Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta

1.Examinati tabelul de valori al sinusului si raspundeti la intrebarea: daca x < y atunci avem  sin x < sin y, sin x > sin y sau sin x = sin y?

Demonstrati apoi raspunsul (evident ca tabelul, ce nu contine decat valorile lui sin x pentru x intreg, nu ne poate ajuta in aceasta demonstratie); amintiti-va teoremele de la “inegalitati”.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 1

Daca x < y atunci avem sinx < siny.

x<y;\sin{x=\frac{BB\prime}{R}};\sin{y=\frac{CC^\prime}{R}}\ ;

BB^\prime<CC^\prime=>sinx<\sin{y}

2.Aceeasi intrebare pentru cosinus.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 2

Daca x < y atunci avem cos x > cos y.

x<y;\cos{x=\frac{OC\prime}{R}};\cos{y=\frac{OB\prime}{R}}\ ;

OB^\prime>OC^\prime=>cosx>\cos{y}

3.Examinati diferentele dintre valorile succesive ale sinusului din tabelul de mai sus; mai precis examinati valorile expresiei sin(x+1°)-sinx pentru x intreg. Unde creste mai repede, in zona valorilor mici sau a celor mai mari a lui x?

Rezolvare:

Sinusul creste mai repede in zona valorilor mici.

4.Care sunt valorile lui x pentru care sin x = cos x?

Rezolvare:

x=45°

5.Ce puteti spune despre masura x a unui unghi ascutit pentru care sin x = 0,8? Dar daca stim ca cos y = 0,55?

Rezolvare:

Pentru sin x = 0,8, din tabel => 0,799 <0,8 < 0,809 =>sin 53° < sin x < sin 54° deci 53 < x < 54.

Daca cos y = 0,55 =>  => 0,545 < 0,55 < 0,559 =>

=>   56 < y < 57.

6.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are lungimea a, iar unul din unghiurile ascutite masura x. Sa se exprime lungimile catetelor, ale inaltimii, ale proiectiilor catetelor pe ipotenuza. (La aceasta problema ca si la cele care urmeaza se vor considera si exemple numerice.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 3

sinx=\frac{b}{a}=>b=a\cdot\sin{x};\cos{x}=\frac{c}{a}=>c=a\cdot\cos{x}

a\cdot u=a^2\cdot{sin}^2x=>u=\frac{a^2\cdot{sin}^2x}{a}=a\cdot{sin}^2x

a\cdot v=a^2\cdot {cos}^2x=>v=\frac{a^2\cdot {cos}^2x}{a}=a\cdot {cos}^2x

h^2=u\cdot v=a\cdot {sin}^2x\cdot a\cdot {cos}^2x=>h=a\cdot \sin{x}\cdot \cos{x}

Exemplu numeric:

Fie x = 30°; a =10; => \inline c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};h=\frac{5\sqrt3}{2}

7.Inaltimea unui triunghi dreptunghic corespunzatoare unghiului drept are lungimea h, iar unul dintre unghiurile ascutite ale triunghiului are masura x. Exprimati lungimile ipotenuzei, ale catetelor etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 4

\sin{x}=\frac{h}{c}=>c=\frac{h}{\sin{x}};

sin (90^{\circ}-x)=cos\ {x}=\frac{h}{b}=>b=\frac{h}{\cos{x}};

\cos{x}=\frac{v}{c}=>v=c\cdot cosx=h\cdot\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

cos(90^{\circ}-x)=\sin{x}=\frac{u}{b}=>u=b\cdot\sin{x}=h\cdot\frac{\sin{x}}{\cos{x}};

a=u+v=h\cdot\frac{{cos}^2x+{sin}^2x}{\cos{x}\sin{x}}=h\cdot\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}

Exemplu numeric:

Fie \inline h=\frac{5\sqrt3}{2};x=30^{\circ};=>c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};a=10

8.Baza mica a unui trapez dreptunghic are lungimea b, latura “oblica” are lungimea c, iar unghiul ascutit masura x. Sa se exprime baza mare, latura perpendiculara si diagonalele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 5

\sin{x}=\frac{d}{c}=>d=c\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{a-b}{c}=>a-b=c\cdot\cos{x}=>a=b+c\cdot\cos{x};

e=\sqrt{c^2\cdot{sin}^2x+b^2};

f=\sqrt{{(b+c\cdot\cos{x})}^2+c^2\cdot{sin}^2x}

9.Intr-un cerc de raza R se considera un unghi la centru de masura x. Care este lungimea coardei “corespunzatoare”?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 6

Ducem perpendiculara din O pe AB. Triunghiul AOB este isoscel, laturile sale fiind egale cu raza cercului => AC este si bisectoare.

sin\ {\frac{x}{2}}=\frac{BC}{R}=\frac{AB}{2R}=>AB=2R\cdot\sin{\frac{x}{2}}

10.Un triunghi isoscel are unghiurile de la baza de masura x, iar laturile congruente de lungime a. Sa se calculeze baza, inaltimea corespunzatoare bazei si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 7

\sin{x}=\frac{h}{a}=>h=a\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}=>b=2a\cdot\cos{x}\ ;

\sin{x}=\frac{g}{b}=\frac{g}{2a\cdot\cos{x}}=>g=2a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}

Exemplu numericx = 30°; a = 10 => \inline \sin{30^{\circ}}=\frac{1}{2};\cos{30^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2} ,deci

h=5;b=10\sqrt3;\ g=5\sqrt3

11.Se cunosc lungimile bazei si a laturilor congruente dintr-un triunghi isoscel. Sa se scrie o relatie din care sa se poata determina unghiul de la varf al triunghiului (relatia va contine, evident, “sinus” sau “cosinus”).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 8

Ducem inaltimea din A, care va fi si mediana si bisectoare conform proprietatii triunghiului isoscel.

=>\sin{\frac{A}{2}}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}

12.Cunoscand lungimea si latimea unui dreptunghi sa se determine masura unghiului ascutit format de diagonalele sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 9

Ducem prin M o paralela la BC. Stiind ca diagonalele unui dreptunghi se injumatatesc si sunt congruente  => MN este inaltime in triunghiul isoscel BMC deci este si bisectoare. \inline m\left(\sphericalangle CMN\right)=\frac{x}{2}\inline \sphericalangle CMN\equiv\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle BMN (conform constructiei de drepte paralele).

In trunghiul dreptunghic ABC, \inline tg{\frac{x}{2}}=\frac{l}{L} , unde l este latimea dreptunghiului, iar L mare, lungimea sa.

13.Un punct este la distanta de 15 cm de centrul unui cerc de raza 5 cm. Sub ce unghi “se vede cercul” din acel punct (cu alte cuvinte care este unghiul format de tangentele duse din acel punct la cerc)?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 10

\inline \bigtriangleup TMO\equiv\bigtriangleup T\prime MO (cazul C.I. – \inline T'O\bot MT^\prime;OT\bot MT raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta) => ∢TMO≡∢OMT’.

In ⊿TMO, \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{OT}{OM}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}

14.Doua cercuri de raze R si r au distanta d intre centre. Sub ce unghi se vad cercurile din punctul de intersectie al tangentelor comune exterioare? Dar din cel al tangentelor comune interioare?

Rezolvare:

In cazul tangentelor exterioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 11

Din problema anterioara stim ca \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R}{OM}=\frac{r}{O\prime M}}

O’M∥OA=>⊿BMO’∼⊿AMO \inline =>\frac{O^\prime M}{OM}=\frac{r}{R}=>

\inline \frac{O^\prime M}{O^\prime M+d}=\frac{r}{R}=>\frac{O^\prime M}{d}=\frac{r}{R-r}\inline =>O^\prime M=\frac{dr}{R-r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{r(R-r)}{d\cdot r}}=\frac{R-r}{d}

In cazul tangentelor interioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 12

⊿AMO≡⊿CMO (fiind triunghiuri dreptunghice, raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, cazul C.I.) => m(∢AMO)=m(∢OMC)=\inline \frac{x}{2}

\inline \sin{\frac{x}{2}}=\frac{R}{OM};\ \bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup DO^\prime M \inline =>\frac{OM}{MO^\prime}=\frac{R}{r}=>\frac{OM}{d-OM}=\frac{R}{r}=>

\inline r\cdot OM=R\cdot d-R\cdot OM=>OM=\frac{Rd}{R+r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R\cdot\left(R+r\right)}{R\cdot d}}=\frac{R+r}{d}

15.O dreapta este la distanta d de centrul unui cerc de raza R. Care este unghiul format de dreapta cu tangenta la cerc intr-un punct de intersectie al dreptei cu cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 13

m(∢BTA)+m(∢ATO)=m(∢ATO)+m(∢AOT)=90°

=>∢AOT≡∢ATB=> \inline \cos{x}=\frac{OA}{OT}=\frac{d}{R}

16.In ∆ABC cu m(∢A)=90° ducem AD⊥BC,DE⊥AB,EF⊥ Exprimati BF si AF cunoscand BC = a si m(∢B)=x.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 14

\inline AB=a\cdot\cos{x};AC=a\cdot\sin{x}; ∢DAC≡∢ABC (sunt complementare cu unghiul C) => \inline AD=a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x};CD=a\cdot{sin}^2x;

m(∡FEB)=m(∢DAE)=m(∢EDF)=90°-x=>

\inline DB=\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}; \inline EB=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=>

\inline BF=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=a\cdot{cos}^4x

\inline DF=BC-BF-CD=a-a\cdot{cos}^4x-a\cdot{sin}^2x=>

\inline DF=a\cdot{cos}^2x-a\cdot{cos}^4x;

\inline AF=\sqrt{{AD}^2+{DF}^2}=\sqrt{a^2\cdot{sin}^2x\cdot{cos}^2x+a^2\cdot\left({cos}^2x-{cos}^4x\right)^2}=

\inline =a\cdot\cos{x\cdot\sin{x}}\cdot\sqrt{1+{sin}^2x\cdot{cos}^2x}

17.Aratati ca \inline ctgx=\frac{1}{tgx}.

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}=\frac{1}{tgx}

18.Aratati ca ctg x = tg (90°-x).

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{\sin{\left(90^{\circ}-x\right)}}{\cos{\left(90^{\circ}-x\right)}}=tg\ (90^{\circ}-x)

19.Calculati tg 29°, ctg 44° etc.

Rezolvare:

tg 29°=0,554;ctg 44°=tg 46°=1,036

20.Ce puteti spune despre unghiurile x, y daca tgx=2,1 si ctgx=0,5?

Rezolvare:

tg 64°=2,050; tg 65°=2,145=>

2,050 < 2,1 < 2,145=>64°<x<65°

ctg x=tg (90°-x)

tg 26°=0,488;tg 27°= 0,510=>

0,488<0,5<0,510=>26°<90°-x<27°=>63°<x<64°

21.Aratati ca daca x < y atunci tg x < tg y iar ctg x > ctg y.

Rezolvare:

\inline tg\ x=\frac{sinx}{cosx} stim ca pentru x<y,sin x<sin y;cos x>cos y \inline =>\frac{1}{\cos{x}}<\frac{1}{\cos{y}}=>

tgx < tgy;

De asemenea, \inline ctgx=\frac{1}{tgx}  deci, bazandu-ne pe demonstratia de mai sus, pentru x<y=>ctg x>ctg y.

22.Determinati tangenta si cotangenta unghiurilor de 30°, 45° si 60 °.

Rezolvare:

\inline tg\ 30^{\circ}=\frac{\sin{30^{\circ}}}{\cos{30^{\circ}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3};ctg\ 30^{\circ}=\frac{\cos{30^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}}=\sqrt3

\inline tg\ 45^{\circ}=\frac{\sin{45^{\circ}}}{\cos{45^{\circ}}}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=1;ctg\ 45^{\circ}=\frac{1}{tg\ 45^{\circ}}=1

\inline tg\ 60^{\circ}=\frac{\sin{60^{\circ}}}{\cos{60^{\circ}}}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=\sqrt3;\ ctg\ 60^{\circ}=\frac{1}{tg\ 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt3}

Sinusul si cosinusul unui unghi

Ne vom pune acum problema de a determina, cunoscand lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic si masura unuia din unghiurile ascutite, lungimea laturii opuse acelui unghi.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 15

Raspunsul la aceasta problema nu se poate da cu ajutorul unei formule care sa contina numai operatii cu numere cunoscute pana acum. Situatia nu este atat de “grava” incat sa fim obligati sa rezolvam de fiecare data o astfel de problema printr-o masuratoare. Anume, sa observam ca daca in doua triunghiuri dreptunghice cu m(∢A)=m(∢A’)=90° unghiurile din B si B’ sunt congruente atunci triunghiurile sunt asemenea (cazul 2) si deci \inline \frac{AC}{A^\prime C^\prime}=\frac{BC}{B^\prime C^\prime} , deci cunoscand ipotenuzele lor si cateta AC din primul determinam cu usurinta cateta A’C’ din celalalt. (fig.1.51).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 16

Cu alte cuvinte este suficient sa cunoastem raportul \inline \frac{AC}{BC} intr-un triunghi dreptunghic care are masura unghiului B egala cu x, pentru a putea calcula cateta opusa unui unghi de masura x in orice triunghi dreptunghic caruia i se cunoaste ipotenuza.

Ajungem la concluzia ca este preferabil sa caracterizam marimea unui unghi ascutit nu prin numarul sau de grade, ci prin raportul dintre distanta de la un punct de pe una din laturile sale la cealalta latura si distanta de la acel punct la varful unghiului. (fig. 1.52).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 17

Rationamentul de mai sus (cu triunghiuri asemenea) ne arata ca acest raport nu se schimba daca inlocuim punctul cu alt punct de pe acea latura sau de pe cealalta sau daca inlocuim unghiul cu unul congruent.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 18

\inline \frac{AM}{AO}=\frac{BN}{BO}=\frac{CP}{CO}=\frac{DQ}{DO^\prime}

Definitie. Daca 0 < x < 90°, se numeste sin(x) si se citeste “sinus de x”, raportul dintre cateta opusa a unghiului x si ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic care are unul din unghiurile ascutite de masura x.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 19

Am vazut mai sus ca “definitia este corecta”.

Aceste unghiuri nu se masoara, ele se pot calcula printr-o formula in care apare o “suma imfinita”, formula ce “incepe” astfel:

sinx=\frac{\pi x}{180}-\frac{1}{6}{(\frac{\pi x}{180})}^3+\frac{1}{120}{(\frac{\pi x}{180})}^5-\ldots

Dam mai jos un tabel (calculat, de exemplu, pe baza formulei de mai sus), in care figureaza valorile lui sin x, cu trei zecimale exacte, pentru toti x exprimati printr-un numar intreg de grade, cuprins intre si 90°.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 20

Cu ajutorul acestui tabel putem raspunde la doua tipuri de intrebari:

  1. Sa se afle sin 23°, Gasim in tabel sin 23° = 0,391; mai precis deoarece tabelul contine valori aproximative: 0,3905 < sin 23° < 0,3915.
  2. Sinusul unui unghi este 0,32. Care este masura x a acelui unghi? Din tabel gasim ca sin 18° = 0, 309 < 0,32 < 0,326 = sin 19°, deci x este cuprins intre 18° si 19°.

Exista si tabele mai precise, cu mai multe zecimale, si din “minut in minut” etc.

Observatia 1. Putem determina nasura x a unui unghi daca stim de exemplu ca \inline sin\frac{x}{2}=0,16 . Din tabel obtinem 9°<\inline \frac{x}{2}<10° deci 18°<x<20°.

Observatia 2.Din cele cunoscute pana acum putem deduce valoarea exacta a sinusurilor a trei unghiuri. Stim (teorema lui Pitagora) ca intr-un triunghi dreptunghic isoscel de cateta a ipotenuza este \inline a\sqrt2.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 21

Deci sin 45°=\inline \frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.

Stim ca intr-un triunghi dreptunghic de ipotenuza a ce are un unghi ascutit de 30° cateta opusa acelui unghi este \inline \frac{a}{2} (deoarece “completand” triunghiul se obtine un triunghi echilateral, fig. 1.56).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 22

Deci sin 30°=\inline \frac{1}{2}. In acelasi triunghi lungimea celeilalte catete este \inline \frac{a\sqrt3}{2} (teorema lui Pitagora), deci  sin 60°=\inline \frac{\sqrt3}{2}.

Problema rezolvata 1. Cunoscand ipotenuza si un unghi ascutit ale unui triunghi dreptunghic, sa se afle catetele. (fig.1.57).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 23

Ipoteza: BC=a,m(∢B)=x,m(∢A)=90°

Concluzie: AC=?,AB=?

Rezolvare:

Avem prin definitie \inline \frac{AC}{a}=sinx, deci AC = a sin x. Teorema lui Pitagora da

\inline AB=\sqrt{a^2-{AC}^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2x}=a\sqrt{1-\sin^2x}.

Mai putem scrie, deoarece m(∢C)=90°-x si AB=a,sinC=a sin⁡(90°-x).

Observatie. Sa remarcam ca am scris \inline \sin^2x in loc de sin x2aceasta este o conventie de scriere.

Problema rezolvata 2. Cunoscand o cateta si ipotenuza unui triunghi dreptunghic, sa se afle unghiurile triunghiului. (fig. 1.58)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 24

Ipoteza: m(∢A)=90°,BC=a,AC=b

Concluzia: m(∢B)=?m(∢C)=?

Rezolvare:

Conform definitiei avem \inline sinB=\frac{b}{a} si aceasta relatie constituie un raspuns la intrebarea “care este masura ∢B?”.

Masura ∢C se determina fie din m(∢C)=90°-m(∢B)fie din \inline sinC=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} (teorema lui Pitagora, \inline sinC=\frac{AB}{a}).

Tinand seama de rezultatul din problema rezolvata 1, se da:

Definitie: Daca 0° < x < 90° se numeste cos x si se citeste “cosinus de x” numarul sin (90°-x).

Sinusul si cosinusul unui unghi se numesc si “functii trigonometrice ale acelui unghi”.

CE STIM DESPRE SINUS SI COSINUS?

  1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90° avem AC = BC ∙ sin B, AB = BC ∙ cos B (fig. 1.59)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 25

b. 0<sinx<1;0<cosx<1.

c. cosx=sin(90°-x). Aceasta ne permite sa folosim tabelul anterior si la calculul cosinusului unui unghi dat si la determinarea unui unghi cand i se cunoaste cosinusul.

Din rezolvarea problemei 1 am vazut ca \inline cosx=\sqrt{1-\sin^2x} deci \inline \sin^2x+\cos^2x=1 pentru orice x cuprins intre si 90°. Aceasta este o expresie “trigonometrica” a teoremei lui Pitagora.

\inline sin30°=\frac{1}{2},sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2},sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} , deci

\inline cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2},cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2},cos60°=\frac{1}{2}

Triunghiul dreptunghic

Triunghiul dreptunghic = triunghiul care are un unghi drept, de 90. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Matematica Capacitate Triunghiul dreptunghic 26

Proprietățile triunghiului dreptunghic
  • Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.
  • Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.
  • Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.
  • Prima teorema a inaltimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.\inline \fn_jvn \large AD=\sqrt{CD\cdot BD}
  • A doua teoremă a înălțimii: Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu m (∢ A) = 90° (v. figura alăturată), iar AD este perpendiculara pe AB. Există relația: AD ∙ BC = AB ∙ AC
  • Teorema catetei: În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu m (∢A) = 90° și AD perpendiculara pe BC (v. figura). Există relația:\inline \fn_jvn \large AB^{2}=BC\cdot BD

  • Teorema unghiului de 45°: Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
  • Teorema unghiului de 30°: Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  • Teorema unghiului de 15°: Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.
  • Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor: \inline \fn_jvn \large Aria=\frac{AB\cdot AC}{2}
  • Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”: \inline \fn_jvn \large BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}

Functii trigonometrice

  • Sinusul = cateta opusă / ipotenuză: \inline \fn_jvn \large sin B=\frac{AC}{BC}
  • Cosinusul = cateta alaturată / ipotenuză: \inline \fn_jvn \large cos B=\frac{AB}{AC}
  • Tangenta = cateta opusă / cateta alaturată: \inline \fn_jvn \large tg B=\frac{AC}{AB}
  • Cotangenta = cateta alaturată / cateta opusa: \inline \fn_jvn \large ctg B=\frac{AB}{AC}

Matematica Capacitate Triunghiul dreptunghic 27