Probleme: Piramida

1. Sa se determine aria laterala a unei piramide triunghiulare regulate a carei inaltime este de 4 cm, iar apotema piramidei este de 8 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 1

VM=8;VO=4;

OM=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}; AM=12\sqrt3=>

\frac{12\sqrt3}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}=>

AC=24=>

S_{laterala}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot24\cdot8=288\ {cm}^2

2. Aria laterala a unei piramide patrulatere regulate este de 14,76 m2, iae cea totala de 18 m2. Sa se determine latura bazei si inaltimea piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 2

S_{ABCD}=18-14,76=3,24={AB}^2

=>AB=1,8;

4\cdot\frac{1}{2}\cdot VM\cdot1,8=14,76=>VM=4,1;

h^2= 16,81-0,81=>h=4

3. Muchia laterala a unei piramide triunghiulare regulate formeaza cu planul bazei un unghi de 45°, iar latura bazei este egala cu a. Sa se determine aria laterala a piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 3

AM=\frac{a\sqrt3}{2};

AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}= \frac{a\sqrt3}{3}=OV=>

{VM}^2= \left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2= \frac{3a^2}{36}+\frac{3a^2}{9}=>

VM=\frac{\sqrt{15}a}{6}=> S=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{a\sqrt{15}}{6}=\frac{a^2\sqrt{15}}{4}

4. Intr-o piramida patrulatera regulata apotema bazei este de 24 cm, iar apotema piramidei este de 37 cm. Sa se calculeze: muchia laterala a piramidei, inaltimea si aria ei laterala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 4

h^2={37}^2-{24}^2=793=> h=\sqrt{793};

AB=48; BM=OM=24=>

{VB}^2={37}^2+{24}^2=1945=> VB=\sqrt{1945};

S=4\cdot\frac{1}{2}\cdot48\cdot37 =3552\ {cm}^2

5. Intr-o piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei l_b=5\sqrt3\ m si inaltimea piramidei h = 6 m. Sa se calculeze muchia laterala, apotema piramidei si aria ei totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 5

AM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot5\sqrt3=\frac{15}{2};

AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{15}{2}=5;

OM=\frac{5}{2};

AV=\sqrt{36+25}=\sqrt{61};

VM=\sqrt{\frac{25}{4}+36}=\frac{13}{2};

S=\frac{45\sqrt3}{4}+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{2}\cdot5\sqrt3= 60\sqrt3

6. Intr-o piramida hexagonala regulata se da: raza cercului circumscris bazei R = 12 cm si muchia laterala m = 13 cm. Sa se calculeze aria laterala, aria totala si inaltimea piramidei.

Rezolvare

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 6

h^2=169-144=25 =>h=5;

OM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot12=6\sqrt3;

VM=\sqrt{25+108}=\sqrt{133};

\ S_{laterala}=6\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot\sqrt{133}=36\sqrt{133};

S_{totala}=\ 6\cdot144\cdot\frac{\sqrt3}{4}+36\sqrt{133} =36\cdot(6\sqrt3+\sqrt{133})

7. In piramida VABCD, baza ABCD este un patrat cu latura a, iar fetele laterale VAB, VBC, VDC si VAD sunt triunghiuri echilaterale. Sa se determine (in functie de a):

  1. functiile trigonometrice ale unghiului dintre fetele VAD si VAB;
  2. functiile trigonometrice ale unghiului dintre fetele VAB si VDC;
  3. unghiul dintre VA si planul (ABC).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 7

MB\bot AV,\ VM=MV=\frac{a}{2};

MB=\frac{a\sqrt3}{2}=DM;

BQ\bot DM; DB=a\sqrt2;

{BD}^2={MD}^2+{MB}^2-2\ MD\cdot MB\cdot\cos{BMD}=>

2a^2=2\cdot\frac{3a^2}{4}-2\cdot\frac{3a^2}{4}\cdot\cos{BMD}

=>4a^2=3a^2-3a^2\cos{BMD};

cos{BMD}=\frac{1}{3};

\sin{BMD}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt2}{3};

Analog,

\cos{NVP}=\frac{1}{3}; \sin{NVP}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}= \frac{2\sqrt2}{3}

VA=a; VO\bot AC;

AO=\frac{a\sqrt2}{2};

VO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt2}{2}

=>VO=AO

=>m(∢VAO)=45°

8. Se considera piramida triunghiulara ABCD cu muchiile AB≡BC≡CD≡DA, AB=a. Fie M si N mijloacele muchiilor AC si BD. Sa se arate ca MN este perpendiculara pe AC si BD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 8

⊿DAB si ⊿BCD sunt isoscele => AN⊥BD; CN⊥BD; AN=CN =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =>⊿ANC este isoscel. => NM este si inaltime, NM⊥AC;

⊿ABC si ⊿ADC sunt isoscele => BM⊥AC; DM⊥AC; BM=DM =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=>⊿BMD este isoscel. => NM este si inaltime, NM⊥BD.

9. Se da un tetraedru regulat de muchie a.

  1. Sa se determine inaltimea si apotema tetraedrului, precum si valoarea cosinusului unghiului dintre doua fete ale tetraedrului.
  2. Sa se determine distantele unui punct oarecare de pe inaltimea tetraedrului la fetele laterale, in functie de distanta x a acestuia la planul bazei.
  3. Utilizand rezultatul obtinut la punctul b), sa se arate ca suma distantelor oricarui punct de pe inaltime la fetele tetraedrului este constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 9

VM=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}=CM=AN;

MO=\frac{1}{3}\cdot CM=\frac{a\sqrt3}{6};

VO=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{36}}= \frac{\sqrt2a}{\sqrt3}= \frac{a\sqrt6}{3};

\cos{VMC}=\frac{MO}{VM}=\frac{1}{3};

OE=x; EP⊥VM; EQ⊥VN;

⊿VEP∼⊿VMO => \frac{VE}{VM}=\frac{EP}{OM}; \frac{\frac{a\sqrt6}{3}-x}{\frac{a\sqrt3}{2}}= \frac{EP}{\frac{a\sqrt3}{6}}=>

\frac{2a\sqrt6-6x}{3a\sqrt3}=\frac{6EP}{a\sqrt3}=>

\ EP=\frac{a2\sqrt6-6x}{18}= \frac{a\sqrt6}{9}-\frac{x}{3}

⊿VEQ∼⊿VNO =>\frac{VE}{VO}=\frac{EQ}{ON}=>

\ EQ=\frac{a2\sqrt6-6x}{18}=\frac{a\sqrt6}{9}-\frac{x}{3}=EP;

Suma=3\cdot(\frac{a\sqrt6}{9}-\frac{x}{3})+x= \frac{a\sqrt6}{3}

10. Prin mijlocul inaltimii unei piramide triunghiulare regulate VABC se duce un plan paralel cu una din fetele laterale. Sa se afle aria sectiunii formate, stiind ca aria unei fete laterale este de 72 cm2.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 10

MN∥AC, M∈(AVB); N∈(BVC); MP∥AV; NP∥VC; P∈VB (ultima relatie de paralelism se demonstreaza prin raport de asemanare) => ⊿MNP∼⊿AVC=>

\frac{S_{MNP}}{S_{AVC}}= \left(\frac{MP}{AV}\right)^2=> \frac{S_{MNP}}{72}= \frac{1}{4}=> S_{MNP}=\frac{72}{4}=18

11. Baza unei piramide este un triunghi echilateral cu latura de 8 cm. Una dintre fetele laterale este, de asemenea, un triunghi echilateral, al carui plan este perpendicular pe planul bazei. Sa se determine aria laterala a acestei piramide.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 11

VM⊥AC;BM⊥AC=>VM⊥BM=>

VM=BM =\sqrt{64-16}=4\sqrt3;

VB=8\sqrt3;

AN=\sqrt{64-48}=4;

\ S_{VAB}=\frac{1}{2}\cdot8\sqrt3\cdot4=16\sqrt3

S=64\cdot\frac{\sqrt3}{4}+32\sqrt3= 16\sqrt3+32\sqrt3=48\sqrt3

12. O piramida are ca baza trapezul dreptunghic ABCD (AD∥BC,  m(∢A)=m(∢B)=90°, AD=a, BC=2a si AB=2a). Inaltimea piramidei VO cade in punctul O, mijlocul segmentului AB. Stiind ca VO = a, sa se calculeze:

  1. Ariile triunghiurilor VAB, VAD, VBC;
  2. Volumul piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 12

S_{VAB}=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a=a^2;

\ VA=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2=VB

VO⊥BA; BA⊥BC => VB⊥BC;

S_{VBC}=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a\sqrt2=a^2\sqrt2;

VO⊥AB; AB⊥DA => VA⊥AD;

S_{VAD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt2=\frac{a^2\sqrt2}{2};

V_{VABCD}=\frac{1}{3}\cdot\left(2a+a\right)\cdot2a\cdot\frac{1}{2}\cdot a=a^3

13. O piramida are ca baza un paralelogram ABCD si varful V, astfel incat muchia VD sa fie perpendiculara pe planul bazei. Se noteaza cu M mijlocul muchiei VB, B fiind vrful opus lui D in paralelogramul ABCD. Sa se arate ca:

  1. Planele MAC si MBD sunt perpendiculare pe planul bazei si MB≡MD;
  2. Unghiurile fetelor MAD si MBC cu planul bazei sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 13

VM≡MB;OB≡OD=>OM∥VD;VD⊥(ABCD);

OM⊂(DMB)=>(DMB)⊥(ABDC);

OM⊂(AMC)=>(AMC)⊥(ABDC);

OM⊥BD;OD=OB=>⊿DMB este isoscel =>DM=MB

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 14

ON⊥AD;MO⊥ON=>MN⊥AD;

OP⊥BC;MO⊥OP=>MP⊥BC;

DO≡OB;∢NDO≡∢PBO;m(∢OND)=m(∢OPB)=90°=>

⊿NDO≡⊿PBO=>

ON≡OP;m(∢MON)=m(∢MOP)=90°;MO=MO=>

⊿MON≡⊿MOP=>∢MNO≡∢MPO

14. O piramida patrulatera regulata are latura bazei egala cu a, iar sectiunea diagonala este echivalenta cu baza. Sa se determine aria laterala a piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 15

S_{ABCD}=a^2=S_{AVC} =\frac{1}{2}\cdot h\cdot a\sqrt2

=>h=\frac{2a}{\sqrt2}=a\sqrt2;

VM=\sqrt{\frac{a^2}{4}+2a^2}= \frac{3}{2}a;

\ S_{laterala}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{3}{2}a=3a^2

15. O piramida are baza un paralelogram. Ce poligon se obtine sectionand aceasta piramida cu un plan paralel cu o fata laterala a sa?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 16

MN⊂(AMCD); MN∥BC => AM≡DN; MB≡NC

QM⊂(VAB); QM∥VB =>\frac{AM}{MB}=\frac{AQ}{QV};

NP⊂(VDC);NP∥VC =>\frac{DP}{PV}=\frac{DN}{NC};

=>\frac{AQ}{QV}=\frac{DP}{PV} => QP ∥ AD ∥ BC ∥ MN

=>QPNM  trapez

16. Sa se arate ca oricum am alege trei muchii ale unei piramide, cel putin doua sunt situate in acelasi plan.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 17

Daca alegem doua muchii laterale, acestea se intersecteaza in varf, deci determina un plan. Daca alegem doua muchii ale bazei acestea fac parte din planul bazei.

17. Intr-o piramida patrulatera regulata VABCD, cu muchia bazei egala cu 8 cm, se duce, prin mijlocul muchiei VA, un plan paralel cu planul, triunghiul VBD. Stiind ca muchiile piramidei sunt congruente cu diagonala bazei, sa se calculeze:

  1. Aria laterala si volumul piramidei;
  2. Aria sectiunii determinata in piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 18

AC=BD==\sqrt{64+64}=8\sqrt2= VA=VB=VC=VD;

VO⊥(ABCD); OQ⊥DC => VQ⊥DC;

VQ=\sqrt{128-16}=\sqrt{112}=4\sqrt7

S_L=4\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt7=64\sqrt7;

VO=\sqrt{112-16}=\sqrt{96}=4\sqrt6;

V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4\sqrt6=\frac{256\sqrt6}{3}

MP ∥ VB; VM = MA => MP=\frac{VB}{2};DN=NA

MN ∥ VD; VM = MA => MN=\frac{VD}{2};AP=PB;

DN=NA; AP=PB => NP=\frac{DB}{2}

=>S_{MNP}=\frac{S_{VDB}}{4}= \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\sqrt2\cdot4\sqrt6=8\sqrt3

18. Fie o piramida patrulatera regulata cu baza un patrat ABCD de latura 1 cm. Stiind ca unghiurile diedre a doua fete opuse sunt congruente cu unghiurile diedre pe care acestea le formeaza cu baza, sa se determine:

  1. Muchiile laterale;
  2. Inaltimea piramidei;
  3. Aria laterala si aria totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 19

⊿MVN este echilateral =>MV=MN=VN=1;

VB=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt5}{2}

VO=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}

S_L=4\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=2

S_T=S_L+1=3

19. O piramida cu baza ABCD dreptunghi, are AB=2a, BC=a si inaltimea SD=2a. Pe muchia SB se ia mijlocul ei, P.

  1. Sa se arate ca triunghiul APC este isoscel si sa se calculeze aria sa.
  2. Sa se calculeze aria laterala a piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 20

AC=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5;

PC=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5

=>AC=PC;

SD⊥AD; AD⊥AB; SA⊥AB;

SA=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5

SD⊥DC; DC⊥BC; SC⊥BC;

SC=\sqrt{4a^2+{4a}^2}=a2\sqrt2;

\S_L=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a+\frac{1}{2}\cdot a\sqrt5\cdot2a+\frac{1}{2}\cdot a2\sqrt2\cdot a+\frac{1}{2}\cdot2a\cdot2a

=a^2+a^2\sqrt5+a^2\sqrt2+2a^2

=a^2(3+\sqrt5+\sqrt2)

20. Fie SABCD o piramida regulata cu baza patratul ABCD de latura 3\sqrt2 si muchie laterala 5.

  1. Sa se afle aria laterala si volumul piramidei
  2. Daca notam cu O centrul patratului si consideram un punct M pe muchia SB, sa se determine cosinusul unghiului format de OM cu planul patratului, astfel incat aria triunghiului ACM sa fie minima.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 21

h_{ASB}=\sqrt{25-\frac{18}{4}}=\sqrt{\frac{82}{4}}=\sqrt{\frac{41}{2}};

S_L=4\cdot\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2\cdot\frac{41}{2}}= 6\sqrt{41};

SO=\sqrt{{AS}^2-{AO}^2}=\ \sqrt{25-9}=4;

V=\frac{1}{3}\cdot18\cdot4=24

Pentru ca aria triunghiului ACM sa fie minima, trebuie ca MO sa fie minima, deci OM⊥SB.

OM=\frac{SO\cdot O B}{SB}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5};

\cos{MOB}=\frac{OM}{OB}=\frac{12}{5}\cdot\frac{1}{3}=0.8

21.*Daca o piramida triunghiulara regulata are muchia laterala de marime a constanta si latura x a bazei variabila (dar baza este mereu un triunghi echilateral de latura x), sa se gaseasca marimea lui x pentru care volumul piramidei este maxim.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 22

Se considera ca baza a piramidei o fata laterala. Se tine seama intai ca din toate piramidele cu aceeasi baza si cu muchia constanta, cea cu volum maxim este cea in care muchia laterala este inaltime; apoi, ca din toate triunghiurile isoscele cu laturile congruente de lungime constanta, cel de arie maxima este triunghiul dreptunghic.

a^2+a^2=x^2

x=a\sqrt2.

22. Intr-o piramida de inaltime h, sa se spuna la ce distanta de varf trebuie dus un plan paralel cu baza, astfel incat aria totala a piramidei mici obtinute, sa fie de doua ori mai mica decat a celei initiale.

Rezolvare:

Daca x este distanta de la varf la plan:

\frac{A_{1T}}{A_{2T}}=\frac{A_{1L}}{A_{2L}}=\frac{x^2}{h^2}=\frac{1}{2},\ x=\frac{h}{\sqrt2}.

23. O piramida are muchiile laterale congruente si ele formeaza cu planul bazei unghiuri de 45°. Baza este un trapez isoscel cu unghiurile ascutite de cate 60° si bazele de 6 cm si 8 cm. Sa se calculeze:

  1. Raza cercului circumscris trapezului isoscel;
  2. Volumul piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 23

AP=1; AD=BC=2; DP=\sqrt3=NM;

{OA}^2=16+{OM}^2=9+{ON}^2;

OM+ON=\sqrt3

16+\left(\sqrt3-ON\right)^2= 9+{ON}^2;16+3-2\sqrt3 ON=9;

ON=\frac{5}{\sqrt3};

OA=\sqrt{9+\frac{25}{3}}= 2\sqrt{\frac{13}{3}}=\frac{2\sqrt{39}}{3}

m(∢VAO)=45°=> VO=AO=\frac{2\sqrt{39}}{3};

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot14\cdot\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt{39}}{3} =\frac{1}{3}\cdot14\cdot\sqrt{13}

24. O piramida triunghiulara regulata are latura bazei de 6\sqrt3 m si apotema (piramidei) de 5 m. Sa se afle volumul piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 24

CM=\sqrt{36\cdot3-9\cdot3}=9;

OM=\frac{9}{3}=3;

VO=\sqrt{25-9}=4;

V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot4=36\sqrt3

25. Dreptunghiul ABCD este baza unui paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH, in care AB≡AE, AB=2a si AD=a\sqrt3. Fie P mijlocul laturii AB si Q mijlocul laturii AE. Sa se calculeze volumul tetraedrului FHPQ in functie de a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 25

HE⊥(ABCD); ⊿QPF⊂(ABCD) => HE este inaltime;

EB=\sqrt{4a^2+4a^2}=2\sqrt2a;

QP=\frac{EB}{2}=\sqrt2a;

QF=PF=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt5;

\ h_{\bigtriangleup Q F P}=\sqrt{5a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a3\sqrt2}{2};

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a3\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2a\cdot a\sqrt3=\frac{a^3\sqrt3}{2}

26. Printr-una din laturile bazei unei piramide triunghiulare regulate cu inaltimea h=4\sqrt3 cm si latura bazei 5 cm, se duce planul perpendicular pe muchia opusa. Sa se calculeze aria sectiunii obtinute.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 26

AN=\sqrt{25-\frac{25}{4}}= \frac{5\sqrt3}{2};

AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{5\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{3};

AV=VC=VB=\sqrt{48+\frac{25}{3}}=\frac{13\sqrt3}{3};

V_{VABC}=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt3\cdot\frac{25\sqrt3}{4}=

V_{AMBC}+V_{VMCB}= \frac{1}{3}\cdot AM\cdot S+\frac{1}{3}\cdot MV\cdot S=

\frac{1}{3}\cdot S\cdot\frac{13\sqrt3}{3}=>

75=S\cdot\frac{13}{\sqrt3}=>S=\frac{75\sqrt3}{13}

27. Fetele unei piramide triunghiulare regulate sunt triunghiuri isoscele de baza 4 si unghi la varf 30°. Sa se exprime volumul piramidei, cu ajutorul unor functii trigonometrice ale unghiului de 15°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 27

BM=2\sqrt3;MO=\frac{2\sqrt3}{3};

VM=2\cdot ctg\ 15;

OV=\sqrt{\frac{4}{3}+4\cdot c t g\ 15^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{1+ctg\ 15^{\circ}}=>

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{16\sqrt3}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{1+ctg\ 15^{\circ}}= \frac{8}{3}\sqrt{1+ctg\ 15}^{\circ}

28. Fie OABC o piramida triunghiulara cu muchiile OA, OB, OC perpendiculare, doua cate doua si OA=30 cm, OB=40 cm, OC=70 cm. Sa se afle distanta de la varful O la planul ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 28

AB=\sqrt{900+1600}=50;

OM\bot AB;CO\bot OM=> CM\bot AB;OM=24;

CM=\sqrt{4900+576}=\sqrt{5476}

BC=\sqrt{1600+4900}=\sqrt{6500}=10\sqrt{65};

AC=\sqrt{900+4900}=\sqrt{5700}=10\sqrt{57};

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot30\cdot40\cdot70= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\ 50\cdot\sqrt{5476}\cdot h=>

h=\frac{120\cdot70}{5\cdot\sqrt{5476}}=\frac{840}{\sqrt{1369}}=\frac{840}{37}

29. Fie SABC un tetraedru regulat si M mijlocul muchiei SC.

  1. Sa se demonstreze ca dreapta SC este perpendiculara pe planul MAB.
  2. Sa se afle raportul dintre volumele piramidelor SABM si MABC.
  3. Sa se arate ca ariile totale ale acestor piramide sunt egale.
  4. Ce pozitie trebuie sa aiba punctul M pe SC, pentru ca aria triunghiului ABM sa fie minima.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 29

SM=MC => AM⊥SC (⊿SAC); BM⊥SC (⊿SBC); => SC⊥(AMB);

\frac{V_{SABM}}{V_{MABC}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot S_{AMB}\cdot S M}{\frac{1}{3}\cdot S_{AMB}\cdot C M}=1;

S_{SAMB}=S_{AMB}+S_{SAM}+S_{SBM}+S_{SAB}=

S_{AMB}+\frac{1}{2}\cdot SM\cdot AM+\frac{1}{2}\cdot SM\cdot BM+\frac{a^2\sqrt3}{4}=

S_{AMB}+S_{AMC}+S_{MBC}+S_{ABC}=S_{MABC}

Pozitia din problema deoarece AB este constanta iar cea mai scurta distanta de la un punct la o dreapta este perpendiculara, deci AM⊥SC; BM⊥SC .

30. *Sectionand partea superioara a unui acoperis, se obtine un corp ca in figura 14.9 cu dimensiunile de acolo (bazele sunt dreptunghiuri, iar fetele laterale trapeze isoscele). Prelungind AA’, DD’ si BB’, CC’, pana se intalnesc, sa se gaseasca volumul acoperisului din care provine aceasta sectiune.

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 30
fig. 14 9

Rezolvare:

AA’∩DD’={M}; BB’⋂CC’={N};

(APQ)⊥(ABC); AD∥(APQ); (NLR)⊥(ABC);

AD∥(NLR); ⊿D’MA’∼⊿DMA;

\frac{D^\prime A^\prime}{AD}=\frac{MA^\prime}{MA}=\frac{1}{3}=\frac{MA^\prime}{MA^\prime+a}

=>MA^\prime=\frac{a}{2};MA=\frac{3a}{2}

h_{A^\prime B^\prime B A}=TQ=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2};

\frac{MT}{MQ}=\frac{1}{3};\frac{MT}{MT+TQ}=\frac{1}{3}=>

MT=\frac{TQ}{2}=\frac{a\sqrt3}{4};\ MQ=\frac{3\sqrt3\cdot a}{4};

H_{DMPQA}=\sqrt{\frac{27a^2}{16}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{23a^2}{16}}=\frac{a}{4}\sqrt{23};

AQ=\sqrt{\frac{9a^2}{4}-\frac{27a^2}{16}}=\frac{3a}{4}

V_{acoperis}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot H_{DMPQA}\cdot S_{AQPD}+V_{PQRLNM}=

2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{4}\sqrt{23}\cdot\frac{3a}{4}\cdot a+\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\sqrt{23}\cdot a\cdot \left(2a-\frac{3a}{2}\right)=\frac{3a^3\sqrt{23}}{16}

31. *In figura 14.10 este reprezentat un cort, cu baza un dreptunghi, doua fete triunghiuri echilaterale si doua fete trapeze isoscele. Sa se determine volumul cortului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 31

(EMN)⊥(ABCD); MN∥AD; (QFP)⊥((ABCD); QP∥BC;

EF=NP=4; AN=BP=\frac{AB-EF}{2}=\frac{3}{2};

EN=FP=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt3}{2};

h_{ENADM}=\sqrt{\frac{27}{4}-\frac{9}{4}}= \frac{3\sqrt2}{2}

V=\frac{1}{3}\cdot2\cdot\frac{3}{2}\cdot3\cdot\frac{3\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt2}{2}\cdot3\cdot4 =\frac{27\sqrt2}{2}

32. Pe un cub ABCDA’B’C’D’ cu muchia DC = a se aseaa o piramida regulata VABCD, cu toate fetele triunghiuri echilaterale (14.11).

  1. Sa se determine volumul corpului obtinut.
  2. Sa se arate ca AV⊥VC.
  3. Daca nu se cunoaste latura a ci numai lungimea segmentului VA’=3\sqrt{2+\sqrt2} metri, sa se gaseasca lungimea laturii a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 32
fig. 14 11

BD=a\sqrt2; VO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt2}{2};

V=a^3+\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=a^3\cdot(1+\frac{\sqrt2}{6})

{AC}^2=2a^2={AV}^2+{VC}^2=>AV\bot VC

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 33

{VO^\prime}^2={VA^\prime}^2-{A^\prime O^\prime}^2=

9\cdot\left(2+\sqrt2\right)-\frac{a^2}{2}= a^2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =>a^2\left(1+\frac{1}{2}+\sqrt2+\frac{1}{2}\right)= 18+9\sqrt2;

a^2=\frac{18+9\sqrt2}{2+\sqrt2}=9=>a=3

33. Se da o prisma triunghiulara ABCA’B’C’ de volum 8 m2. Fie M mijlocul muchiei laterale BB’. Sa se afle volumul piramidei MACC’A’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 34

MC=MC’=MA=MA’=\sqrt{\frac{{BB^\prime}^2}{4}+l^2};

V_{ABCA^\prime B^\prime C^\prime}=\frac{l^2\sqrt3}{4}\cdot H=8=>

l^2H=\frac{32\sqrt3}{3};

MO=\sqrt{\frac{H^2}{4}+l^2-\frac{H^2+l^2}{4}}=\frac{l\sqrt3}{2};

\ V_{MAA\prime C\prime C}=\frac{1}{3}\cdot H\cdot l\cdot\frac{l\sqrt3}{2}=

\frac{1}{3}\cdot\frac{32\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{16}{3}

34. O piramida regulata VABCD are latura bazei AB = 4 cm si apotema piramidei egala cu 2,5 cm. Fie A’, B’, C’ D’ mijloacele muchiilor laterale VA, VB, VC, VD (in aceasta ordine) si fie N un punct oarecare in planul bazei. Sa se afle volumul piramidei NA’B’C’D’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 35

VO=\sqrt{\frac{25}{4}-4}=\frac{3}{2};

A^\prime B^\prime=B^\prime C^\prime=C^\prime D^\prime=A^\prime D^\prime=\frac{4}{2}=2\\ (linii mijlocii);

distanta de la planul ABCD la planul A’B’C’D’ este constanta si este

OO^\prime=\frac{VO}{2}=\frac{3}{4};

V_{NA\prime B\prime C\prime D\prime}=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\frac{3}{4}=1

35. Intr-o cutie cubica cu capacul ABCD si muchia AB = 2 dm, punem o piramida regulata VA’B’C’D’ unde A’B’C’D’ este cealalta baza a cubului. Dar capaul ABCD nu se mai inchide. El face un unghi de 45° cu planul bazei.

  1. Care este volumul piramidei?
  2. Sa se gaseasca sinusul unghiului plan al diedrului format de o fata laterala a piramidei cu baza acesteia.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 36

MA=MB=ND=NC=PQ=PR=1;

m(∢PMN)=45°=> VO^\prime=MO^\prime=1;

VO=VO^\prime+OO^\prime=3;

V=\frac{1}{3}\cdot4\cdot3=4\ {dm}^3

sin{VTO}=\frac{VO}{VT}; VT=\sqrt{1+9}=\sqrt{10};

sin{VTO}=\frac{3\sqrt{10}}{10}

36. Daca desfasuram suprafata laterala a unei piramide triunghiulare regulate, obtinem figura 4.12. Stiind ca latura bazei este BC = 10 dm, sa se afle aria si volumul piramidei (VA, VA’ sunt in prelungire).

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 37

Rezolvare:

CM=VM=\sqrt{100-25}=5\sqrt3;

OM=\frac{5\sqrt3}{3};

VO=\sqrt{75-25}=5\sqrt2;

V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot5\sqrt2=\frac{125\sqrt6}{3}{\ dm}^3;

A=4\cdot100\cdot\frac{\sqrt3}{4}=100\sqrt3\ {dm}^2

37. Se da o piramida patrulatera regulata cu varful V si baza ABCD (VA≡VB≡CV≡DV,VA=a) si unghiurile de la varf le fetelor laterale de 30°. O furnica porneste din varful A si merge pe toate fetele laterale, in linie dreapta, pana revine in punctul A. Se noteaza cu B’, C’, D’ punctele unde furnica traverseaza respectiv muchiile VB, VC si VD. Se cere:

  1. Sa se desfasoare pe un plan suprafata laterala a piramidei si sa se traseze pe ea drumul furnicii.
  2. Cand este drumul acesta cel mai scurt si in acest caz sa se calculeze lungimea lui.
  3. Unghiurile sub care drumul furnicii taie muchiile laterale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 38

Cel mai scurt drum este cel drept, care uneste A cu A’; ⊿AVA’ este isoscel;

m(∢VAA’ )=m(∢VA’A)=30°; VC’ bisectoare si mediatoare;

\sin{60}=\frac{AC^\prime}{VA}=\frac{\sqrt{3\ }}{2}=\frac{AC^\prime}{a}=>AA^\prime=a\sqrt3;

m(∢VB’A’)=m(∢VD’A)=60°

38. Sa se arate ca perpendicularele pe fetele unui tetraedru, in centrele cercurilor circumscrise acestor fete, sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 39

MO⊥(VAB)=>MB=MV=MA;

MO’⊥(ABC)=>MB=MC=MA=>

MC=MV=MA=MB=>MO”⊥(VAC); MO”’⊥(VBC)