Probleme: Trunchiul de piramida

1. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de 6\sqrt3\ m, latura bazei mici de 2\sqrt3\ m si muchia laterala de 5\ m. Sa se calculeze aria laterla si volumul trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 1

r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt3}=2;R=6;

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

Fetele laterale sunt trapeze isoscel cu inaltimea:

a_l=\sqrt{25-12}=\sqrt{13};

A_l=3\cdot8\sqrt3\cdot\sqrt{13}\cdot\frac{1}{2}=12\sqrt{39\ }\ {cm}^2

V=\frac{3}{3}\left(3\sqrt3+27\sqrt3+\sqrt{3\cdot3\cdot27}\right)=39\sqrt3\ {cm}^3

2. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari L, latura bazei mici l si inaltimea Sa se calculeze, in functie de L, l si h, inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 2

A^\prime O^\prime=l\sqrt2;AO=L\sqrt2;

\bigtriangleup VA^\prime O^\prime\sim\bigtriangleup VAO=>\frac{A^\prime O^\prime}{AO}=\frac{VO^\prime}{VO}=>

\frac{l}{L-l}=\frac{VO^\prime}{h}=>VO^\prime=\frac{hl}{L-l}

=>VO=h+\frac{hl}{L-l}=\frac{hL}{L-l}

3. O piramida are aria bazei de 8 cm2 si inaltimea de 10 cm. Se sectioneaza cu un plan paralel cu baza dusa prin mijlocul inaltimii. Se cere volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

V_{piramida\ mare}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot10=\frac{80}{3};

V_{piramida\ mica}=\frac{1}{3}\cdot2\cdot5=\frac{10}{3}=>

V_{trunchi}=\frac{70}{3}

4. Intr-un trunchi de piramida hexagonala regulata se cunosc (notatiile fiind cele din figura 15.7): inaltimea A’P = 3 cm, distanta B’E’ = 8 cm si latura bazei mari DE = 8 cm.

  1. sa se calculeze volumul trunchiului de piramida.
  2. Sa se calculeze aria laterala a trunchiului de piramida.

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 3
fig. 15 7

Rezolvare:

B^\prime E^\prime=2r=>{r=B}^\prime C^\prime=4\ cm;

s=3\cdot16\cdot\frac{\sqrt3}{2};

S=3\cdot64\cdot\frac{\sqrt3}{2};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(24\sqrt3+96\sqrt3+\sqrt{24\cdot96\cdot3}\right)= 168\sqrt{3\ }\ {cm}^3;

B^\prime B=\sqrt{9+16}=5;

\ H_{trapez}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}

A=6\cdot\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{21}=36\sqrt{21}\ {cm}^2

5. Se da o piramida regulata VABCD, avand baza un patrat ABCD si lungimea inaltimii egala cu 8 cm. La ce distanta de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu planul bazei, astfel incat raportul dintre volumul trunchiului de piramida obtinut si volumul piramidei VABCD sa fie egal cu \frac{7}{8}?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 4

\frac{V_{ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}= \frac{7}{8}=\frac{V_{VABCD}-V_{VA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}=

\frac{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8-\frac{1}{3}\cdot{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8}= 1-\frac{{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{8\cdot{AB}^2};

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{h}{8}=> 1-\frac{h^3}{8^3}=\frac{7}{8}=>

\left(\frac{h}{8}\right)^3=\frac{1}{8}=> \frac{h}{8}=\frac{1}{2};

h=4;d=8-4=4

6. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 12 cm, latura bazei mici l = 0,6 dm si volumul V=63\sqrt3\ {cm}^3. Sa se afle inaltimea, apotema, muchia si aria laterala a trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 5

r=2\sqrt3;O^\prime M=\sqrt3\;

R=4\sqrt3;ON=2\sqrt3;

s=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3;

S=\frac{144\sqrt3}{4}=36\sqrt3;

V=\frac{I}{3}\cdot\left(9\sqrt3+36\sqrt3+\sqrt{9\cdot36\cdot3}\right)=

63\sqrt3=> I\cdot63\sqrt3=189\sqrt3=>

I=3\ cm;

MN=\sqrt{9+3}=2\sqrt3\ cm;

B^\prime B=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\ cm;

\ A_l=3\cdot\frac{18}{2}\cdot2\sqrt3=54\sqrt3\ {cm}^2

7. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 10m, raza cercului circumscris bazei mici r=\frac{4\sqrt3}{3}m si aria laterala A_l=168\ m^2. Sa se afle volumul si muchia laterala a trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 6

C^\prime B^\prime=4;

\ A_{BCC^\prime B^\prime}=56=\frac{4+10}{2}\cdot MN=>MN=8;

O^\prime M=\frac{2\sqrt3}{3};

OA=\frac{10\sqrt3}{3}; ON=\frac{5\sqrt3}{3};

OO^\prime=\sqrt{64-3}=\sqrt{61};

AA^\prime=\sqrt{12+61}=\sqrt{73};

V=\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot\left(\frac{100\sqrt3}{4}+\frac{16\sqrt3}{4}+\sqrt{25\cdot4\cdot3}\right)=

\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot51\sqrt3=17\sqrt{183}

8. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are diagonala de 9 m si laturile bazelor de 7 m si 5 m. Se cere aria laterala si volumul sau.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 7

A^\prime C^\prime=5\sqrt2;AC=7\sqrt2;\\

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 8

C^\prime M=\sqrt{81-72}=3;

C^\prime C=\sqrt{9+2}=\sqrt{11};

NP=\sqrt{11-1}=\sqrt{10};

A_l=4\cdot\frac{7+5}{2}\cdot\sqrt{10}=24\sqrt{10};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(49+25+\sqrt{35}\right)=74+\sqrt{35}

9. Un trunchi de piramida are ca baze doua romburi cu laturile de 6 cm si 8 cm si cu cate un unghi de 120°. Inaltimea trunchiului este egala cu triplul diagonalei mari a bazei mari si uneste centrele romburilor. Sa se calculeze inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 9

Triunghiul ABD este echilateral =>

AB=BD=8\ cm;

AO=\sqrt{64-16}=4\sqrt3;

AC=8\sqrt3;

O^\prime O=24\sqrt3;

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=>

\frac{VO^\prime}{VO^\prime+24\sqrt3}=\frac{6}{8}=>

VO^\prime=72\sqrt3=>VO=96\sqrt3

10. O piramida are toate muchiile laterale congruente si ele formeaza cu planul bazei unghiuri de 45°. Baza este un trapez isoscel cu unghiurile ascutite de cate 60° si bazele de 6 cm si 8 cm. Se sectioneaza piramida cu un plan paralel cu baza, si care imparte inaltimea in doua parti egale. Sa se afle volumul trunchiului de piramida obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 10

MB=\frac{8-6}{2}=1; BC=2MB=2;

CM=\sqrt3;AO=OV;

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{VO^\prime}{VO}=> \frac{A^\prime B^\prime}{8}=\frac{1}{2}=>

A^\prime B^\prime=4;D^\prime C^\prime=3;

C^\prime M^\prime=\frac{\sqrt3}{2};

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 11

AN=ND=1;

AP=2\cdot AN=2;

PT=\frac{AB}{2}-AP=2;

\cos{30}=\frac{PT}{PO}=> PO=\frac{4}{\sqrt3};

OT=\frac{2}{\sqrt3}; OQ=\frac{2}{\sqrt3}+\sqrt3

OD=\sqrt{\frac{25}{3}+9}=\sqrt{\frac{52}{3}}= \frac{2\sqrt{39}}{3}=OA=H;

V=\frac{49\sqrt{13}}{12}

11. O piramida regulata are inaltimea de 12 cm. La ce distanta de varf trebuie sa se faca o sectiune, printr-un plan paralel cu baza, astfel incat aria laterala a piramidei mici, ce se formeaza, sa fie egala cu aria laterala a trunchiului de piramida regulata.

Rezolvare:

Se foloseste relatia \frac{p\cdot a}{P\cdot A}=\frac{1}{2} (p, a fiind perimetrul si apotema piramidei mici si P, A a celei mari). Daca notam cu x distanta de la varf la sectiunea in piramida, \frac{x^2}{144}=\frac{1}{2}

=>x=6\sqrt2\ cm.

12. Un trunchi de piramida regulata are ca baze doua triunghiuri echilaterale cu laturile a si respectiv 2a. Apotema trunchiului este agala cu 4a. Sa se calculeze, in functie de a, aria totala si volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 12C^\prime M=\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{\sqrt3}{6}a;

CN=a\sqrt3; ON=\frac{\sqrt3}{3}\ a;

NP=\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{a}{2\sqrt3}

h^2=\left(4a\right)^2-\left(\frac{a}{2\sqrt3}\right)^2,\ h fiind inaltimea trunchiului de piramida,

A_t=\frac{75+5\sqrt3}{4}\cdot a^2,

V=\frac{7\sqrt{191}}{24}\cdot a^3.

13. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de b metri, latura bazei mici de a metri si unghiul format de muchia laterala cu muchia bazei mari, care pornesc din acelasi varf, egal cu 60°. Sa se calculeze, volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 13

AT=UC=\frac{b-a}{2};

m\left(\sphericalangle AA^\prime T\right)=30=>

AA^\prime=b-a; A^\prime T=\frac{\sqrt3}{2}\left(b-a\right);

O^\prime N=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{1}{3}\cdot\frac{b\sqrt3}{2};

MP=\frac{\sqrt3}{6}\left(b-a\right);

NP=\sqrt{\frac{3}{4}\left(b-a\right)^2-\frac{3}{36}\left(b-a\right)^2}=

\left(b-a\right)\sqrt{\frac{8}{12}}=\frac{\left(b-a\right)2}{\sqrt6};

V=\frac{\left(b-a\right)2}{3\sqrt6}\cdot\left(\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac{ab\sqrt3}{4}\right)=

\frac{\left(b-a\right)}{6\sqrt6}\left(a^2+b^2+ab\right)=

\left(a^2b+b^3+ab^2-a^3-{ab}^2-a^2b\right)\cdot\frac{1}{6\sqrt6}=

\frac{b^3-a^3}{6\sqrt6}

14.*Un trunchi de piramida are ariile bazelor egale cu S1 si S2. Se face o sectiune printr-un plan paralel cu bazele, la aceeasi distanta fata de ambele baze. Sa se calculeze aria S a acestei sectiuni in functie de S1 si S2.

Rezolvare:

Daca notam cu H inaltimea piramidei din care face parte trunchiul si cu h inaltimea trunchiului, putem scrie:

\left(\frac{H-h}{H}\right)^2=\frac{S_1}{S_2};

\ \left(\frac{H-\frac{h}{2}}{H}\right)^2=\frac{S}{S_2}=>

h=\frac{H\left(\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}\right)}{\sqrt{S_2}}\ ;

\ \frac{H-\frac{h}{2}}{H}=\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}=>

\left(\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}\right)^2=\frac{S}{S_2}

=>S=\frac{{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}^2}{4}

15. Un trunchi de piramida are ariile bazelor S si s si inaltimea I. Sa se calculeze, in functie de S, s si I, volumul piramidei din care face parte trunchiul.

Rezolvare:

Daca se noteaza cu x inaltimea piramidei:

\frac{x}{I+x}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S}=>

\frac{x}{I}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s}=>

x=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

H=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

V=\frac{I\cdot S\sqrt S}{3\cdot(\sqrt S-\sqrt s)}.

Probleme: Pozitiile relative a trei plane

1. Doua drepte paralele cu acelasi plan sunt neaparat paralele intre ele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 14

Considerand in figura de mai sus planul α∥β, a∈α, b∈α=>a∥β;b∥β dar a∦b.

2. Se dau doua drepte necoplanare si un punct C. Sa se duca prin C o dreapta coplanara atat cu a cat si cu b.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 15

Dreapta a si punctul C determina un plan, iar dreapta b si punctul C determina alt plan. Avand punctul C in comun inseamna ca cele doua planuri se intersecteaza iar intersectia lor este o dreapta care trece prin C. Aceasta dreapta este coplanara atat cu a cat si cu b.

3. Daca dreptele d si g sunt paralele si g este paralela cu planul α, atunci si dreapta d este paralela cu planul α (sau continuta in el).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 16

Presupunem ca dreapta d are un punct comun cu planul α, dar in acest caz, g fiind paralela cu d, d este continuta in planul α. In caz contrar inseamna ca nu are niciun punct comun cu planul α, deci este paralela cu el.

4. Dandu-se punctele A, B, C, D necoplanare, segmentele AB, BC, CD, DA alcatuiesc ceea ce se cheama un patrulater stramb; AC si BC sunt diagonalele lui. Intersectand laturile sale cu un plan paralel cu o diagonala, stabiliti natura poligonului convex cu varfurile in aceste puncte de intersectie.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 17

Sa presupunem ca planul α∥BD. Planul  va intersecta planul (ABD) dupa o dreapta paralela cu BD. Deci MQ∥BD. In mod similar NP∥BD =>

MQ∥NP=>MNPQ este trapez.

5. Daca doua drepte paralele a si b sunt intersectate de un plan variabil, in punctele A, respectiv B, sa se gaseasca locul geometric al mijlocului segmentului AB.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 18

Segmentul AB apartine planului determinat de dreptele a si b. Problema s-a redus la o problema de geometrie in plan, iar locul geometric este o dreapta paralela situata la distanta egala de dreptele a si b.

6. Prin doua drepte paralele d si g trec doua plane α si β intersectate de un al treilea plan γ. In ce conditii dreptele a=α∩γ si b=β∩γ sunt paralele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 19

Daca a∥β.

7. Daca d si g sunt doua drepte necoplanare, atunci exista un plan si numai unul care sa contina pe d si sa fie paralel cu g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 20

Fie A un punct oarecare al dreptei d. Punctul A si dreapta g determina un plan β. Prin A ducem in planul β o paralela la g, pe care o notam cu g’. Dreptele g’ si d determina un plan paralel cu g. Cu aceasta am demonstrat existenta. Unicitatea se demonstreaza prin metoda reducerii la absurd.

8. Stim ca un plan intersecteaza doua paralele dupa doua drepte paralele. Formulati o reciproca si cercetati daca este adevarata.

Rezolvare:

“Daca un plan α intersecteaza doua plane β si γ dupa doua drepte paralele, atunci β si γ sunt paralele.” Este o afirmatie falsa. Planele β si γ se pot intalni intr-o dreapta paralela cu α.

9. Doua triunghiuri ABC si ACD au laturile AB si AD continute intr-un plan α. Fie M∈AC, astfel ca AM≡MC. Paralela prin M la AB intersecteaza dreapta BC in punctul N. Paralela prin M la AD intersecteaza dreapta CD in punctul P. Stabiliti pozitia planelor (ABD) si (MNP).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 21

MN este linie mijlocie in triunghiul BCA=>NM∥AB; NM∥α;

MP este linie mijlocie in triunghiul DCA=>MP∥AD; MP∥α;

AB⊂α;AD⊂α => (ABD)=α => (ABD)∥(MNP)

10. Se dau trei plane paralele α, β, γ si punctele A, B in planul α, iar C, D in planul β. Dreptele AC, BC, BD, AD intersecteaza planul γ in punctele E, F, G, H. Sa se arate ca figura EFGH este un paralelogram.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 22

Din triunghiurile  si  rezulta ca EF∥AB; HG∥AB => EF∥HG, iar din triunghiurile  si BCD: EH∥CD; FG∥CD => EH∥FG => EFGH paralelogram.

11. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare si M, N, P, Q, R, S, mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DA, AC, BD (in aceasta ordine). Sa se arate ca:

  • MNPQ este paralelogram;
  • MRPS este paralelogram;
  • NRQS este paralelogram;
  • Dreptele MP, NQ si RS sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 23

MN\parallel AC; MN=\frac{AC}{2}; PQ\parallel AC; PQ=\frac{AC}{2}

=>MNPQ este paralelogram.

In mod analog, folosind teorema liniei mijlocii in triunghi si celelalte patrulatere sunt paralelograme.

Paralelogramele MNPQ si MRPS au diagonala MP comuna, deci RS trece prin mijlocul lui MP. Analog, MRPS si NRQS au diagonala RS comuna, deci NQ trece prin mijlocul lui RS. Cum MP, NQ si RS au mijloacele in acelasi punct, rezulta ca sunt concurente.

12. Fie patru puncte necoplanare A, B, C, D si M, N, P, Q mijloacele respective ale segmentelor AB, BC, CD, DA. Aratati ca M, N, P, Q sunt coplanare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 24

MN este linie mijlocie in triunghiul ABC: MN=\frac{AC}{2} (1)

PQ este linie mijlocie in triunghiul DAC: PQ=\frac{AC}{2} (2)

Din (1) si (2) => MN = PQ

Analog se demonstreaza ca: MQ∥NP;MQ=MP

13. Doua plane paralele cu doua drepte coplanare sunt paralele intre ele? Adaugati o conditie in enunt pentru ca el sa devina afirmativ.

Rezolvare:

Nu neaparat. Pot fi ambele paralele cu doua drepte paralele. Ele se pot intersecta dupa o dreapta paralela cu dreptele. Daca adaugam conditia ca dreptele initiale sa nu fie paralele, afirmatia devine adevarata.

14. Se dau dreptele a paralela cu b si c neparalela cu ele si necoplanara cu nici una din ele. Punctul A parcurge dreapta c. Planele determinate de a si A si de b si A se intersecteaza dupa o dreapta d. Aflati locul geometric al punctelor dreptei d.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 25

d∥a;d∥b iar c are un punct comun cu A => locul geometric este planul determinat de d si c, deci planul care contine pe c si este paralel cu a si cu b.

Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele

1. Se considera unghiurile xOy, x’O’y’ in care Ox si O’x’ sunt paralele si au acelasi sens, iar Oy si O’y’ sunt de asemenea paralele si au acelasi sens. Demonstrati ca cele doua unghiuri sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 26

Prelungim pe y’ pana intersecteaza dreapta x in M.

∢y’O’x’≡∢y’Mx (corespondente)

∢yOx≡∢y’Mx (corespondente)

=> ∢yOx≡∢y’O’x’

2.Doua unghiuri cu laturile paralele si de sensuri contrare sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 27

Doua unghiuri opuse la varf si orice alte unghiuri paralele si de acelasi sens cu unul dintre ele, este congruent cu celalalt. Ca demonstratie, ambele au acelasi suplement.

3. Doua unghiuri cu laturile paralele, doua de acelasi sens si doua de sensuri contrare, sunt suplementare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 28

Aplicam solutia din problema 1, conform desenului.

4. Considerati un triunghi ABC, alegeti pe fiecare din laturi cate o unitate de masura si un sens, considerati o paralela la BC si exprimati teorema fundamentala a asemanarii folosind numai masuri de segmente orientate.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 29

Fie MN∥BC, punctele apartinand laturilor triunghiului.

\frac{\vec{AM}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{AN}}{\vec{AC}}=\frac{\vec{MN}}{\vec{BC}}

5. Considerati doua drepte paralele, doua puncte A si B pe prima si doua puncte C si D pe a doua, si unitati de masura si sensuri pe una din cele doua drepte paralele si pe AC. Considerati un punct M pe AC si intersectia N intre paralela M la cele doua drepte si BD. Exprimati y=\vec{MN} in functie de x=\vec{AM}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 30

AD^\prime\parallel BD; y=\vec{MN}=\vec{MN^\prime}+ \vec{NN^\prime}; \frac{\vec{MN^\prime}}{\vec{CD^\prime}}= \frac{\vec{AM}}{\vec{AC}}; \vec{N^\prime N}=\vec{AB};

\vec{CD^\prime}=\vec{CD}+\vec{DD^\prime}=\vec{CD}-\vec{AB}; y=\vec{MN}=\frac{\vec{CD\prime}\cdot x}{\vec{AC}}+\vec{AB}

6. Fie A’, B’, C’, G’ picioarele perpendicularelor din varfurile A, B, C ale unui triunghi si din punctul G de intersectie al medianelor sale pe o dreapta d. Exprimati  \vec{GG^\prime} cunoscand \vec{AA\prime},\vec{BB^\prime},\vec{CC^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 31

Fie D mijlocul lui AB, D’ piciorul perpendicularei din D pe d. Avem, facand x=\frac{\vec{AC}}{2}, din problema anterioara, \vec{DD\prime}=\frac{1}{2}\cdot(\vec{AA\prime}+\vec{BB\prime}) iar facand

x=\frac{\vec{AC}}{3}, \ \vec{GG\prime}= \frac{2\vec{DD\prime}+\vec{CC\prime}}{3}= \frac{\vec{AA^\prime}+\vec{BB^\prime}+\vec{CC^\prime}}{3}

Probleme segmente orientate

1. Daca A, B, C, D sunt puncte coliniare, aratati ca \vec{AB}+ \vec{BC}+ \vec{CD}+ \vec{DA}=0

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 32

Stim ca daca A, B, C sunt puncte coliniare, avem \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC};

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0; \vec{CD}+\vec{DA}+\vec{AC}=0;

Adunam relatiile si obtinem:

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{\mathbit{CA}}+\vec{CD}+\vec{DA}+\vec{\mathbit{AC}}=0 =>\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}=0.

2. Care este relatia intre masuri de segmente orientate care defineste mijlocul lui M al unui segment (obisnuit) AB?

Rezolvare:

\vec{AM}=\vec{MB}

3. Daca segmentele (obisnuite) AB si CD au acelasi mijloc, atunci \vec{AC}=-\vec{BD}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 33

\vec{AC}=-\vec{CA}= \vec{AM}+\vec{MC}= \vec{MB}+\vec{DM}=-\vec{BD}

4. Daca \vec{AB}=\vec{CD} demonstrati ca  \vec{AC}=\vec{BD}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 34

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0; \vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DB}=0=> \vec{CA}=\vec{DB}; \vec{CA}=-\vec{AC}=\vec{DB}=-\vec{BD} =>\vec{AC}=\vec{BD}

5. Fie A, O, O’ trei puncte coliniare, fie B simetricul lui A fata de O si C simetricul lui B fata de O’. Aratati ca \vec{AC}=\vec{2\cdot O O^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 35

\vec{AO}=\vec{OB,}\ \vec{BO^\prime}=\vec{O^\prime C}; \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}= \vec{AO}+\vec{OB}+\vec{BO\prime}+\vec{O\prime C}= 2\vec{OB}+2\vec{BO\prime}= 2\vec{OO\prime}

6. A, B, C, D fiind puncte coliniare, aratati ca \vec{AB}\cdot\vec{CD}+\vec{AC}\cdot\vec{DB}+\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 36

\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}; \vec{AC}=\vec{AD}-\vec{CD}; \vec{BC}=-\vec{DB}-\vec{CD}=> \left(\vec{AD}+\vec{DB}\right)\cdot\vec{CD}+ \left(\vec{AD}-\vec{CD}\right)\cdot\vec{DB}+ \vec{AD}\cdot\left(-\vec{DB}-\vec{CD}\right)=0

A, B, M, N fiind puncte coliniare, A\neq B,M\neq B,N\neq B si \frac{\vec{MA}}{\vec{MB}}= \frac{\vec{NA}}{\vec{NB}}, aratati ca M = N.

Rezolvare:

Se aplica ceea ce s-a demonstrat in problema anterioara:

\vec{MA}\cdot\vec{NB}+ \vec{MN}\cdot\vec{BA}+ \vec{AN}\cdot\vec{BM}=0

Se inlocuieste \vec{MA} cu -\vec{NA} si, ca urmare a proportiei se deduce: \vec{MN}\cdot\vec{BA}=0, deci \vec{MA}\cdot\vec{NB}+\vec{AN}\cdot\vec{BM}=0=> \frac{\vec{MA}}{\vec{MB}}=\frac{\vec{NA}}{\vec{NB}}

Probleme poligoane regulate

1.In triunghiul echilateral ABC de latura a (fig. 2.29) se iau punctele N,M\in AB,N^\prime,P^\prime\in AC. Determinati x in functie de a astfel ca hexagonul MM’PP’N’N sa fie regulat.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 37

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 38

In cazul unui hexagon regulat, unghiurile sale vor avea masura de 120°. =>

m(∢NMM’ )=120°=>m(∢AMM’ )=60°=>⊿AMM’ este echilateral.

De asemenea, toate triunghiurile din figura sunt echilaterale si congruente.=>

AM=NM=NB=x=\frac{a}{3}

2.Patratului din figura 2.30, de latura a i se “taie colturile” in asa fel incat “sa ramana” un octogon regulat. Sa se calculeze latura x a octogonului in functie de latura a patratului.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 39

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 40

Unghiul unui octogon regulat este de 135° =>

m(∢AUM)=m(∢AMU)=45°=>⊿UAMeste dreptunghic isoscel.

m(∢DTS)=m(∢TSD)=45°=>⊿TDS este dreptunghic isoscel.

UM=UT=TS; AD=UA+UT+TD= \sqrt{\frac{x^2}{2}}+x+\sqrt{\frac{x^2}{2}}= x+\frac{2x}{\sqrt2}= x\left(1+\sqrt2\right)=a=> x=\frac{a}{\left(1+\sqrt2\right)}.

3.Cunoscand l_n si R, calculati a_n.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 41

a_n=\sqrt{R^2-\frac{l_n^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4R^2-l_n^2}

4.Folosind patratul inscris in cerc de raza R, calculati latura octogonului convex inscris in cerc in functie de R.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 42

Stiind ca latura patratului este R\sqrt2 => l_8=\sqrt{\left(R-R\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+{(R\cdot\frac{\sqrt2}{2})}^2}= R\sqrt{\frac{4+2-4\sqrt2+2}{4}}= R\sqrt{2-\sqrt2}

5.Pe laturile hexagonului ABCDEF se construiesc in afara patrate, si in varfurile hexagonului, cu doua laturi ale acestor patrate ca laturi, triunghiuri echilaterale de tipul lui BHI. Sa se precizeze ce fel de poligon este GHIJKLMNOPRS (fig. 2.31).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 43

Rezolvare:

Avand toate laturile congruente, este un poligon regulat cu 12 laturi.

6.Precizati natura poligoanelor regulate pentru n=7. Cate “tipuri” de heptagoane stelate exista?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 44

7.Precizati natura poligoanelor regulate corespunzatoare impartirii cercului in 21 arce egale. Faceti tabelul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 45

8.Sa se stabileasca masura unui unghi al unui dodecagon regulat convex. (n=12).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 46

Unghiul la centru corespunzator unei laturi are 30°. Deci unghiul dodecagon are \frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}\cdot 2=150^{\circ}.

9.Daca un poligon are toate laturile congruente este oare regulat?

Rezolvare:

Nu. Rombul are toate laturile congruente si nu este un poligon regulat.

10.Daca un poligon are toate unghiurile congruente este oare regulat?

Rezolvare:

Nu. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si nu este un poligon regulat.

11.Gasiti numarul diagonalelor unui octogon regulat convex. Era necesar sa precizam ca poligonul este regulat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 47

Numarul de varfuri / 2 = 4 diagonale.

12.Sa se demonstreze ca in orice poligon regulat convex se poate inscrie un cerc, adica se poate construi un cerc tangent la toate laturile sale. Sa se arate ca centrul cercului inscris coincide cu cel al cercului circumscris poligonului regulat convex.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 48

Toate triunghiurile formate sunt isoscele; avand laturile congruente, putem sa inscriem poligonul regulat convex intr-un cerc, avand raza egala cu latura triunghiurilor. Triunghiurile fiind isoscele si congruente, inaltimile corespunzatoare laturilor poligonului sunt si ele congruente, ele fiind raza cercului inscris.

O problema cu un enunt deosebit. Sa punem intai problema construirii cu rigla si compasul a unui segment de lungime \sqrt{n} unde n este orice numar natural. Stim sa construim pe \sqrt{2} cunoscand segmentul unitate. (fig. 2.32)

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 49

SPIRALA LUI ARHIMEDE. Pe segmentul AB=1 ducem perpendiculara BB1=1. Segmentul AB1=\sqrt{2}. Pe AB1 ducem perpendiculara B1B2=1 si continuam cu acelasi procedeu: B_2B_3\bot AB_2 (B_2B_3=1) etc. Din teorema lui Pitagora rezulta \inline AB_2=\sqrt3, AB_3=\sqrt4=2, AB_4=\sqrt5 etc. Presupunand construit segmentul AB_{n-2}=\sqrt{n-1}, construim AB_{n-1}=\sqrt n. Procedeul duce la construirea lui \sqrt{n} prin “recurenta”, adica folosindu-ne de constructia prealabila a segmentelor \sqrt2,\sqrt3,\ldots,\sqrt{n-1}.

Problema[1]. Dandu-se un cerc de centru O cunoscut, sa se gaseasca numai cu compasul varfurile unui patrat inscris in el.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 50

Daca reusim, raza R fiind data, sa putem “cuprinde” in compas un segment R\sqrt2 , am reusit constructia (fig.2.33). Ca in orice problema de constructie, sa consideram problema rezolvata: pornind dintr-un punct arbitrar A, consideram varfurile consecutive ale hexagonului regulat inscris in cerc, B, C, D. Deci segmentul AC=R\sqrt3. Cu o deschidere de compas cat AC si centrul in A si apoi in D, trasam doua arce de cerc care se intersecteaza in M. Considerand triunghiul dreptunghic AMO, segmentul OM=R\sqrt2.

Deci construim intai varfurile trapezului A, B, C, D, apoi cu “deschiderea” AC si centrele A, D trasam arcele de cerc care se intersecteaza in M, “prindem” in compas distanta OM si o “purtam” pe cerc de trei ori. Obtinem astfel varfurile patratului cautat.

Problema rezolvata 1. Sa se arate ca daca doua numere pozitive au suma constanta, produsul lor este maxim cand ele sunt egale.

Vom incerca sa gasim o solutie geometrica a acestei probleme. Pentru aceasta putem sa o formulam in felul urmator:

Sa se demonstreze ca din toate dreptunghiurile cu perimetru constant, aria cea mai mare o are patratul.

Comparam patratul ABCD de latura a cu dreptunghiul DEFG cu lungimea DG = a + x si latimea ED = a – x. (fig. 2.34)

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 51

Evident ambele au acelasi perimetru. Cu notatiile din figura, ca sa comparam ariile patratului ABCD cu a dreptunghiului DEFG revine la a preciza care din ariile dreptunghiurilor ABHE si HFGC este mai mare. Ambele dreptunghiuri au cate o latura x. Dreptunghiul II are cealalta latura cu x mai mica decat o are dreptunghiul I. Deci dreptunghiul II are aria mai mica.

Sa spunem si altfel:

Aria lui ABHE este x∙a. Aria dreptunghiului HFGC este x∙(a-x) = ax – x2. Vizibil aria lui EFGD este mai mica decat a patratului ABCD pentru ca ax\geq ax-x^2 solutie evidenta. (Egalitate am avea daca x = 0).

Problema rezolvata 2. Sa se arate ca daca doua numere pozitive au produsul constant, suma lor este minima cand ele sunt egale.

Vom porni de la problema precedenta: in figura pe care am facut-o pentru ca s-o rezolvam, patratul ABCD si dreptunghiul DGFE au acelasi perimetru si ariile difera pentru ca dreptunghiul (II) este mai mic decat dreptunghiul (I). Deci adaugam la dreptunghiul II dreptunghiul cu interior hasurat (III) FBMG astfel incat dreptunghiul (I) si dreptunghiul CMNH sa devina echivalente. (fig. 2.35).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 52

Deci patratul ABCD si dreptunghiul EDMN sunt echivalente (produsele DM ∙ MN si AB ∙ AD sunt egale), dar perimetrele lor difera, cel al patratului este mai mic deci 2\cdot(DM+MN)\geq2\cdot(AB+AD).

O alta solutie la aceasta problema se poate da prin puterea punctului interior: dintre toate corzile care trec prin M, in cercul de centru O, cea mai scurta este AB\bot OM (fig. 2.35).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 53

Intr-adevar oricare alta coarda A’B’ care trece prin M are distanta ON < OM deci B^\prime N^2=R^2-ON^2> R^2-OM^2=BM^2  deci 2\cdot B^\prime N^2>2\cdot BM, deci A^\prime B^\prime>AB adica B^\prime M+MA^\prime>AM+MB. Dar aplicand puterea punctului M,AM\cdot MB=A^\prime M\cdot MB^\prime=  constant si problema este demonstrata!

[1]Problema data la etapa pe municipiul Bucuresti a Olimpiadei din 1978.

 

 

Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta

1.Examinati tabelul de valori al sinusului si raspundeti la intrebarea: daca x < y atunci avem  sin x < sin y, sin x > sin y sau sin x = sin y?

Demonstrati apoi raspunsul (evident ca tabelul, ce nu contine decat valorile lui sin x pentru x intreg, nu ne poate ajuta in aceasta demonstratie); amintiti-va teoremele de la “inegalitati”.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 54

Daca x < y atunci avem sinx < siny.

x<y;\sin{x=\frac{BB\prime}{R}};\sin{y=\frac{CC^\prime}{R}}\ ;

BB^\prime<CC^\prime=>sinx<\sin{y}

2.Aceeasi intrebare pentru cosinus.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 55

Daca x < y atunci avem cos x > cos y.

x<y;\cos{x=\frac{OC\prime}{R}};\cos{y=\frac{OB\prime}{R}}\ ;

OB^\prime>OC^\prime=>cosx>\cos{y}

3.Examinati diferentele dintre valorile succesive ale sinusului din tabelul de mai sus; mai precis examinati valorile expresiei sin(x+1°)-sinx pentru x intreg. Unde creste mai repede, in zona valorilor mici sau a celor mai mari a lui x?

Rezolvare:

Sinusul creste mai repede in zona valorilor mici.

4.Care sunt valorile lui x pentru care sin x = cos x?

Rezolvare:

x=45°

5.Ce puteti spune despre masura x a unui unghi ascutit pentru care sin x = 0,8? Dar daca stim ca cos y = 0,55?

Rezolvare:

Pentru sin x = 0,8, din tabel => 0,799 <0,8 < 0,809 =>sin 53° < sin x < sin 54° deci 53 < x < 54.

Daca cos y = 0,55 =>  => 0,545 < 0,55 < 0,559 =>

=>   56 < y < 57.

6.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are lungimea a, iar unul din unghiurile ascutite masura x. Sa se exprime lungimile catetelor, ale inaltimii, ale proiectiilor catetelor pe ipotenuza. (La aceasta problema ca si la cele care urmeaza se vor considera si exemple numerice.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 56

sinx=\frac{b}{a}=>b=a\cdot\sin{x};\cos{x}=\frac{c}{a}=>c=a\cdot\cos{x}

a\cdot u=a^2\cdot{sin}^2x=>u=\frac{a^2\cdot{sin}^2x}{a}=a\cdot{sin}^2x

a\cdot v=a^2\cdot {cos}^2x=>v=\frac{a^2\cdot {cos}^2x}{a}=a\cdot {cos}^2x

h^2=u\cdot v=a\cdot {sin}^2x\cdot a\cdot {cos}^2x=>h=a\cdot \sin{x}\cdot \cos{x}

Exemplu numeric:

Fie x = 30°; a =10; => \inline c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};h=\frac{5\sqrt3}{2}

7.Inaltimea unui triunghi dreptunghic corespunzatoare unghiului drept are lungimea h, iar unul dintre unghiurile ascutite ale triunghiului are masura x. Exprimati lungimile ipotenuzei, ale catetelor etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 57

\sin{x}=\frac{h}{c}=>c=\frac{h}{\sin{x}};

sin (90^{\circ}-x)=cos\ {x}=\frac{h}{b}=>b=\frac{h}{\cos{x}};

\cos{x}=\frac{v}{c}=>v=c\cdot cosx=h\cdot\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

cos(90^{\circ}-x)=\sin{x}=\frac{u}{b}=>u=b\cdot\sin{x}=h\cdot\frac{\sin{x}}{\cos{x}};

a=u+v=h\cdot\frac{{cos}^2x+{sin}^2x}{\cos{x}\sin{x}}=h\cdot\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}

Exemplu numeric:

Fie \inline h=\frac{5\sqrt3}{2};x=30^{\circ};=>c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};a=10

8.Baza mica a unui trapez dreptunghic are lungimea b, latura “oblica” are lungimea c, iar unghiul ascutit masura x. Sa se exprime baza mare, latura perpendiculara si diagonalele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 58

\sin{x}=\frac{d}{c}=>d=c\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{a-b}{c}=>a-b=c\cdot\cos{x}=>a=b+c\cdot\cos{x};

e=\sqrt{c^2\cdot{sin}^2x+b^2};

f=\sqrt{{(b+c\cdot\cos{x})}^2+c^2\cdot{sin}^2x}

9.Intr-un cerc de raza R se considera un unghi la centru de masura x. Care este lungimea coardei “corespunzatoare”?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 59

Ducem perpendiculara din O pe AB. Triunghiul AOB este isoscel, laturile sale fiind egale cu raza cercului => AC este si bisectoare.

sin\ {\frac{x}{2}}=\frac{BC}{R}=\frac{AB}{2R}=>AB=2R\cdot\sin{\frac{x}{2}}

10.Un triunghi isoscel are unghiurile de la baza de masura x, iar laturile congruente de lungime a. Sa se calculeze baza, inaltimea corespunzatoare bazei si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 60

\sin{x}=\frac{h}{a}=>h=a\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}=>b=2a\cdot\cos{x}\ ;

\sin{x}=\frac{g}{b}=\frac{g}{2a\cdot\cos{x}}=>g=2a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}

Exemplu numericx = 30°; a = 10 => \inline \sin{30^{\circ}}=\frac{1}{2};\cos{30^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2} ,deci

h=5;b=10\sqrt3;\ g=5\sqrt3

11.Se cunosc lungimile bazei si a laturilor congruente dintr-un triunghi isoscel. Sa se scrie o relatie din care sa se poata determina unghiul de la varf al triunghiului (relatia va contine, evident, “sinus” sau “cosinus”).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 61

Ducem inaltimea din A, care va fi si mediana si bisectoare conform proprietatii triunghiului isoscel.

=>\sin{\frac{A}{2}}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}

12.Cunoscand lungimea si latimea unui dreptunghi sa se determine masura unghiului ascutit format de diagonalele sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 62

Ducem prin M o paralela la BC. Stiind ca diagonalele unui dreptunghi se injumatatesc si sunt congruente  => MN este inaltime in triunghiul isoscel BMC deci este si bisectoare. \inline m\left(\sphericalangle CMN\right)=\frac{x}{2}\inline \sphericalangle CMN\equiv\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle BMN (conform constructiei de drepte paralele).

In trunghiul dreptunghic ABC, \inline tg{\frac{x}{2}}=\frac{l}{L} , unde l este latimea dreptunghiului, iar L mare, lungimea sa.

13.Un punct este la distanta de 15 cm de centrul unui cerc de raza 5 cm. Sub ce unghi “se vede cercul” din acel punct (cu alte cuvinte care este unghiul format de tangentele duse din acel punct la cerc)?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 63

\inline \bigtriangleup TMO\equiv\bigtriangleup T\prime MO (cazul C.I. – \inline T'O\bot MT^\prime;OT\bot MT raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta) => ∢TMO≡∢OMT’.

In ⊿TMO, \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{OT}{OM}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}

14.Doua cercuri de raze R si r au distanta d intre centre. Sub ce unghi se vad cercurile din punctul de intersectie al tangentelor comune exterioare? Dar din cel al tangentelor comune interioare?

Rezolvare:

In cazul tangentelor exterioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 64

Din problema anterioara stim ca \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R}{OM}=\frac{r}{O\prime M}}

O’M∥OA=>⊿BMO’∼⊿AMO \inline =>\frac{O^\prime M}{OM}=\frac{r}{R}=>

\inline \frac{O^\prime M}{O^\prime M+d}=\frac{r}{R}=>\frac{O^\prime M}{d}=\frac{r}{R-r}\inline =>O^\prime M=\frac{dr}{R-r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{r(R-r)}{d\cdot r}}=\frac{R-r}{d}

In cazul tangentelor interioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 65

⊿AMO≡⊿CMO (fiind triunghiuri dreptunghice, raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, cazul C.I.) => m(∢AMO)=m(∢OMC)=\inline \frac{x}{2}

\inline \sin{\frac{x}{2}}=\frac{R}{OM};\ \bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup DO^\prime M \inline =>\frac{OM}{MO^\prime}=\frac{R}{r}=>\frac{OM}{d-OM}=\frac{R}{r}=>

\inline r\cdot OM=R\cdot d-R\cdot OM=>OM=\frac{Rd}{R+r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R\cdot\left(R+r\right)}{R\cdot d}}=\frac{R+r}{d}

15.O dreapta este la distanta d de centrul unui cerc de raza R. Care este unghiul format de dreapta cu tangenta la cerc intr-un punct de intersectie al dreptei cu cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 66

m(∢BTA)+m(∢ATO)=m(∢ATO)+m(∢AOT)=90°

=>∢AOT≡∢ATB=> \inline \cos{x}=\frac{OA}{OT}=\frac{d}{R}

16.In ∆ABC cu m(∢A)=90° ducem AD⊥BC,DE⊥AB,EF⊥ Exprimati BF si AF cunoscand BC = a si m(∢B)=x.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 67

\inline AB=a\cdot\cos{x};AC=a\cdot\sin{x}; ∢DAC≡∢ABC (sunt complementare cu unghiul C) => \inline AD=a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x};CD=a\cdot{sin}^2x;

m(∡FEB)=m(∢DAE)=m(∢EDF)=90°-x=>

\inline DB=\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}; \inline EB=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=>

\inline BF=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=a\cdot{cos}^4x

\inline DF=BC-BF-CD=a-a\cdot{cos}^4x-a\cdot{sin}^2x=>

\inline DF=a\cdot{cos}^2x-a\cdot{cos}^4x;

\inline AF=\sqrt{{AD}^2+{DF}^2}=\sqrt{a^2\cdot{sin}^2x\cdot{cos}^2x+a^2\cdot\left({cos}^2x-{cos}^4x\right)^2}=

\inline =a\cdot\cos{x\cdot\sin{x}}\cdot\sqrt{1+{sin}^2x\cdot{cos}^2x}

17.Aratati ca \inline ctgx=\frac{1}{tgx}.

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}=\frac{1}{tgx}

18.Aratati ca ctg x = tg (90°-x).

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{\sin{\left(90^{\circ}-x\right)}}{\cos{\left(90^{\circ}-x\right)}}=tg\ (90^{\circ}-x)

19.Calculati tg 29°, ctg 44° etc.

Rezolvare:

tg 29°=0,554;ctg 44°=tg 46°=1,036

20.Ce puteti spune despre unghiurile x, y daca tgx=2,1 si ctgx=0,5?

Rezolvare:

tg 64°=2,050; tg 65°=2,145=>

2,050 < 2,1 < 2,145=>64°<x<65°

ctg x=tg (90°-x)

tg 26°=0,488;tg 27°= 0,510=>

0,488<0,5<0,510=>26°<90°-x<27°=>63°<x<64°

21.Aratati ca daca x < y atunci tg x < tg y iar ctg x > ctg y.

Rezolvare:

\inline tg\ x=\frac{sinx}{cosx} stim ca pentru x<y,sin x<sin y;cos x>cos y \inline =>\frac{1}{\cos{x}}<\frac{1}{\cos{y}}=>

tgx < tgy;

De asemenea, \inline ctgx=\frac{1}{tgx}  deci, bazandu-ne pe demonstratia de mai sus, pentru x<y=>ctg x>ctg y.

22.Determinati tangenta si cotangenta unghiurilor de 30°, 45° si 60 °.

Rezolvare:

\inline tg\ 30^{\circ}=\frac{\sin{30^{\circ}}}{\cos{30^{\circ}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3};ctg\ 30^{\circ}=\frac{\cos{30^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}}=\sqrt3

\inline tg\ 45^{\circ}=\frac{\sin{45^{\circ}}}{\cos{45^{\circ}}}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=1;ctg\ 45^{\circ}=\frac{1}{tg\ 45^{\circ}}=1

\inline tg\ 60^{\circ}=\frac{\sin{60^{\circ}}}{\cos{60^{\circ}}}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=\sqrt3;\ ctg\ 60^{\circ}=\frac{1}{tg\ 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt3}

Probleme teorema fundamentala a asemanarii

1.Prin punctul P de intersectie a diagonalelor unui trapez, se duce o paralela la baze. Ea intersecteaza laturile neparalele M si N. Demonstrati ca P este mijlocul segmentului MN.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 68

In ∆DAC, MP ∥ DC => ∆MAP∼∆DAC => \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AD}=\frac{MP}{DC}=\frac{AP}{AC}

In ∆DBC, NP ∥ DC => ∆NBP∼∆CBD => \inline \fn_jvn \large \frac{BN}{BC}=\frac{NP}{DC}=\frac{BP}{BD}

∢CAB≡∢ACD;∢BDA≡∢BDC (unghiuri alterne interne)

=>∆APB∼∆CPD => \inline \fn_jvn \large \frac{AP}{PC}=\frac{BP}{PD}=>\frac{AP}{PC+AP}=\frac{BP}{PD+BP}=>

\inline \fn_jvn \large \frac{AP}{AC}=\frac{BP}{BD} si din relatiile anterioare => \inline \fn_jvn \large \frac{MP}{DC}=\frac{NP}{DC} 

=> MP = NP, deci P este mijlocul lui MN.

2.Sa se demonstreze ca daca paralela MN la bazele AD si BC ale unui trapez (M ∈ AB,N ∈ DC) intersecteaza diagonalele BD in T si AC in S, atunci MT≡SN.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 69

MT∥AD=>∆TBM∼∆DBA=>\inline \fn_jvn \large \frac{BT}{BD}=\frac{MT}{AD}=\frac{BM}{BA}

SN∥AD=>∆SCN∼∆ACD=> \inline \fn_jvn \large \frac{CS}{CA}=\frac{SN}{AD}=\frac{NC}{CD}

MS∥BC=>∆MAS∼∆BAC=> \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AS}{AC}=>\frac{AB-BM}{AB}=\frac{AC-CS}{AC}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{AB}{AB}-\frac{BM}{AB}=\frac{AC}{AC}-\frac{CS}{AC}=>\frac{BM}{AB}=\frac{CS}{AC}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{MT}{AD}=\frac{SN}{AD}=>MT=SN

3.Intr-un triunghi ABC orice segment PQ ∥ BC, (P ∈ AB, Q ∈ AC) este impartit de mediana AM (M fiind mijlocul segmentului BC) in doua segmente congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 70

PN∥BM=∆PAN∼∆BAM=> \inline \fn_jvn \large \frac{PN}{BM}=\frac{AN}{AM}

NQ∥MC=∆QAN∼∆CAM=> \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{AM}=\frac{NQ}{MC}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{PN}{BM}=\frac{NQ}{MC}; BM=MC; PN=NQ.

4.Sa se construiasca o paralela la bazele unui trapez oarecare care sa fie impartita de diagonale in trei parti congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 71

Din problema 2 =>  deci pentru ca relatia de mai sus sa fie adevarata ar fi necesar ca si in ∆BAC si in ∆CDB, AT sa fie mediana (conform problemei 3) => pentru a construi paralela care sa indeplineasca conditiile, unim pe A cu mijlocul laturii BC, iar prin punctul de intersectie cu BD ducem o paralela la BC.

5.In figura alaturata AD = a si BC = b sunt doua segmente paralele. DB si AC se taie in P. Segmentul PQ este paralel cu AD. Sa se exprime PQ in functie de a si b.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 72

PQ∥AD=>∆PBQ∼∆DBA=> \inline \fn_jvn \large \frac{PQ}{AD}=\frac{QB}{AB}=\frac{PQ}{a}=\frac{AB-AQ}{AB}=1-\frac{AQ}{AB}

PQ∥BC=>∆PAQ∼∆CAB=> \inline \fn_jvn \large \frac{PQ}{BC}=\frac{AQ}{AB}

\inline \fn_jvn \large \frac{PQ}{a}=1-\frac{PQ}{b}=>PQ\cdot \frac{a+b}{ab}=1=>PQ=\frac{ab}{a+b}

6. Doua cercuri tangente exterioare au razele R si r (fig. 1.15).Tangenta lor comuna exterioara TT’ intalneste linia centrelor OO’ in S. Sa se calculeze segmentul O’S in functie de R si r.

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 73

Rezolvare:

OT⊥TT’;O’T’⊥TT’ (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta) =>OT∥TT’=>∆T’SO’∼∆TSO =>

\inline \fn_jvn \large \frac{O^\prime S}{SO}=\frac{O^\prime T}{OT}=>\frac{O^\prime S}{O^\prime S+OO^\prime}=\frac{r}{R}

\inline \fn_jvn \large \frac{O^\prime S}{O^\prime S+R+r}=\frac{r}{R}\Rightarrow O^\prime S=\frac{\left[r\cdot O^\prime S+r\cdot \left(R+r\right)\right]}{R}\Rightarrow

\inline \fn_jvn \large O^\prime S\cdot\left(R-r\right)=r\cdot\left(R+r\right)=>O^\prime S=r\cdot\frac{(R+r)}{(R-r)}

7. Un triunghi ABC are laturile AB = 9 cm, BC = 15 cm si AC = 18 Se ia pe latura AB un punct D astfel ca AD = 6 cm; paralela prin D la BC taie AC in E. Sa se calculeze lungimile laturilor triunghiului ADE.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 74

DE∥BC=>∆ADE∼∆ABC=> \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

\inline \fn_jvn \large \frac{6}{9}=\frac{AE}{18}=\frac{DE}{15}=>AE=\frac{36}{3}=12;DE=\frac{30}{3}=10

8. Laturile neparalele BC, AD ale unui trapez ABCD se intersecteaza in M. Sa se calculeze lungimile segmentelor MA, MB, MC, MD in functie de laturile trapezului (se va presupune ca baza mare este AB). Aplicatii numerice: a) AB = 20 cm, BC = 6 cm, CD = 15 cm, DA = 8 cm; b) AB = 20 cm, BC = 3 cm, CD = 15 cm, DA = 9

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 75

In ∆AMB,DC ∥ AB=>∆DMC∼∆AMB=> \inline \fn_jvn \large \frac{MD}{AM}=\frac{MC}{MB}=\frac{DC}{AB}

\inline \fn_jvn \large \frac{MD}{AD+MD}=\frac{MC}{BC+MC}=\frac{DC}{AB}

In situatia a):

\inline \fn_jvn \large \frac{MD}{8+MD}=\frac{MC}{6+MC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=>

4MD=24+3MD=>MD=24;

4MC=18+3MC=>MC=18;

MA=8+24=32;MC=6+18=24

In situatia b):

\inline \fn_jvn \large \frac{MD}{9+MD}=\frac{MC}{3+MC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=>

4MD=27+3MD=>MD=27;

4MC=9+3MC=>MC=9;

MA=9+27=36;MC=3+9=12

9. Diagonalele unui trapez ABCD de baze AB, CD se intersecteaza in N. Sa se calculeze, in functie de lungimile bazelor si diagonalelor trapezului, lungimile segmentelor NA, NB, NC, ND. Aplicatii numerice: a) AB = 20 cm, CD = 10 cm, AC = 21 cm, BD = 12 b) AB = 20 cm, CD = 10 cm, AC = 15 cm, BD = 9 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 76

∢NBA≡∢NDC;∢NAB≡∢NCD (alterne interne) =>

∆ANB∼∆CND=> \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{NC}=\frac{BN}{ND}=\frac{AB}{DC}=>

\inline \fn_jvn \large \frac{AN+NC}{NC}=\frac{ND+BN}{ND}=\frac{AB+DC}{DC}=>\frac{AC}{NC}=\frac{BD}{ND}=\frac{AB+DC}{DC}

In cazul a):

\inline \fn_jvn \large \frac{21}{NC}=\frac{12}{ND}=\frac{30}{10}=3=>

\inline \fn_jvn \large NC=\frac{21}{3}=7;ND=\frac{12}{3}=4;

NA=21-7=14; NB=12-4=8

In cazul b):

\inline \fn_jvn \large \frac{15}{NC}=\frac{9}{ND}=\frac{30}{10}=3=>

\inline \fn_jvn \large NC=\frac{15}{3}=5;ND=\frac{9}{3}=3;

NA=15-5=10;NB=9-3=6

10.Se considera o dreapta d si pe ea punctele A0, A1, A2, … asa incat A0A1=A1A2=…=1 Se duc perpendicularele a0, a1, a2, … pe d in punctele A0, A1, A2

Se considera punctele B1 si C1 pe a1 si punctele B2, C2 pe a2 toate in acelasi semiplan determinat de d, astfel ca A1B1= 2 cm, A1C1= 7 cm, A2B2= 6 cm, A2C2= 3 Sa se precizeze pozitia punctului M de intersectie al dreptelor B1 B2, C1C2, calculand A0N si NM, unde N este piciorul perpendicularei din M pe d.

Aceeasi problema pentru punctul de intersectie al dreptelor D1D2, D4D5, in care D1 este situat pe a1, D2 este situat pe a2, D4 este situat pe a4, D5 este situat pe a5, toate in acelasi semiplan determinat de d, iar A1D1 = 1 cm, A2D2 = 5 cm, A4D4 = 10 cm, A5D5 = 3

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 77

Ducem B1EA2B2 si C1FA2B2 => B1E C1Fd

A1B1EA2 si A1C1FA2 dreptunghiuri =>

A1A2=B1E=C1F=1; A1B1=A2E=2; A1C1=A2F=7

EC2=3-2=1; B2F=7-6=1 => ∆EB1C2≡∆FC1B2 (triunghiuri dreptunghice, cazul C.C.) =>  C1B2C2B1 este trapez isoscel. => MG, inaltime in B1MC1 este si mediana => B1G=\inline \fn_jvn \large \frac{5}{2}=2,5 => A1G= 2+2,5 = 4,5 dar A1GMN este dreptunghi => MN=4,5

In ∆EB1B2 si ∆B1MG dreptunghice, avem ∢ B1B2E≡∢MB1G (alterne interne) => ∆EB1B2 ~∆B1MG => \inline \fn_jvn \large \frac{MG}{B_1E}=\frac{B_1G}{EB_2}=\frac{2,5}{3}=>\frac{MG}{1}=\frac{5}{6}; NA1=A0N=\inline \fn_jvn \large \frac{11}{6}

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 78

Fie D1M∩a3={V}

In figura de mai sus ducem D1SA2D2; D2TA3F; VGA4D4; MHa3; MIa4; si notam VH = a; D4I = b; MI = y; MH = x.

∢D1D2S≡∢D2VT (unghiuri corespondente) D1S=D2T=1 (distante intre drepte paralele) => ⊿D1D2S≡⊿D2VT (cazul C.U) => D2S=VT=A2D2-A1D1=5-1=4 (stim ca A1D1SA2 are toate laturile paralele si unghi de 90°, deci este dreptunghi, deci A1D1=A2S=1)

∢VHM≡∢D2VT (unghiuri opuse la varf) =>⊿D1D2S∼⊿MVH (avand toate unghiurile congruente) =>\inline \fn_jvn \large \frac{MH}{D_2T}=\frac{EH}{TV}=\frac{x}{1}=\frac{a}{4}

A4A5D5U este dreptunghi => A4A5=D5U=1;A4U=UD4=10-3=7

∢UD4D5≡∢MD4I (unghiuri opuse la varf) =>⊿UD4D5∼⊿MD4I (avand toate unghiurile congruente) => \inline \fn_jvn \large \frac{MI}{UD_5}=\frac{D_4I}{UD_4}=\frac{y}{1}=\frac{b}{7}

Dar x + y = 1 => \inline \fn_jvn \large \frac{a}{4}+\frac{b}{7}=1

VA3=D2S+VT+A2S=9; A3VGA4 este dreptunghi => VA3=A4G=9 => GD4=A4D4-VA3=10-9=1

Si VED4G, VHIG, EHID4 sunt dreptunghiuri avand laturi paralele si unghiuri de 90°. => VH=GI; GD4=VE; EH=D4I => a – b = GD4=1

a=b+1;7a+4b=28=7b+7+4b=28 =>

\inline \fn_jvn \large b=\frac{21}{11};a=\frac{32}{11};x=\frac{8}{11};y=\frac{3}{11}=>

\inline \fn_jvn \large A_0N=3+\frac{8}{11}=\frac{41}{11};A_4M=10+\frac{21}{11}=\frac{131}{11}

11. Tangenta comuna exterioara a doua cercuri exterioare intalneste linia centrelor OO’ in M. Sa se calculeze lungimile segmentelor MO, MO’ in functie de razele R, r ale cercurilor si de distanta d = OO’ intre centrele lor.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 79

OA⊥MA;O’B⊥MA (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta);

∆AMO∼∆BMO’ (triunghiuri dreptunghice si au un unghi comun)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MO}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow\frac{MO^\prime+d}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow \inline \fn_jvn \large MO^\prime\cdot R=MO^\prime\cdot r+dr=>MO^\prime=\frac{dr}{R-r};

=> \inline \fn_jvn \large MO=d+\frac{dr}{R-r}=\frac{dR}{R-r}

12. Aceeasi problema ca la 11 dar pentru tangenta comuna interioara.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 80

OA ⊥ MA;O’B ⊥ MA (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta);

∆AMO∼∆BMO’ (triunghiuri dreptunghice si au doua unghiuri congruente, opuse la varf)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MO}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow\frac{MO+MO^\prime}{MO^\prime}=\frac{R+r}{r}\Rightarrow \inline \fn_jvn \large \frac{d}{MO^\prime}=\frac{R+r}{r}=>MO^\prime=\frac{dr}{R+r};

\inline \fn_jvn \large MO=\frac{drR}{r(R+r)}=\frac{dR}{R+r}

13. Aceeasi problema ca la 11 dar pentru cercuri secante.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 81

OA⊥MA;O’B⊥MA (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta);

∆AMO∼∆BMO’ (triunghiuri dreptunghice si au un unghi comun)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MO}{MO^\prime}=\frac{R}{r};\frac{MO^\prime+d}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow

\inline \fn_jvn \large MO^\prime\cdot R=MO^\prime\cdot r+dr=>MO^\prime=\frac{dr}{R-r};

\inline \fn_jvn \large MO=d+\frac{dr}{R-r}=\frac{dR}{R-r}

14. Se considera un cerc fix de centru O si un punct fix A. Se ia un punct M pe acel cerc si se considera un punct N pe semidreapta AM astfel ca \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{AM}=k . Care este locul geometric a lui N cand M parcurge cercul dat, k ramanand si el fix.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 82

Ducem prin N paralela la OM pana cand intersecteaza pe AO in V.

∆OAM∼∆VAN=> \inline \fn_jvn \large \frac{OM}{VN}=\frac{AM}{AN}=\frac{OA}{AV}\Rightarrow\frac{R}{VN}=\frac{1}{k}\Rightarrow 

VN = k ∙ R.

AV= k∙R => locul geometric este un cerc cu centrul in V situat pe OA, la distanta de  de A si de raza VN = k ∙ R.

15. Aceeasi problema ca la 14, insa alegand N pe dreapta AM astfel ca A sa fie intre M si N.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 83

Ducem prin N paralela la OM pana cand intersecteaza pe OA in P.

∢MOA≡∢APN (alterne interne); ∢MAO≡∢NAP (opuse la varf)

∆OMA∼∆PNA=> \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{AN}=\frac{OM}{NP}=\frac{OA}{AP}=\frac{1}{k}=>\frac{R}{NP}=\frac{OA}{AP}=>

\inline \fn_jvn \large AP=k\cdot OA;NP=R\cdot k

P este fix pe dreapta OA avand distanta  si este centrul unui cerc de raza \inline \fn_jvn \large NP=R\cdot k care este locul geometric a lui N.

16. Se considera doua cercuri neconcentrice, de raze neegale.

  1. Gasiti un punct A si un numar k astfel incat locul geometric din problema 14, relativ la unul din cercuri, la A si la k, sa fie tocmai celalalt cerc.
  2. Aceeasi problema in ceea ce priveste locul geometric din problema 15.
  3. Ce se intampla daca razele cercurilor ar fi egale?
  4. In cazurile in care cercurile ar fi exterioare, tangente exterioare, precizati pozitia punctelor de la a si b, iar in cazurile in care cercurile ar fi secante, tangente interioare, precizati pozitia punctului de la a).

Rezolvare:

Din problema 14 stim ca VA=k∙OA si r=k∙R=> \inline \fn_jvn \large \frac{r}{R}=k; \frac{VA}{OA}=k

Pentru a forma doua triunghiuri asemenea care sa contina cele doua raze si segmentele OA si VA, ducem tamgenta comuna exterioara. Punctul de intersectia cu linia care uneste cele doua centre, va fi varful comun al celor doua triunghiuri, deci punctul A.

  1. In cazul al doilea se modifica dimensiunile cercurilor.
  2. Daca razele sunt egale, k=1 deci VA=AO, punctul A se afla la mijlocul segmentului OV.
  3. In cazul in care cercurile sunt exterioare, problema a fost demonstrata. In cazul in care cercurile sunt tangente, punctul cautat este punctul de tangenta.

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 84

In cazul in care cercurile sunt secante, A trebuie sa fie picioarul bisectoarei unhiului OTV pentru averifica relatia de la punctul a) prin teorema bisectoarei.

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 85

In cazul in care cercurile sunt tangente interior, problema se reduce la a gasi un punct A in interiorul segmentului OV astfel incat \inline \fn_jvn \large \frac{VA}{OA} sa fie egal cu raportul razelor celor doua cercuri.

17. Se considera un patrulater convex ABCD si un punct M interior segmentului AC. Paralela prin M la AB taie BC in N, iar paralela prin M la CD taie AD in P. Sa se demonstreze ca \inline \fn_jvn \large \frac{MN}{AB}+\frac{MP}{CD}=1.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 86

⊿ACB , MN∥AB =>⊿MCN∼⊿ACB => \inline \fn_jvn \large \frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}

⊿DAC, MP∥DC =>⊿MAP∼⊿CAD => \inline \fn_jvn \large \frac{MP}{DC}=\frac{AM}{AC}

\inline \fn_jvn \large \frac{MN}{AB}+\frac{MP}{CD}=\frac{MC}{AC}+\frac{AM}{AC}=\frac{MC+AM}{AC}=\frac{AC}{AC}=1

18. In paralelogramul ABCD unim A cu mijlocul lui BC si B cu mijlocul lui CD; cele doua drepte se intersecteaza in X. Care este valoarea raportului  \inline \fn_jvn \large \frac{XA}{XM} unde M este mijlocul lui BC?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 87

Ducem prin C paralela la AM care intersecteaza pe AD in T si pe BN in Z.

In ⊿CZM, XM este linie mijlocie (BM=MC si XMZC) => daca XM = u, ZC = 2u.

ATCM este paralelogram => AT=MC si AM=TC.

∢BNC≡∢DNP;∢NDP≡NCB (opuse la varf, respectiv alterne interne); CN=ND =>⊿BNC≡⊿DBP=>DP=CB.

Notam MC=w => DP=2w.

In⊿APX, TZ∥AX=>⊿∼⊿APX=>  \inline \fn_jvn \large \frac{PT}{AP}=\frac{TZ}{AX}, PT=TD+DP=3w=> \inline \fn_jvn \large \frac{TZ}{AX}=\frac{3}{4};

\inline \fn_jvn \large AM=TC=>\frac{4TZ}{3}+u=2u+TZ=>u=\frac{TZ}{3};TZ=3u

\inline \fn_jvn \large =>\frac{XA}{XM}=\frac{4\cdot3u}{3\cdot u}=4.

19. Locul geometric al punctelor din interiorul unui unghi nealungit, pentru care raportul distantelor la laturile unghiului este egal cu un numar dat, este o semidreapta cu originea in varful unghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 88

Fie ∢AOB, astfel incat MA⊥OA;AB⊥OB \inline \fn_jvn \large ;\frac{MA}{MB}=k. Trebuie sa demonstram ca ∀N∈∢AOB.

In NOC,MB∥NC=>⊿MOB∼⊿NOC=> \inline \fn_jvn \large \frac{MB}{NC}=\frac{OM}{ON}

In ⊿NOD,MA∥ND=>⊿MOA∼⊿NOD=> \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{ND}=\frac{OM}{ON}

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MB}{NC}=\frac{OM}{ON}=\frac{MA}{ND}=>\frac{ND}{NC}=\frac{MA}{MB}=k