diagonale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 20

Cazul 1. AC = 15.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BAC: \inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=>

\inline {AB}^2=225-121=104=>AB=2\ \sqrt{26}

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul DEC: \inline {DC}^2={EC}^2+{DE}^2=>

\inline {DC}^2=16+104=120=>DC=2\ \sqrt{30}

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDE: \inline {BD}^2={BE}^2+{DE}^2=>

\inline {BD}^2=49+104=153=>DC=3\ \sqrt{17}

Cazul 2. BD=15.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDE: \inline {BD}^2={BE}^2+{DE}^2=>

\inline {DE}^2=225-49=176=>DE=4\ \sqrt{11}=AB

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul DEC: \inline {DC}^2={EC}^2+{DE}^2=>

\inline {DC}^2=16+176=192=>DC=8\ \sqrt3

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BAC: \inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=>

\inline {AC}^2=176+121=297=>AB=3\ \sqrt{33}

16. Un triunghi isoscel are laturile congruente de 10 cm iar baza de 8 cm. Calculati inaltimea corespunzatoare bazei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 21

Stim ca in triunghiul isoscel inaltimea corespunzatoare bazei este si mediana => BD = DC =4.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD: \inline {AB}^2={BD}^2+{AD}^2=>

\inline AD=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21}

17. In problema precedenta calculati si celelalte inaltimi ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 22

⊿ADC∼⊿BEC(dreptunghice si au un unghi comun) =>

\inline \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}=>\frac{BE}{2\sqrt{21}}=\frac{8}{10}=>BE=\frac{8\sqrt{21}}{5}

Stim ca intr-un triunghi isoscel inaltimile duse din varfurile alaturate bazei sunt congruente => \inline CF=\frac{8\sqrt{21}}{5}

18. O coarda a unui cerc de raza 15 cm are lungimea de 8 cm. Calculati distanta de la centrul cercului la acea coarda.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 23

Triunghiul OAB este isoscel, OA si OB fiind raze ale cercului. Fie inaltimea OD, care este si mediana.=> AD = DB = 4.

In triunghiul AOD aplicam teorema lui Pitagora: \inline {AO}^2={OD}^2+{AD}^2=>{OD}^2=\inline 225-16=209=>OD=\sqrt{209}

19. Care este cea mai mica putere ce o poate avea un punct fata de un cerc de raza R? Care este punctul de putere minima?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 24

Ducand diametrul AB, puterea punctului M fat de cerc este

\inline MA\cdot MB=\left(MO-r\right)\left(MO+r\right)={MO}^2-r^2

Aceasta este minima cand MO = 0, deci cand M este in centrul cercului, iar valoarea va fi \inline -r^2.

20. Care este lungimea tangentei dusa dintr-un punct la un cerc de raza 3 cm, daca distanta de la acel punct la centrul cercului este de 8 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 25

Stim ca raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, deci triunghiul OTM este dreptunghic. Aplicam teorema lui Pitagora:

\inline {OM}^2={OT}^2+{TM}^2=>\inline {TM}^2=64-9=55=>TM=\sqrt{55}

21. Calculati lungimea tangentelor comune a doua cercuri tangente exterioare de raze R si r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 26

OT⊥MT;O’T’⊥MT=>OT∥O’T’=>⊿TOM∼⊿T’O’M=>

\inline \frac{MO^\prime}{MO}=\frac{r}{R}=\frac{MT^\prime}{MT}

Notam MT’ = a.

\inline \frac{a}{a+R+r}=\frac{r}{R}=>aR=r\left(a+R+r\right)=>\inline a\left(R-r\right)=r\left(R+r\right)

\inline =>MO^\prime=\frac{r\left(R+r\right)}{R-r}

In triunghiul T’O’M aplicam teorema lui Pitagora:

\inline {MT^\prime}^2=a^2-r^2=\frac{r^2\left(R+r\right)^2}{\left(R-r\right)^2}-r^2=\inline \frac{r^2\left(\left(R+r\right)^2-\left(R-r\right)^2\right)}{\left(R-r\right)^2}

\inline =>MT^\prime=\frac{r}{\left(R-r\right)}\sqrt{\left(R+r+R-r\right)\left(R+r-R+r\right)}=\inline \frac{2r}{R-r}\sqrt{Rr}

\inline \frac{MT^\prime}{MT}=\frac{r}{R}=>\frac{MT^\prime}{MT-MT^\prime}=\frac{r}{R-r}=\inline \frac{MT^\prime}{TT^\prime}=>

\inline TT^\prime=\frac{R-r}{r}\cdot\frac{2r}{R-r}\cdot\sqrt{Rr}\inline =>TT^\prime=2\sqrt{Rr}

22. Calculati lungimile tangentelor comune exterioare si interioare a doua cercuri de raze 8 cm si 5 cm, daca distanta dinte centrele lor este de 20 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 27

Prelungim O’T’ cu un segment T’M = 8 cm. TT’MO are doua laturi paralele si congruente si unghiuri de 90°, deci este dreptunghi, deci TT’=MO

In  aplicam teorema lui Pitagora: OO’2=T’M2+MO2 => TT’ ‘= MO =\inline \sqrt{400-169}=\sqrt{231}

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 28

Luam punctul M pe OT astfel incat MT=O’T. O’T’TM are doua laturi paralele si congruente si unghiuri de 90°, deci este dreptunghi, deci TT’=MO’ iar triunghiul OMO’ este dreptunghic. Aplicam teorema lui Pitagora:

OO’2=OM2+MO’2 => TT’ = MO’ = \inline \sqrt{400-9}=\sqrt{391}

23. Dati diferite metode de a construi un segment de lungime , u si v fiind lungimile unor segmente date.

Rezolvare:

Putem construi un triunghi dreptunghic cu marimea catetelor u, respectiv v. Aplicand teorema lui Pitagora, ipotenuza va avea lungimea \inline \sqrt{uv}.

Putem construi un cerc si luand un punct exterior lui si un punct A pe cerc astfel incat MA = u si MB = v, unde B este a doua intersectie a lui MA cu cercul, tangenta dusa prin M la cerc va avea lungimea \inline \sqrt{uv} conform puterii unui punct fata de cerc.

24. Gasiti un triunghi dreptunghic astfel incat lungimile laturilor, a inaltimii si proiectiilor catetelor pe ipotenuza sa fie toate numere intregi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 29

Alegem numerele 3, 4 si 5 pentru catete si ipotenuza. Vom observa ca inaltimea are valoarea \inline \frac{12}{5}, iar proiectiile catetelor pe ipotenuza \inline \frac{9}{5} si \inline \frac{16}{5}. Vom alege un triunghi dreptunghic asemenea cu acesta, cu raportul de asemanare 5. Astfel catetele vor fi 15 si 20, ipotenuza 25, inaltimea 12, iar proiectiile catetelor pe ipotenuza, 9 si 16.

25. Latura unui romb este de 11 cm, iar lungimea unei diagonale este de 15 cm. Este aceasta diagonala mai mare sau mai mica decat cealalata diagonala?

Rezolvare:

Stim ca diagonalele unui romb sunt perpendiculare si se injumatatesc. Aplicam teorema lui Pitagora pentru a afla cealalta diagonala.

\inline d^2=121-\frac{225}{4}=\frac{259}{4}=>d=\frac{\sqrt{259}}{2}\simeq8

Deci diagonala este cea mai mare.

26. Diagonala unui dreptunghi este de 10 cm iar una din laturi este de 7 cm. Este acea latura “lungimea” sau “latimea”?

Rezolvare:

Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul determinat de doua laturi si digonala, aflam ca cealalta latura este \inline \sqrt{100-49}=\sqrt{51}>7 , deci latura este latimea.

27. Un patrulater ABCD inscris intr-un cerc de raza 25 cm are diagonalele perpendiculare, departate de centrul cercului la 7 cm respectiv 15 cm. Sa se calculeze lungimile laturilor patrulaterului. Sa se calculeze si lungimile diagonalelor si sa se verifice relatia din problema 12 adica AB ∙ CD + AD ∙ BC = AC ∙ BD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 30

Consideram notatiile conform desenului.

OEFG – dreptunghi (din constructie) => OE = FG = 7 cm; GE = OF = 15 cm

In ⊿FOB aplicam teorema lui Pitagora: OB2=FO2+FB2 => FB=\inline \sqrt{(625-225)}=20\\ cm.

GB=FB-FG=20-7=13 cm

In ⊿AEO aplicam teorema lui Pitagora: OA2=AE2+OE2 => AE=\inline \sqrt{625-49}=24 cm.

AG=AE-GE=24-15=9 cm

In ⊿AGB aplicam teorema lui Pitagora: AB2=AG2+GB2 => AB=\inline \sqrt{81+169}=5\sqrt{10} cm.

⊿AOC este isoscel, laturile sale fiind razele cercului, iar OE este inaltimea din varf, deci este si mediana => CE = EA = 24 cm;

CG = CE + EG = 24 + 15 = 39 cm.

In ⊿CGB aplicam teorema lui Pitagora: BC2 = CG2 + GB2 => BC=\inline \sqrt{1521+169}=13\sqrt{10} cm.

In ⊿DFO aplicam teorema lui Pitagora: DO2=DF2+OF2 => DF=\inline \sqrt{625-225}=20 cm.

DG = DF + FG = 20 + 7 = 27 cm

In ⊿AGD aplicam teorema lui Pitagora: DA2=DG2+AG2 => DA=\inline \sqrt{729+81}=9\sqrt{10} cm.

In ⊿DGC aplicam teorema lui Pitagora: DC2=DG2+CG2 => DC= \inline \sqrt{729+1521}=15\sqrt{10} cm.

Laturile au urmatoarele dimensiuni: \inline 15\sqrt{10} cm, \inline 9\sqrt{10} cm, \inline 13\sqrt{10} cm si \inline 5\sqrt{10} cm.

28. Enuntati o reciproca a teoremei inaltimii care sa fie incorecta!

Rezolvare:

Daca intr-un triunghi ABC, D este piciorul inaltimii din A si AD2=BD∙DC, atunci unghiul A are 90°. Fals, deoarece D s-ar putea sa nu fie intre B si C.

29. Intr-un triunghi ABC, unghiul A este ascutit daca si numai daca BC2 < AB2 + AC2.

Rezolvare:

Construim doua triunghiuri, unul in care unghiul A are 90° si unul cu unghiul A’ < 90°. Daca m(∢A’)<m(∢A)=>B’C’<BC. Aplicand teorema lui Pitagora in primul triunghi => BC2 < AB2 + AC2. => B’C’2 < A’B’2 + A’C’2.

Observatie. Desigur ca ati rezolvat cu usurinta problema 10, afland astfel ca lungimea diagonalei unui patrat de latura 1 cm este  cm. Deci constructii simple aplicate unor segmente cu lungimi rationale (chiar intregi) conduc la segmente de lungimi irationale. Descoperirea acestui fapt a produs o mare surpriza in lumea matematicienilor greci, inaintea erei noastre.

Exista totusi triunghiuri dreptunghice ale caror laturi au toate trei lungimile intregi. Unul din ele este cel de catete 3 si 4 si ipotenuza 5. Rezolvand problemele ati intalnit probabil si altele. Se cunoaste forma generala a tripletelor de numere naturale diferite de 0 (x, y, z) pentru care x2 + y2 = z2, anume x = k ∙ (p2 – q2), y = 2kpq, z = k ∙ (p2 + q2) sau acelasi cu x permutat cu y, in care k, p, q sunt numere naturale, p < q si, pentru a evita repetitiile, se presupune ca p si q sunt prime intre ele si sunt unul par si unul impar. Prezenta factorului k este usor de inteles daca avem in vedere notiunea de triunghiuri asemenea. Sa dam cateva exemple, toate cu k = 1, p = 2, q = 1 da (3, 4, 5), p = 3, q = 2 da (5, 12, 13), p = 4, q = 1 da (15, 8, 17), p = 4, q = 3 da (7, 24, 25), p = 5, q = 2 da (21, 20, 29), p = 5, q = 4 da (9, 40, 41) etc. Puteti folosi aceste triplete pentru a construi voi insiva probleme in care sa nu “apara radicali” in cursul rezolvarii lor. Puteti verifica usor ca x, y, z definiti prin formulele de mai sus verifica relatia x2 + y2 = z2. Mai greu, dar nu dincolo de posibilitatile voastre de intelegere, este de a dovedi ca orice triplet de numere intregi (x, y, z) pentru care x2 + y2 = z2 se obtine prin formulele de mai sus cu k, p, q intregi.

Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

Pentru a deduce o prima consecinta a teoremei din paragraful precedent (teorema care se va numi “teorema asupra puterii punctului fata de un cerc”), sa consideram un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90°, sa deducem cercul de centru B si raza AB si sa consideram intersectiile sale D si E cu BC.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 31

Cercul va fi tangent in A la AC, iar BE = BD = BA. Teorema asupra puterii punctului C fata de acest cerc ne spune ca AC2 = CE ∙ CD = (CB + AB)(CB – AB) = CB2 – AB2. Obtinem, ca prima consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc:

Teorema lui Pitagora. Intr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenuzei.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 32

Importanta acestei teoreme este foarte mare. Ea reprezinta solutia unei probleme de tipul: se cunosc lungimile a doua laturi a unui triunghi si masura unghiului cuprins intre ele, sa se calculeze lungimea celei de-a treia laturi (unghiul cuprins intre ele avand o valoare particulara, de 90).

Alta consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc se obtine ducand un diametru AB al unui cerc, alegand un punct C pe tangenta A la cerc si considerand celalalt punct comun D al dreptei CB si al cercului (fig. 1.42).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 33

Vom avea si AB2 = CB ∙ CD

Cum orice triunghi dreptunghic se poate considera in situatia triunghiului ABC din figura, obtinem:

Teorema catetei. Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este medie proportionala intre ipotenuza si proiectia acesteia pe ipotenuza. (Prin proiectie a unui punct pe o dreapta intelegem piciorul perpendicularei duse din acel punct pe acea dreapta. Proiectia unui segment este segmentul determinat de proiectiile capetelor sale; se poate evident intampla ca proiectia unui segment sa se “reduca” la un punct.)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 34

In fine, sa consideram un punct D in interiorul unui cerc si sa ducem diametrul BC si coarda AA’ perpendiculara pe acest diametru ce trec prin D (fig.1.44).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 35

Avem AB ≡ DA’,  iar DB ∙ DC = DA ∙ DA’ = DA2. Deci:

Teorema inaltimii.  Intr-un triunghi dreptunghic, inaltimea dusa din varful unghiului drept este medie proportionala intre cele doua segmente determinate de ea pe ipotenuza.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 36

Observatie. Teorema catetei si teorema inaltimii se pot demonstra si observand ca  si ca  si alegand, din relatiile de proportionalitate ale laturilor, cate doua rapoarte egale, relativ la care se scrie egalitatea dintre produsul mezilor si cel al extremilor.

Cele trei teoreme de mai sus ne permit sa “stapanim situatia” din figura 1.46, in care este desenat un triunghi deptunghic ABC si inaltimea sa AD dusa din varful unghiului drept A.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 37

Mai precis, aceste teoreme ne permit, cunoscand lungimile a doua din cele sase segmente ce apar in figura 1.46 – doua catete, ipotenuza, inaltimea, cele doua proiectii ale catetelor pe ipotenuza – sa calculam lungimile celorlalte patru. Tinand cont si de “simetria situatiei” (nu a figurii!), se pot formula noua astfel de probleme. Doua dintre ele sunt mai dificile si vor fi rezolvate in continuare (problemele rezolvate 2 si 3). Vom incepe cu una din cele simple, iar celelalte sase vor fi obiectul problemelor 1 – 6 din categoria probleme.

Problema rezolvata 1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC, lungimile catetelor sunt AB = 4 cm si AC = 3 cm (fig. 1.47). Sa se determine lungimile ipotenuzei, a inaltimii si a segmentelor determinate pe ipotenuza de piciorul inaltimii.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 38

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AB=4,AC=3

Concluzia: BC=?,AD=?,BD=?,CD=?

Rezolvare:

Din Teorema lui Pitagora deducem BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25, deci

\inline BC\ =\ \sqrt{25}=5

Din teorema catetei deducem AB2 = BD ∙ BC, deci \inline BD=\frac{{AB}^2}{BC}, adica \inline BD=\frac{16}{5}.

Avem acum doua posibilitati de a calcula CD: una consta in a aplica teorema catetei pentru AC, cealalta in a scrie CD=BC-BD=\inline 5-\frac{16}{9}=\frac{5}{9}.

In fine, avem trei posibilitati de a calcula AD: teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice ABD, ACD si teorema inaltimii. Prima da

\inline AD=\sqrt{{AB}^2-{BD}^2}=\sqrt{4^2-{(\frac{16}{5})}^2}=\frac{12}{5}

Observatie.  Din ∆ABC∼∆DACdeducem si \inline \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC} sau AB ∙AC = AD ∙ BC, relatie care ofera o a patra posibilitate de calcul a lui AD. Aceasta relatie nu reprezinta altceva decat “aria lui ABC, calculata in doua moduri”.

Problema rezolvata 2.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC cunoastem lungimile ipotenuzei BC = a si ale inaltimii AD = h. Sa se determine lungimile proiectiilor BD, DC ale catetlor pe ipotenuza. (fig.1.48)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 39

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,BC=a,AD=h

Concluzia: BD=?,CD=?

Rezolvare:

Unghiul BAC fiind drept, rezulta ca bc este un diametru al cercului circumscris triunghiului ABC, deci centrul O al acestui cerc se afla la mijlocul lui BC. Deducem \inline OA=\frac{1}{2};\ BC=\frac{a}{2} si acum este simplu de continuat, aplicam teorema lui Pitagora in ∆OAD care da \inline OD=\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} si obtinem ca rezultat BD=BO+OD= \inline \frac{a}{2}+\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2}, CD=CO-OD= \inline \frac{a}{2}-\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} . Evident ca acest rezultat corespunde modului de a nota astfel figura incat D sa fie intre O si C.

a si h fiind date, conditia necesara si suficienta de existenta a triunghiului din enunt este \inline h\le\frac{a}{2} (aceasta este conditia necesara si suficienta pentru a putea construi ∆OAD).

Odata determinate BD, CD, putem calcula AB, AC aplicand teorema lui Pitagora in ∆ABD si  ∆ACD.

Observatie.  Tinand cont de teorema inaltimii, formulele obtinute rezolva si problema: cunoscand suma a si produsul h2 a doua numere (lungimile BD, CD), sa se afle cele doua numere. Verificati si cu ajutorul calculului algebric aceasta.

Problema rezolvata 3.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC se cunosc lungimile unei catete AC si a proiectiei BD a celelilalte pe ipotenuza, sa se afle lungimile ipotenuzei BC si a proiectiei CD a celeilalte catete pe ipotenuza. (fig. 1.49)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 40

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AC=b,BD=d

Concluzia: BC=?,CD=?

Rezolvare:

Sa consideram cerculd e diametru BD si sa ducem o tangenta CT la acest cerc. Fie O centrul cercului. Teorema catetei spune ca AC2 = CD ∙ CB iar teorema asupra puterii punctului  ca CT2 = CD ∙ CB. Deducem ca CT = AC = b. Avem OT⊥CT si teorema lui Pitagora in ∆CTO da CO=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} obtinem BC=CO+OB=\inline \frac{d}{2}+\sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} iar CD=CO-OD=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2}-\frac{d}{2}.

Oricum am alege doua numere b, d, exista un triunghi care indeplineste conditiile din enunt (se construieste  cu m(∢T)=90° etc.).

Formulele obtinute rezolva si problema; cunoscand diferenta d si produsul b2 a doua numere (lungimile CB, CD) sa se afle cele doua numere (verificati aceasta si prin algebra).

Triunghiul dreptunghic

Triunghiul dreptunghic = triunghiul care are un unghi drept, de 90. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Matematica Capacitate Triunghiul dreptunghic 41

Proprietățile triunghiului dreptunghic
  • Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.
  • Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.
  • Prima teorema a inaltimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.\inline \fn_jvn \large AD=\sqrt{CD\cdot BD}
  • A doua teoremă a înălțimii: Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu m (∢ A) = 90° (v. figura alăturată), iar AD este perpendiculara pe AB. Există relația: AD ∙ BC = AB ∙ AC
  • Teorema catetei: În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu m (∢A) = 90° și AD perpendiculara pe BC (v. figura). Există relația:\inline \fn_jvn \large AB^{2}=BC\cdot BD

  • Teorema unghiului de 45°: Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
  • Teorema unghiului de 30°: Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Teorema unghiului de 15°: Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.
  • Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor: \inline \fn_jvn \large Aria=\frac{AB\cdot AC}{2}
  • Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”: \inline \fn_jvn \large BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}

Functii trigonometrice

  • Sinusul = cateta opusă / ipotenuză: \inline \fn_jvn \large sin B=\frac{AC}{BC}
  • Cosinusul = cateta alaturată / ipotenuză: \inline \fn_jvn \large cos B=\frac{AB}{AC}
  • Tangenta = cateta opusă / cateta alaturată: \inline \fn_jvn \large tg B=\frac{AC}{AB}
  • Cotangenta = cateta alaturată / cateta opusa: \inline \fn_jvn \large ctg B=\frac{AB}{AC}

Matematica Capacitate Triunghiul dreptunghic 42