Probleme: Suprafete si corpuri rotunde

1. Un cilindru se desfasoara pe un plan dupa un dreptunghi, ale carui diagonale sunt egale cu 2a si formeaza intre ele un unghi de 120°. Sa se afle raza si generatoarea cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 1

BD=2πR;

m(∢DOC)=60°=>OD=OC=CD=a (generatoarea);

2\pi R=a\sqrt3=>R=\frac{a\sqrt3}{2\pi}

Sau:

CD=2\pi R=a=>R=\frac{a}{2\pi};

BD=a\sqrt3(generatoarea)

2. Un cilindru circular drept, asezat cu baza intr-un plan orizontal, are generatoarea g=6\sqrt3\ m si raza de 6 m. Se inclina cilindrul, astfel incat centrul unei baze sa se proiecteze vertical intr-un punct al cercului celelilalte baze. Ce unghi formeaza in acest caz generatoarea cu planul orizontal?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 2

tg\ \beta=\frac{1}{\sqrt3}=>

β=30°=> Unghiul cautat este de 90°-30°=60°

3. Un plan ce contine centrele celor doua baze ale unui cilindru circular drept intersecteaza cercurile celor doua baze in A si B si respectiv A’ si B’. (A, A’ sunt pe aceeasi generatoare, B, B’ la fel). Gasiti distanta dintre punctele A si B’, in functie de raza R a bazei si generatoarea G.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 3

AB^\prime=\sqrt{4R^2+G^2}

4. Un con circular drept are raza bazei de 9 cm si inaltimea 20 cm, este intersectat cu un plan paralel cu baza. La ce distanta de varf trebuie dus planul, astfel incat raza cercului de sectiune sa fie de 6 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 4

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{20}=\frac{6}{9}=> VO^\prime=\frac{40}{3}

5. Un con circular drept are diametrul bazei de 12 cm si inaltimea egala cu \frac{2}{3} din diametru. La ce distanta de varful conului trebuie facuta o sectiune printr-un plan paralel cu baza, astfel incat lungimea cercului de sectiune sa fie 9π?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 5

OA=\frac{12}{2}=6;

VO=\frac{2}{3}\cdot12=8;

2\pi\cdot O^\prime A^\prime=9\pi=>

O^\prime A^\prime=\frac{9}{2};

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{8}=\frac{\frac{9}{2}}{6} =>VO^\prime=6

6. Un con cu generatoarea de 16 cm se desfasoara pe un plan, dupa un sfert de cerc. Gasiti raza bazei conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 6

2\pi\cdot OA=2\pi\cdot16\cdot\frac{1}{4}= 2\pi\cdot4 =>OA=4

7. Intr-un trunchi de con circular drept cu R = 16 cm si r = 8 cm, se inscriu doua conuri care au ca baze, bazele trunchiului si generatoarele unuia in prelungirea generatoarelor celuilalt. Stiind ca inaltimea trunchiului este de 12 cm, sa se afle inaltimile celor doua conuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 7

⊿B’O’V∼⊿AVO =>\frac{O^\prime V}{OV}=\frac{O^\prime B}{AO}=> {\frac{O^\prime V}{OO}}^\prime=\frac{8}{24}=>

\frac{O^\prime V}{12}=\frac{1}{3}=> O’V=4; OV=8

8. Fie d o semidreapta de origine O, si un unghi ascutit θ, ambele date. Gasiti locul geometric al punctelor M din spatiu pentru care unghiul dintre OM si d este θ.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 8

MO’=sinθ∙OM;

Locul geometric este o panza conica pentru care generatoarea face cu d un unghi

9. O dreapta ce trece prin centrul unei sfere cu cu raza R = 10 cm, intersecteaza un plan α intr-un punct M, astfel ca OM = 26 cm. Stiind ca distanta de la M la proiectia lui O pe α este 24 cm, stabiliti pozitia planului α fata de sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 9

OA=\sqrt{{26}^2-{24}^2}=10=R=>

Sfera si planul sunt tangente.

10. Un plan α intersecteaza o sfera cu raza R = 0,5 m, astfel incat aria cercului de sectiune este de 4 ori mai mica decat aria unui cerc mare al sferei. Gasiti distanta de la centrul sferei la planul de sectiune.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 10

\pi R^2=4\pi{O^\prime B}^2=>

O^\prime B=\frac{R}{2}=\frac{1}{4};

OO^\prime=\sqrt{{OB}^2-{O^\prime B}^2}= \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt3}{4}

11. Fie doua sfere de centre O si O’ si raze R si R’. In fiecare din situatiile urmatoare precizati pozitiile sferelor:

  1. R = 8 cm, R’ = 4 cm, OO’ = 3 cm;
  2. R = 13, 5 cm, R’ = 4,5 cm, OO’ = 20 cm;
  3. R\ =\ 2\sqrt3\ cm, \ R^\prime=2\cdot\left(2-\ \sqrt3\right)\ cm, OO^\prime=3\ cm;
  4. R=2\cdot\left(4-\ \sqrt2\right), \ R^\prime=2\cdot\left(3-\ 2\sqrt3\right)\ cm, \ OO^\prime=1\ cm.

Rezolvare:

OO'<R^'<R: Una in interiorul celeilalte;

OO’>R+R’: exterioare;

OO'<R+R’: secante;

R'<0: imposibil.

12. Doua plane paralele intersecteaza sfera de raza R = 5 cm, dupa doua cercuri cu razele respectiv r = 3 cm si r’ = 4 cm. Aflati inaltimea zonei sferice determinata de cele doua plane.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 11

Daca planele sunt de aceeasi parte a centrului sferei:

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

O{O}''=\sqrt{25-9}=4;

O’O”=OO”-OO’=1;

Daca planele sunt de o parte si de alta a centrului sferei:

O’O”=OO”+OO’=7.

13. Gasiti locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse din punctul fix A pe planul variabil ce trece prin punctul fix B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 12

AB este constant iar m(∢AA’B)=90°, unde A’ este proiectia pe planul variabil.=> locul geometric este o sfera cu centrul pe mijlocul lui AB.

Suprafete si corpuri rotunde

Generalitati. Consideratii intuitive

a. In capitolele de geometrie in spatiu de pana acum, am studiat figuri geometrice formate din linii drepte sau portiuni de linii drepte ( segmente), suprafete plane sau portiuni de suprafete plane (poligoane) si corpuri marginite de astfel de suprafete.

Viata de toate zilele si diverse alte activitati ne pun insa mereu in contact cu linii curbe, cu suprafete curbe, cu corpuri marginite de suprafete curbe, pe care, in mod obisnuit, le numim corpuri rotunde.

Nu avem intentia sa dam definitia generala a unei linii curbe sau a unei suprafete curbe (aceasta necesita cunoasterea notiunii de continuitate).

In acest paragraf intentionam sa descriem cateva fapte intuitive, care sa contureze mai bine aceste notiuni. Abia in paragrafele urmatoare, unde vom defini si vom studia cateva suprafete particulare, vom folosi un limbaj matematic mai precis.

b. Un punct in miscare descrie o linie curba ( 18.1); nu orice linie curba este continuta intr-un plan.

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 13
fig. 18 1

Un fir de ata, indiferent cum l-am deforma, ne sugereaza o linie curbata. (fig. 18.1).

Muchia unui corp este, in general, o linie curba (fig.18.2).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 14
fig. 18 2

Evident ca noi consideram linia dreapta ca un caz particular al liniei curbe. Pozitiile diferitelor puncte pe o linie curba data se pot preciza, daca am fixat un punct pe acea curba ca origine, prin distantele pe curba de la ele pana la acel punct, deci printr-un numar real. (fig.18.3).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 15
fig. 18 3

O curba “n-are nici latime, nici grosime”, ci numai lungime.

c. O suprafata curba este fata (imaginea) unui corp rotund ( 18.4). O tesatura, deformata chiar, este o suprafata curba. (fig. 18.5).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 16
fig. 18 4

Tesatura este formata din fire; o linie curba in miscare descrie (genereaza) o suprafata curba (fig. 18.5 si 18.6).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 17
fig. 18 5 ; fig. 18 6

Pozitia unui punct pe o suprafata curba se poate preciza numai dand doua coordonate ale sale (fig. 18.7).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 18
fig. 18 7

d. Oricum am lua o linie curba si un fir de ata, putem deforma acest fir, fara a-l intinde sau rupe, astfel incat el sa coincida cu linia curba data (18.8).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 19
fig. 18 8

Acest fapt nu este adevarat pentru suprafete. Nu putem aseza o foaie de hartie peste o minge, fara a o “strica”. Aceasta face ca desenarea unui planiglob sa fie dificila si sa nu se poate face decat obtinanad o imagine deformata a suprafetei Pamantului.

e. Suprafetele cilindrice. Am afirmat ca orice linie curba in miscare descrie o suprafata curba. O linie dreapta d, care se misca paralel cu ea insasi, inatalnind in permanenta o dreapta data descrie un plan (fig 18.9).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 20
fig. 18 9

Stim ca o linie dreapta d, care se misca paralel cu positia ei initiala, intalnind in permanenta un poligon plan (P) dat, situat intr-un plan neparalel cu d, descrie o suprafata prismatica. Sa inlocuim acum poligonul (P) cu o linie curba oarecare fixata. Suntem condusi astfel la urmatoarea:

Definitie. Fie (C) o curba plana si a o dreapta data neparalela cu planul curbei (C). Totalitatea punctelor dreptelor d ce trec prin punctele lui (C) si sunt paralele cu a formeaza suprafata cilindrica de vaza (C) si directie a.

Dreptele d se numesc generatoarele suprafetei cilindrice, iar (C) se numeste curba directoare a suprafetei cilindrice. (fig.18.10).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 21
fig. 18 10

Daca a este perpendiculara pe planul lui (C) suprafata se numeste suprafata cilindrica dreapta, de baza (C).

Observatie. Pe o suprafata cilindrica data exista multe curbe plane (intersectia suprafetei cilindrice cu diverse plane). Oricare din ele, care intersecteaza toate generatoarele poate fi folosita pentru generarea suprafetei cilindrice, ca in definitia de mai sus.

In acest mod, orice suprafata cilindrica poate aparea ca suprafata cilindrica dreapta (daca vom considera ca directoare intersectia ei cu un plan perpendicular pe generatoare).

O linie curba plana pate fi un arc, o curba inchisa, sau poate avea outo-intersectii (fig.18.11).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 22
fig. 18 11

Suprafetele cilindrice generate au forme corespunzatoare celor din figura 18.12.

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 23
fig. 18 12

O proprietate importanta a suprafetei cilindrice generate de un arc simplu este aceea ca se poate “desfasura” si aseza pe o suprafata plana. Cel mai simplu se vede acest lucru reprezentand suprafata ca o suprafata cilindrica dreapta de baza (C), “indreptand” (C) pana la o dreapta d si apoi asezand generatoarele suprafetei perpendicular pe g.

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 24
fig. 18 13

f. Panze conice. Fie (C) o curba plana si P un punct situat in afara planului ei. Totalitatea semidreptelor cu originea in P si avand un punct situat pe (C) formeaza panza conica de varf P si baza (C). Semidreptele se numesc generatoare ale panzei conice (fig. 18.14).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 25
fig. 18 14

Observatie. Pe o panza conica exista mai multe curbe plane (intersectiile ei cu diferite plane). Oricare din ele, care intersecteaza toate generatoarele, poate fi considerata ca genereaza panza conica.

Panzele conice pot fi generate si de curbe de spatiu.

Si panzele conice generate de arce de curba, “suficient de scurte”, pot fi desfasurate si asezate pe un plan. Cel mai simplu mod de a face aceasta este de a alege o distanta l, de a aseza pe fiecare generatoare un segment de lungime l, obtinand o curba (in general neplana) (fig. 18.15).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 26
fig. 18 15

Asezam curba peste un arc de cerc de raza l (ceea ce este posibil daca lungimea curbei depaseste ) si generatoarele respective peste razele corespunzatoare ale cercului.

g. Observatie. Suprafetele cilindrice ne-au aparut drept “analoagele curbe” ale suprafetelor prismatice, iar panzele conice drept “analoagele curbe” ale suprafetelor piramidale.