Suprafete de rotatie

Observatie. Daca aplicam unui punct M toate rotatiile in jurul unei drepte a, obtinem, daca M∉a toate punctele cercului ce trece prin M, situat in planul perpendicular pe a si care contine pe M, cerc cu centrul in proiectia lui M pe a (fig. 18.31).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 1
fig. 18 31

Definitie. Fie a o dreapta si (C) o curba. Se numeste suprafata de rotatie in jurul lui a, generata de (C), totalitatea punctelor ce se obtin aplicand punctelor de pe (C) toate rotatiile in jurul lui a. (fig. 18.32).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 2
fig. 18 32

Conform observatiei precedente, suprafata de rotatie se poate defini si ca totalitatea punctelor situate pe toate cercurile avand centrele pe a, continute in plane perpendiculare pe a si care au puncte comune cu (C).

Teorema. Suprafata de rotatie a unei drepte d in jurul unei drepte paralele cu ea este o suprafata cilindrica circulara dreapta.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 3
fig. 18 33

Demonstratie. Sa consideram suprafata cilindrica dreapta definita de un cerc (C) cu centrul pe a, situat intr-un plan α perpendicular pe a si care trece prin intersectia α cu d. (fig. 18.33). Dreapta d va fi o generatoare a ei, deci va fi continuta in ea. Sectiunile acestei suprafete, prin plane perpendiculare pe a, vor fi toate cercurile de raze congruente cu razele lui (C), cu centrele pe a. Deci, cu centrul in orice punct dat a lui a, putem duce, intr-un plan perpendicular pe a, un cerc care intalneste d. Aceste cercuri “umplu” suprafata de rotatie.

Teorema. Suprafata de rotatie a unei semidrepte d in jurul unei drepte a ce trece prin originea ei O, neperpendiculara pe d, este o panza conica circulara dreapta.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 4
fig. 18 34

Demonstratie. Sa luam un punct M pe d si sa consideram cercul (C) cu centrul in proiectia N a lui M pe a, situat in planul α ce trece prin M perpendicular pe a (fig. 18.34). Cum d⊥a, N≠O=>O∉α si cum d≠a, avem N≠M.

Fie panza conica circulara dreapta generata de O si (C). Dreapta d este o generatoare a ei, iar sectiunile ei prin toate planele β paralele cu planul α sunt cercurile cu centrele in intersectia lui β cu a si care trec prin intersectia lui β cu d. Acestea sunt toate cercurile ce constituie suprafata de rotatie in discutie.

Observatie. Daca d⊥a, atunci suprafata de rotatie este planul perpendicular in O pe a.

Teorema. a) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte paralele cu el este un cilindru circular drept.

b) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte ce trece prin unul din capetele lui, neperpendicular pe ea, este un con circular drept.

c) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte, coplanara cu el, ce nu-l intersecteaza si nu e nici paralela nici perpendiculara pe el, este un trunchi de con circular drept. Demonstratia ei constituie o consecinta imediata a celor de mai sus.

Observatie. In cazurile b), c) din teorema, daca dreapta este perpendiculara pe segment, se obtine un cerc (inclusiv interiorul sau), respectiv o coroana circulara (cuprinsa intre doua cercuri concentrice) (fig. 18.35).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 5
fig. 18 35

Teorema. Suprafata de rotatie a unui cerc (C) in jurul unui diametru al sau este o sfera.

Demonstratie. Fie R raza lui (C). Fie (S) sfera de centru O, egal cu centrul cercului (C) de raza R. Daca  este planul lui (C), atunci (C) este intersectia lui α cu (S).

Fie a o dreapta care trece prin centrul cercului (C) si care este continuta in planul sau. Sa consideram un plan arbitrar β⊥a, care intersecteaza sfera (fig. 18.36). El se intersecteaza cu a intr-un punct M din interiorul lui (C), deci dreapta d=α∩β intersecteaza (C) in doua puncte P si Q. Stim ca β taie sfera dupa un cerc, care trece prin P si Q, avand drept centru proiectia lui O pe β, care este M. Aceste cercuri “vor umple” suprafata de rotatie.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 6
fig. 18 36

Definitie. Suprafata de rotatie a unui arc de cerc, mai mic decat un semicerc, in jurul unui diametru ce trece prin unul din capetele sale, se numeste calota sferica. Daca diametrul nu intalneste deloc arcul, suprafata se numeste zona sferica.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 7
fig. 18 37

Din cele de mai sus, rezulta ca o calota sferica poate fi considerata un caz particular de zona sferica.

Sa consideram un plan α si pe el doua drepte d si c, formand un unghi ascutit in N (fig. 18.38).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 8
fig. 18 38

Asezam d pe generatoarea unui cilindru circular drept si infasuram apoi planul pe cilindru, astfel incat N’ sa vina in N si M sa se afle pe d. (Bineinteles am presupus ca lungimea cercului de baza al cilindrului este egala, ca masura, cu segmentul NN’.) Perpendiculara in N pe d se va infasura pe cercul de baza al cilindrului. Dreapta c se va infasura determinand o curba numita elice. Filetul unui surub este o elice.

Problema rezolvata. Un con circular drept de raza R si inaltime 2R este intersectat cu o sfera cu diametrul cat inaltimea conului si cu centrul la jumatatea inaltimea conului, dupa un cerc. Sa se afle raza cercului de sectiune, in functie de R.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 9
fig. 18 39

Din triunghiul dreptunghic VOB (fig.18.39) deducem {VB}^2={VO}^2+{OB}^2. Deci, {VB}^2={VO}^2+{OB}^2

Observam ca triunghiul VNO este, de asemenea, dreptunghic, fiind inscris intr-un semicerc, deci VN este proiectia lui VO pe VB. Deducem ca: 4R^2=VB\cdot VN; VN=\frac{4R^2}{\sqrt5R}= \frac{4R}{\sqrt5}. Din ⊿VO’N∼⊿VOB, unde O’ este centrul cercului de sectiune si x raza sa, deducem:

\frac{VN}{VB}= \frac{x}{R}; \frac{\frac{4R}{\sqrt5}}{R\sqrt5}=\frac{x}{R}, \ X=\frac{4R}{5}.