Probleme puterea unui punct fata de un cerc

1.Sa se arate ca puterea unui punct exterior unui cerc fata de acel cerc este egala cu patratul distantei de la acel punct la punctul de contact al tangentei dusa din el la cerc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 1

Ipoteza: MC tangenta la cerc, AB coarda

Concluzie: MA∙MB=MC2

m(∢CAB)=m(∢ACM)=\inline m\frac{\widehat{(AC)}}{2}

⊿CBM∼⊿ACM (un unghi comun si doua unghiuri congruente) =>

\inline \frac{BM}{CM}=\frac{CM}{AM}=BM∙AM=MC2

2.Tangentele duse la doua cercuri secante dintr-un punct situat pe dreapta ce trece prin cele doua puncte comune celor doua cercuri (si in exteriorul celor doua cercuri) au lungimi egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 2

Din problema anterioara => BM∙AM=MN2 si BM∙AM=MP2

=>MN2=MP2=MN=MP

3.Daca un punct are puteri egale fata de doua cercuri secante, atunci el este situat pe dreapta ce uneste cele doua puncte comune celor doua cercuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 3

Unim pe M cu P, unul din punctele comune si calculam puterea lui M fata de cele doua cercuri.

MA∙MB=MS∙MP;MC∙MD=MT∙MP

Dar MA∙MB=MC∙MD=MT=MS deci S este celalalt punct de intersectie al celor doua cercuri

4.Care este locul geometric al punctelor ce au puteri egale fata de doua cercuri tangente?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 4

MA∙MB=MC∙MD

Unim pe M cu punctul de tangenta si obtine relatiile:

MA∙MB=MC∙MD=MT2 => M apartine tangentei comune in punctul de tangenta.

5.Trei cercuri cu centrele necoliniare sunt secante doua cate doua. Sa se arate ca cele trei coarde comune sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 5

Din problema 3 stim ca daca un punct are puteri egale fata de doua cercuri secante, atunci el este situat pe dreapta ce uneste cele doua puncte comune celor doua cercuri. Fie M un astfel de punct pentru cercurile C(O) si C(O’).

Dar E si F sunt situate si ele pe O’ iar D si C pe O’’ =>

MA∙MB=ME∙MF=MD∙MC=>  M are puteri egale si pentru cercurile O’ si O’’ si pentru O si O’’ => el apartine intersectiei coardelor.

6.Se dau doua segmente u, v. Construiti un segment de lungime \inline \sqrt{uv}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 6

Construim un cerc, iar in exteriorul sau luam un punct M astfel incat MA=u;MB=v, A si B apartinand cercului. Prin M ducem tangenta la cerc care intersecteaza cercul in T. Conform puterii lui M fata de cerc MA∙MB=MT2 => \inline MT=\sqrt{u\cdot v}

7.Se dau punctele A, B si o dreapta d. Sa se construiasca un cerc care trece prin A, B si este tangent dreptei d (A, B sunt in acelasi semiplan fata de dreapta d). Cate solutii are in general problema? Care este cazul de exceptie?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 7

Unim pe A cu B si prelungim pe AB pana se intersecteaza cu dreapta d. Punctul de intersectie il vom nota cu M. Punctul de tangenta al dreptei d cu cercul se va afla la distanta \inline \sqrt{MA\cdot M B} pe d. (aici putem considera doua sensuri, deci vom avea doua solutii) Ducem perpendiculara in T pe dreapta d si mediatoarea segmentului AB. Punctul de intersectie va fi centrul cercului.

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 8

Daca AB∥d, ducem mediatoarea segmentului AB pana se intersecteaza cu d, iar centrul cercului va fi la 1/3 din distanta segmentului nou obtinut fata de punctul de intersectie cu drapta d. In acest caz, avem o singura solutie.

8. Dati o noua demonstratie teoremei conform careia daca printr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem o secanta ce intersecteaza cercul in A, B, atunci produsul MA ∙ MB este acelasi pentru toate secantele ce trec prin M, in cazul in care M este exterior cercului, aratand asemanarea altei perechi de triunghiuri decat cea considerata in demonstratia data.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 9

ABDC este un patrulater inscris in cerc. m(∢BDC)+m(∢BAC)=180°

Dar si m(∢BAC)+m(∢CAM)=180°=> ∢BDC≡∢CAM=>

⊿AMC∼⊿DMB (∢AMC≡∢DMB unghi comun si doua unghiuri congruente) =>

\inline \frac{AM}{MD}=\frac{MC}{MB}=AM∙MB=MD∙MC

9.Dati o noua demonstratie teoremei: daca intr-un patrulater convex diagonalele formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente, atunci unghiurile opuse ale patrulaterului sunt suplementare. Nu se va folosi nicaieri in demonstratie notiunea de cerc!

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 10

Ipoteza: ∢DAC≡∢DBC

Concluzie: m(DAB)+m(BCD)=180°

∢DAC≡∢DBC, dar si ∢AMD≡∢BMC=> in ⊿AMD,⊿BMC stiind ca suma unghiurilor unui triunghi este de 180°, ∢MDA≡∢MCB

⊿AMD∼⊿BMC, \inline \frac{AM}{MB}=\frac{DM}{MB}=>\frac{AM}{DM}=\frac{BM}{MC}

Stiind ca si ∢AMB≡∢CMD (unghiuri opuse la varf) =>

⊿AMB∼⊿DMC (avand cate un unghi congruent si laturile care il formeaza proportionale) =>∢CAB≡∢BDC;∢MBA≡∢DCM

m(∢ADB)+m(∢DAC)+m(∢CAB)+m(∢ABD)=180°

(suma unghiurilor unui triunghi)

m(∢ACB)+m(∢DAC)+m(∢CAB)+m(∢ACD)=

m(∢DAB)+m(∢DCB)=180°

m(∢ADB)+m(∢BDC)+m(∢DCA)+m(∢DAC)=180°

(suma unghiurilor unui triunghi)

m(∢ADB)+m(∢BDC)+m(∢CBD)+m(∢ABD)=

m(∢ADC)+m(∢ABC)=180°

10.Se considera un cerc, un punct fix M nesituat pe acel cerc si un numar (pozitiv) k. Se considera un punct A pe cerc si punctul B de pe segmentul MA pentru care MA ∙ MB = k. Care este locul geometric a lui B cand A parcurge cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 11

Ducem din M tangentele la cercul dat care intersecteaza cercul in punctele T, respectiv T’. Ducem prin o dreapta BU, U apartinand segmentului MT astfel incat  avand unghiurile congruente.

\inline \frac{AB}{UT}=\frac{UM}{AM} => AB∙AM=UT∙UM => UM = \inline \frac{k}{UT}

UM este constanta, M fiind fix, => pozitia lui U este fixa. Similar gasim si punctul U’ pe cealalta tangenta. In timp ce A se deplaseaza pe cerc, B va descrie si el un cerc cu diametrul UU’ (acestea fiind pozitiile extreme delimitate de tangente.)

11.Care este locul geometric din problema 10, in cazul cand M se afla pe cerc?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 12

Ducem diametrul MN si consideram pe el un punct P astfel incat .

\inline \bigtriangleup AMN\equiv \bigtriangleup PMB (avand unghiurile congruente) =>

\inline \frac{AM}{MP}=\frac{MN}{MB}

=> AM∙MB=MP∙MN => MP∙2R=k =>

MP este constant, deci B se afla pe perpendiculara in punctul P.

Puterea unui punct fata de un cerc

Teorema urmatoare este o aplicatie a asemanarii triunghiurilor. Ea ar fi aparut ca o problema la paragraful respectiv, daca nu ar fi prezentat o importanta deosebita prin consecintele ei, ce vor fi enuntate in paragraful urmator.

Teorema:  Daca printr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem o secanta ce intersecteaza cercul in A, B, atunci produsul MA ∙ MB este acelasi pentru toate secantele ce trec prin M.

In demonstratie vom deosebi doua cazuri.

Cazul 1.  M este in interiorul cercului. (fig. 1.32)

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 13

Concluzia: MA ∙ MB = MC ∙ MD

Demonstratie:

(cazul 2) deoarece  (opuse la varf) si  (ambele au ca masura jumatate din masura arcului CXB). Deci \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB} de unde, scriind ca produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obtinem concluzia dorita.

Cazul 2.  M este in exteriorul cercului.

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 14

Concluzie: MA ∙ MB = MC ∙ MD

Demonstratie:

(cazul 2) deoarece (identice) si  (ambele au ca masuri jumatate din cea a arcului BXC). Deci \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB} etc.

Observatie.  Teorema este adevarata, in cazul cand M este exterior cercului, si pentru tangentele duse din M la cerc; pe o tangenta, punctele A si B coincid. Demonstratia se face la fel; pentru a nu ne baza pe o proprietate a tangentei, sa observam, in figura 1.34, in care O este centrul cercului, ca \inline \fn_jvn \large m(\sphericalangle MAC)= 90^{\circ}-m(\sphericalangle OAC)= \inline \fn_jvn \large \frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot m(\sphericalangle OAC))=\frac{1}{2}m(\widehat{AXC}).

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 15

Teorema de mai sus ne conduce la urmatoarea:

Definitie: Fie M un punct si (C) un cerc.

  1. Daca M este in exteriorul cercului, numim puterea lui M fata de cerc valoarea MA ∙ MB, unde A si B sunt intersectiile unei drepte oarecare ce trece prin M cu cercul (C), luata cu semnul “+”.
  2. Daca M este pe cerc, spunem ca puterea lui fata de cerc este 0.
  3. Daca M este in interiorul cercului, numim “puterea lui M fata de cerc” valoarea MA ∙ MB, unde A si B sunt intersectiile unei drepte oarecare ce trece prin M cu cercul (C), luata cu semnul “-”.

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 16

Observatii.

  1. Ce ne-ar fi impiedicat sa dam definitia de mai sus inainte sa demonstram teorema? Daca vrem sa definim “puterea unui punct M fata de un cerc (C) aceasta trebuie sa fie un element, in cazul nostru un numar, care sa depinda numai de punctul M si de cercul (C). Examinand definitia de mai sus, vedem ca numarul MA ∙ MB definit in ea poate in principiu sa depinda nu numai de M si de cercul (C) ci si de “directia” secantei MAB, cu alte cuvinte, incercand sa calculam puterea lui m fata de cercul (C) ci si de “directia” secantei MAB, cu alte cuvinte, incercand sa calculam puterea lui M fata de cercul (C) am putea obtine rezultate diferite daca obtinem secante diferite. Daca intr-adevar asa ceva s-ar intampla, am spune ca “directia este incorecta”. Teorema de mai sus arata ca asa ceva nu se intampla, deci ca definitia “este corecta”, adica, oricum am alege secanta MAB, obtinem aceeasi valoare pentru MA∙MB. (In cazul de fata am fi putut ocoli discutia de mai sus, definind puterea punctului cu ajutorul unei secante precizate; cea mai naturala alegere ar fi fost: secanta ce trece prin centru cercului fata de cerc). Pe de o parte o astfel de definitie ar fi fost artificiala, iar pe de alta parte nu in toate cazurile in care se dau definitii in situatii cum este cea descrisa mai sus se pot alege astfel de “obiecte privilegiate” cum a fost aici secanta ce trece prin centru.)
  2. De ce consideram puterea unui punct ca avand semnul pozitiv sau negativ, dupa cum este in exteriorul sau in interiorul cercului? Stim ca daca spunem: fiind dat un punct A pe o dreapta d, alegeti pe d un punct B astfel incat segmentul AB sa aiba 2 c, problema are doua solutii, deci pozitia lui B nu este precizata prin fraza de mai sus. Aceasta nedeterminare poate fi inlaturata considerand, in loc de segmente AB, care sunt tot una cu BA, segmente “orientate” AB, care nu vor fi socotite tot una cu BA. Pe o dreapta data d alegem “un sens” (materializat printr-o semidreapta a ei s) si vom conveni sa consideram, daca segmentul AB are de exemplu 2 cm, ca segmentul orientat AB are +2 cm daca semidreapta AB are acelasi sens cu semidreapta s (deci este continuta in s sau contine pe s) si ca segmentul orientat AB are – 2cm daca semidreapta AB este de sens contrar cu semidreapta s (deci nu are puncte comune cu s sau daca intersectia lor este interiorul unui segment.)

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 17

  • AB = – 2 cm
  • CD = + 2 cm
  • EF = + 2 cm
  • GH = – 2 cm

Dupa aceasta conventie, daca avem o dreapta d, o semidreapta s, un punct A pe d si un numar a pozitiv sau negativ, putem gasi un punct B pe d si numai unul astfel incat lungim segmentului orientat AB sa fie a. Daca acceptam si segmente orientate de forma AA, de lungime nula, atunci cele spuse sunt valabile si in cazul a = 0.

In cazul puterii punctului fata de cerc, in definitia de mai sus, este clar ca, oricum am alege sensul pe secanta MAB, segmentele orientate MA si MB vor avea acelasi sens, deci acelasi semn, cand M va fi in exteriorul cercului si vor avea sensuri deci semne contrare cand M va fi in interior. Cand M este pe cerc, unul din aceste segmente este nul. Deci produsul MA ∙ MB al lungimii segmentelor orientate MA, MB va fi pozitiv cand M va fi in exterior, nul cand M va fi pe cerc si negativ cand M va fi in interior. In acest mod “se explica” definitia de mai sus.