Probleme: Dreapta, plan, paralelism

1. Doua dreptunghiuri ABCD si MNCD au o latura comuna CD si sunt situate in plane diferite. Demonstrati ca AB si MN sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 1

MN∥DC;DC∥AB=>MN∥AB deoarece in spatiu doua drepte paralele cu o a treia, sunt paralele intre ele.

2. Trapezul ABCD are latura neparalela CD situata in planul , ca in figura 2.12. (A si B nu se afla in planul . Daca AB = 5 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, calculati DE, E fiind punctul unde AB intersescteaza planul .

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 2
fig 2 12

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 3

In planul trapezului ABCD, consideram triunghiul AED.

\left(AD-BC\right)^2=25-16=9=> AD-BC=3=>AD=6;

BC\parallel AD; \frac{BC}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}  =>BC este linie mijlocie in triunghiul AED => DE=8

3. Daca dreptele a∥b∥c, rezulta ca toate sunt coplanare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 4

Nu, doua drepte paralele determina un plan, dar a treia poate sa apartina unui alt plan, si in acest caz ele se vor afla la intersectia a 3 plane.

4. Se dau doua plane α si β si doua drepte a⊂α , b⊂β. Daca a∥α ; b∥β si a nu este paralela cu b, sa se demonstreze ca planele α si β sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 5

Presupunem ca α∦β=> α∩β={c}, => a∥c; b∥c=>a∥b ceea ce contrazice ipoteza.

5. Fiind date patru puncte necoplanare, dupa cate drepte se intersecteaza planele determinate de cate trei din aceste puncte?

Rezolvare:

(ABC)∩(ABD)=d1; (ABC)∩(ABD)=d2;(ABC)∩(ACD)=d3;

(ABC)∩(BCD)=d4;(ABD)∩(ACD)=d5;

(ABD)∩(BCD)=d6; (ACD)∩(BCD)=d7.

6. Dandu-se doua plane paralele, aratati ca orice dreapta din primul plan este paralela cu al doilea.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 6

Presupunem ca a∩β={B}, =>B∈β; B∈ a, a⊂α=>B∈α deci α∦β, ceea ce inseamna ca presupunerea este falsa.

7. Formulati o reciproca a propozitiei din problema 6 si verificati daca aceasta este sau nu adevarata.

Rezolvare:

“Dandu-se doua plane, daca orice dreapta din primul plan este paralela cu al doilea inseamna ca cele doua plane sunt paralele.”

Presupunem ca cele doua plane nu sunt paralele, ceea ce inseamna ca exista o dreapta continuta de ambele plane care nu este paralela cu cel de-al doilea, deci presupunerea este falsa.

8. Este oare suficient ca doua plane sa fie paralele cu aceeasi dreapta, ca sa fie paralele intre ele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 7

α∩β={b};a∥b=>a∥α;a∥β, deci nu este o conditie suficienta.

9. Dandu-se doua plane paralele, orice dreapta din primul plan este paralela cu orice dreapta din al doilea?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 8

Consideram α∥β;a∈α;A∈β. Prin A putem duce nenumarate drepte continute de planul , insa o singura paralela la dreapta a.

10. Un triunghi ABC are latura BC continuta in planul , iar M∈ABsi N∈ Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul α daca:

  1. AM=5 cm, AN=10 cm, MB=3 cm, NC=6 cm;
  2. AM=1 cm, AN=3 cm, MB=1 cm, NC=5 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 9

a.\ \frac{AM}{MB}=\frac{5}{3}; \frac{AN}{NC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} =>MN\parallel BC=> MN\parallel\alpha;

b.\ \frac{AM}{MB}= \frac{1}{1};\frac{AN}{NC}=\frac{3}{5}=>

MNse intersecteaza cu BC => MN intersecteaza planul α

11. Daca un plan este paralel cu doua laturi ale unui triunghi, demonstrati ca este paralel cu a treia latura a triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 10

AB∥β;AC∥β, dar AB si BC determina planul α => α∥β;BC⊂α=>BC∥β.

12. Un trapez ABCD (AB∥CD) are latura AB continuta intr-un plan . Un plan ce contine dreapta CD intersecteaza planul dupa o dreapta g. Stabiliti pozitia dreptelor AB si g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 11

DC∥AB;DC∥α;g⊂α;=>DC∥g;=>g∥AB

Propozitii despre puncte, drepte si plane

Punctul din geometria in spatiu este similar cu cel din geometria in plan. Nu are “intindere” si nu poate fi confundat cu o bulina.

Dreapta, de asemenea, este comparabila cu un fir bine intins, presupus “prelungit oricat”, dar spre deosebire de acesta nu are grosime. Se considera a fi o multime de puncte.

Planul este o suprafata, nu are grosime, nu este “strat”, contine drepte, este o multime de muncte.

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 12
fig. 1 1

Consideram adevarate, de la inceput, urmatoarele propozitii:

P1. Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; orice dreapta are cel putin doua puncte distincte.

Prima parte a acestei afirmatii se mai poate formula si astfel:

Doua puncte determina o dreapta si numai una.

P2. Intr-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralela la ea si numai una. (Postulatul lui Euclid.) (Acceptam deci implicit ca doua paralele sunt in acelasi plan.)

P3. Fiind date trei puncte necoliniare, exista un plan si numai unul care sa le contina; intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.

Prima parte a acestei afirmatii se poate formula:

Trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul.

Daca punctul A este in planul α (fig.1.2) se scrie A∈ α si daca punctul B nu apartine planului α, se scrie B ∉α.

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 13
fig. 1 2

Observatie. Propozitiile P1 si P2 erau adevarate si in geometria plana.

P4. Daca doua drepte distincte A si B sunt situate intr-un plan, dreapta determinata de ele are toate punctele in acest plan.

Altfel spus: Dreapta determinata de punctele A si B, situate in planul α, este continuta (sau situata) in planul α (fig.1.3).

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 14
fig. 1 3

Din aceasta ultima propozitie rezulta ca un plan este nemarginit, asa cum afirmam in pagina anterioara.

P5. Daca doua plane distincte au un punct comun, atunci ele mai au inca cel putin unul.

Consecinta: Doua plane distincte, care au un punct comun, au o dreapta comuna.

Intr-adevar, daca planele α si β au un punct P comun, mai au inca un punct Q comun, deci au si dreapta PQ comuna (am notat, de data aceasta, dreapta, nu printr-o litera mica, ci prin doua din punctele ei) (fig.1.4)

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 15
fig. 1 4

Observatie: Consecinta de mai sus nu exclude existenta a doua plane care n-au niciun punct comun (acestea se numesc paralele si ele vor fi tratate ulterior).

P6. Exista patru puncte nesituate in acelasi plan (necoplanare). Aceasta propozitie, impreuna cu P3 tine de geometria in spatiu.

In fiecare plan din spatiu consideram adevarate toate propozitiile (teoremele si axiomele) valabile in geometria plana.