Probleme: Alte teoreme de paralelilsm

1. In figura 4.6, planele α, β, γ sunt paralele si A’C’, AC sunt doua secante. Stiind ca A’B’=5 cm, B’C’=3 cm si AC=12 cm, calculati AB si BC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 1
fig. 4 6

Aplicam teorema lui Thales: \frac{A^\prime B^\prime}{B^\prime C^\prime}=\frac{AB}{BC}=> \frac{5}{3}=\frac{AB}{BC}=> AB=\frac{5BC}{3};

AB+BC=\frac{8BC}{3}=12  =>BC=4,5;AB=7,5

2. Se da o dreapta d si un punct A, exterior ei. Se considera multimea planelor care trec prin A si sunt paralele cu d. Sa se arate ca aceste plane au o dreapta comuna.

Rezolvare:

Orice plan paralel cu dreapta d si care contine punctul A, va contine dreapta paralela cu d care trece prin A, si stim ca aceasta este unica.

3. Fie planul α si un punct exterior lui, A. Care este locul geometric al mijlocului segmentului AB, cand B parcurge α?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 2

Locul geometric este un plan, paralel cu planul dat si aflat la jumatatea distantei intre A si planul α.

4. Fie planul α si dreapta d∥α. Daca A parcurge d si B este punctul curent (poate ocupa orice pozitie) in α, care este locul geometric al mijlocului segmentului AB?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 3

Locul geometric este un plan paralel cu dreapta d si planul , situat la jumatatea distantei dintre cele doua. Relatia din problema este verificata de teorema lui Thales in spatiu.

5. Se dau doua drepte neconcurente in spatiu, d si g. Care este locul geometric al mijlocului segmentului DG unde D∈d, G∈g, cand

  • d∥g;
  • d si g sunt necoplanare.

Rezolvare:

In primul caz, problema se reduce la o problema de geometrie plana, considerand planul determinat de cele doua drepte paralele. Locul geometric este o a treia dreapta, paralela cu cele doua si situata la jumatatea distantei dintre ele.

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 4

Observam din figura, formarea unui triunghi paralel cu cele doua planuri (teorema lui Thales in spatiu) => locul geometric este un plan situat la jumatatea distantei dintre cele doua planuri.

6. Aceeasi problema, daca in loc de dreptele d si g se dau segmentele AB si PQ:

  • AB∥PQ;
  • AB necoplanar cu PQ.

Rezolvare:

In primul caz problema se reduce la o problema de geometrie plana, iar locul geometric cautat este linia mijlocie a trapezului ABPQ.

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 5

In al doilea caz, este vorba de un paralelogram MNRT, M, N, R, T fiind mijloacele segmentelor AP, PB, BQ, AQ si punctele din interiorul sau. Pentru oricare dintre acestea se poate aplica teorema lui Thales in spatiu.

7. Demonstrati ca daca patru drepte paralele determina, pe un plan dat, varfurile unui paralelogram, atunci determina pe orice plan care le intersecteaza varfurile unui paralelogram.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 6

In figura de mai sus, presupunem ca MP se intersecteaza cu NO, dar MP este inclus in planul determinat de dreptele a si b iar NO este inclus in planul determinat de dreptele c si d. Cele doua plane sunt paralele, deci presupunerea este falsa => MP∥ND. Analog, MN∥OP=>MNOP este paralelorgram.

8. Aratati ca daca doua drepte concurente se intersecteaza cu doua plane paralele in punctele A, B si respectiv, C, D, astfel incat patrulaterul ABCD sa fie inscriptibil, atunci acesta este fie dreptunghi, fie trapez isoscel.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 7

Doua drepte concuente determina un plan. Acest plan este intersectat de doua plane, dupa doua drepte paralele. Deci, patrulaterul inscriptibil ABCD are doua laturi paralele. El este deci dreptunghi sau trapez isoscel.

9. Daca doua plane paralele determina pe doua secante segmente congruente, aceste secante sunt paralele? Justificati raspunsul dat.

Rezolvare:

Nu, a se vedea problema precedenta.

10. Se dau trei drepte concurente in spatiu, care intersecteaza trei plane paralele.

  1. Sa se arate ca punctele de intersectie ale dreptelor cu planele, formeaza, in fiecare plan, un triunghi si ca cele trei triunghiuri sunt asemenea.
  2. Centrele de greutate ale acestor triunghiuri sunt coliniare.
  3. Centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor sunt, de asemenea, coliniare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 8

a. Se formeaza triunghiuri ale caror unghiuri au laturile paralele, deci triunghiurile ABC, DEF, GHI sunt asemenea.

b.

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 9

⊿ABC∼⊿DEF; BM⊥AC; AN⊥BC; EP⊥DF; DQ⊥EF

⊿BMC∼⊿EPF (U.U.) => ∢H1BN≡∢H2ED => ⊿H1BN∼⊿H2ED

Similar demonstram asemanarea si cu al treilea triunghi => laturile lor sunt paralele, deci {BH}_1\parallel EH_2\parallel HH_3, pastrand si raportul de proportionalitate in ⊿THH_3=>H_2\in TH.

c. Se demonstreaza similar cu b.

11. Se considera doua plane paralele α si β. Se iau A∈α, B∈β si apoi un punct C pe segmentul AB asa incat \frac{AC}{CB}=3. Ce figura descrie C cand A si B parcurg α si respectiv β?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 10

Consideram punctul D∈β si ducem prin C paralela la BD. Aplicand teorema lui Thales in ⊿ABD =>\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{ED}=3 =>E indeplineste conditia. => locul geometric este un plan paralel cu cele doua aflat la o distanta de 1/3 intre cele doua plane.

12. Linia franta inchisa ABCD este intersectata de planul θ in punctele M, N, P, Q (M∈AB, N∈BC, P∈CD, Q∈DA). Ducand prin A, B, C, D respectiv planele α, β, γ, δ paralele cu θ si apoi o dreapta d, care intersecteaza aceste plane in A’, B’, C’, D’, sa se dovedeasca relatia: \frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PD}\cdot\frac{DQ}{QA}=1

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 11
fig. 4 7

Rezolvare:

Daca R este punctul in care d intersecteaza planul θ, atunci:

\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PD}\cdot\frac{DQ}{QA}= \frac{A^\prime R}{RB^\prime}\cdot\frac{B^\prime R}{RC^\prime}\cdot\frac{C^\prime R}{RD^\prime}\cdot\frac{D^\prime R}{RA^\prime}=1

 

 

 

Probleme: Dreapta, plan, paralelism

1. Doua dreptunghiuri ABCD si MNCD au o latura comuna CD si sunt situate in plane diferite. Demonstrati ca AB si MN sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 12

MN∥DC;DC∥AB=>MN∥AB deoarece in spatiu doua drepte paralele cu o a treia, sunt paralele intre ele.

2. Trapezul ABCD are latura neparalela CD situata in planul , ca in figura 2.12. (A si B nu se afla in planul . Daca AB = 5 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, calculati DE, E fiind punctul unde AB intersescteaza planul .

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 13
fig 2 12

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 14

In planul trapezului ABCD, consideram triunghiul AED.

\left(AD-BC\right)^2=25-16=9=> AD-BC=3=>AD=6;

BC\parallel AD; \frac{BC}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}  =>BC este linie mijlocie in triunghiul AED => DE=8

3. Daca dreptele a∥b∥c, rezulta ca toate sunt coplanare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 15

Nu, doua drepte paralele determina un plan, dar a treia poate sa apartina unui alt plan, si in acest caz ele se vor afla la intersectia a 3 plane.

4. Se dau doua plane α si β si doua drepte a⊂α , b⊂β. Daca a∥α ; b∥β si a nu este paralela cu b, sa se demonstreze ca planele α si β sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 16

Presupunem ca α∦β=> α∩β={c}, => a∥c; b∥c=>a∥b ceea ce contrazice ipoteza.

5. Fiind date patru puncte necoplanare, dupa cate drepte se intersecteaza planele determinate de cate trei din aceste puncte?

Rezolvare:

(ABC)∩(ABD)=d1; (ABC)∩(ABD)=d2;(ABC)∩(ACD)=d3;

(ABC)∩(BCD)=d4;(ABD)∩(ACD)=d5;

(ABD)∩(BCD)=d6; (ACD)∩(BCD)=d7.

6. Dandu-se doua plane paralele, aratati ca orice dreapta din primul plan este paralela cu al doilea.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 17

Presupunem ca a∩β={B}, =>B∈β; B∈ a, a⊂α=>B∈α deci α∦β, ceea ce inseamna ca presupunerea este falsa.

7. Formulati o reciproca a propozitiei din problema 6 si verificati daca aceasta este sau nu adevarata.

Rezolvare:

“Dandu-se doua plane, daca orice dreapta din primul plan este paralela cu al doilea inseamna ca cele doua plane sunt paralele.”

Presupunem ca cele doua plane nu sunt paralele, ceea ce inseamna ca exista o dreapta continuta de ambele plane care nu este paralela cu cel de-al doilea, deci presupunerea este falsa.

8. Este oare suficient ca doua plane sa fie paralele cu aceeasi dreapta, ca sa fie paralele intre ele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 18

α∩β={b};a∥b=>a∥α;a∥β, deci nu este o conditie suficienta.

9. Dandu-se doua plane paralele, orice dreapta din primul plan este paralela cu orice dreapta din al doilea?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 19

Consideram α∥β;a∈α;A∈β. Prin A putem duce nenumarate drepte continute de planul , insa o singura paralela la dreapta a.

10. Un triunghi ABC are latura BC continuta in planul , iar M∈ABsi N∈ Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul α daca:

  1. AM=5 cm, AN=10 cm, MB=3 cm, NC=6 cm;
  2. AM=1 cm, AN=3 cm, MB=1 cm, NC=5 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 20

a.\ \frac{AM}{MB}=\frac{5}{3}; \frac{AN}{NC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} =>MN\parallel BC=> MN\parallel\alpha;

b.\ \frac{AM}{MB}= \frac{1}{1};\frac{AN}{NC}=\frac{3}{5}=>

MNse intersecteaza cu BC => MN intersecteaza planul α

11. Daca un plan este paralel cu doua laturi ale unui triunghi, demonstrati ca este paralel cu a treia latura a triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 21

AB∥β;AC∥β, dar AB si BC determina planul α => α∥β;BC⊂α=>BC∥β.

12. Un trapez ABCD (AB∥CD) are latura AB continuta intr-un plan . Un plan ce contine dreapta CD intersecteaza planul dupa o dreapta g. Stabiliti pozitia dreptelor AB si g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 22

DC∥AB;DC∥α;g⊂α;=>DC∥g;=>g∥AB

Cateva teoreme de paralelism

Teorema 1. Daca o dreapta (d) este paralela cu un plan (α), oricare plan (β), care contine aceasta dreapta si intersecteaza planul intial, o face dupa o dreapta (g) paralela cu d.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 23
fig. 2 7

Demonstratie. Dreptele d si g, fiind coplanare (fig. 2.7), sunt fie paralele, fie concurente. Daca ar fi concurente (in A), ar rezulta ca acest punct apartine si dreptei d si planului α. Dar cum d si αsunt paralele, rezulta ca si d si g dunt paralele. Aceasta teorema poate fi considerata o reciproca a teoremei care afirma ca o dreapta paralela cu o dreapta din plan este paralela cu planul (sau continuta in el).

Teorema 2. Daca o dreapta (d) este paralela cu un plan (α) si printr-un punct al planului (A∈ α) ducem o paralela (g) la dreapta intiala (d), aceasta a doua dreapta este continuta in plan.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 24
fig. 2 8

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd, ca g nu este continuta in α (fig. 2.8)Consideram planul determinat de dreptele d si g, notat cu β. Planele α si β se intersecteaza in b. Deci, in planul β, prin punctul A trec dreptele g si b, ambele paralele cu d, ceea ce este imposibil.

Teorema 3. Tranzitivitatea relatiei de paralelism. In spatiu, doua drepte distincte, paralele cu o a treia, sunt paralele intre ele.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 25
fig. 2 9

Demonstratie. Daca dreptele sunt toate trei coplanare, este vorba de o consecinta evidenta a axiomei paralelelor din geometria in plan. Daca sunt numai doua cate doua coplanare, presupunem ca  a∥b;b∥c si vom arata ca a∥c (fig.2.9). Consideram planul β, determinat de dreptele b si c, si ducem, printr-un punct A∈c, o dreapta g∥a. Conform teoremei precedente, g⊂β. Fata de dreapta b, dreapta g poate fi paralela sau o poate intalni intr-un punct B. Daca s-ar intalni intr-un punct B, ar rezulta ca prin B se pot duce doua paralele distincte, b si g, la a. S-ar contrazice astfel postulatul lui Euclid. Rezulta deci ca dreapta g coincide cu c si deci tranzitivitatea este demonstrata.

Problema rezolvata. Se dau trei drepte d1, d2 si d3, astfel incat oricare pereche din ele sa fie necoplanara, si nici toate trei sa nu fie paralele cu un acelasi plan. Sa se arate ca exista o dreapta g care se “sprijina” pe d1 si pe d2 si care este paralela cu d3. Sa se arate ca aceasta dreapta este unica.

Existenta. Consideram un punct A pe d1 si ducem prin a dreapta d’3 paralela cu d3. Dreptele d1 si d3 determina un plan α, paralel cu d3 (pentru ca d_3\subset\alpha;\ {d^\prime}_3\parallel d_3), care intersecteaza dreapta d2 in punctul B (fig. 2.10).

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 26
fig. 2 10

Ducem prin punctul B dreapta BC paralela cu d3  (C∈d1); dreapta BC este chiar dreapta g cautata.

Vom da, ca sa puteti spune unde este greseala o falsa demonstratie de unicitate. Desi punctul A este arbitrar ales pe d1, planul α paralel cu d3 este unic. Acest plan este intersectat de dreapta d2intr-un punct B, evident unic. Din postulatul lui Euclid, paralela BC la d3, este evident unica. Deci dreapta g este unica.

Chiar daca este adevarat ca dreapta g este unica, demonstratia de mai sus trebuie s-o consideram totusi eronata. Greseala consta in faptul ca metoda de constructie folosita la demonstrarea existentei nu este singura metoda posibila si astfel, demonstratia unicitatii a devenit dependenta de constructia aleasa.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 27
fig. 2 11

Unicitatea. Consideram ca “sprijinindu-se” pe d1 si d2 exista doua drepte CB si EF, amandoua paralele cu d3 (fig.2.11). Aceste drepte, CB si EF, vor fi deci paralele intre ele, si deci coplanare. Deci si dreapta CE= d1 si dreapta BF= d2 se gasesc in acelasi plan determinat de CB si EF. Aceasta concluzie insa este absurda, pentru ca in ipoteza am precizat ca d1 si d2 nu sunt coplanare.

Aceasta este o demonstratie de unicitate corecta, pentru ca face abstractie de modul cum s-a demonstrat existenta. Ne-am oprit mai mult la comentarea acestei probleme pentru a pune in evidenta un tip de eroare de rationament, destul de des intalnit, dar care trebuie evitat cu multa grija.

Atentie! La o demonstratie de unicitate, evitati sa folositi demonstratia de existenta.

Drepte paralele

Drepte paralele = doua drepte coplanare distincte, care nu au nici un punct comun. In figura de mai jos a∥b.

Matematica Capacitate Drepte paralele 28

Proprietățile dreptelor paralele
  • Daca a∥b si c intersecteaza cele doua drepte, c se numeste secanta.
  • Unghiurile care se formeaza sunt:
  • Alterne interne – perechi de unghiuri interioare dreptelor taiate de secanta si aflate de o parte si de alta a secantei:
  • ∢A3  si ∢B3; ∢A2  si ∢B2  
  • in cazul dreptelor paralele unghiurile alterne interne sunt congruente: ∢A3 ≡ ∢B3; ∢A2 ≡ ∢B2
  • Alterne externe – perechi de unghiuri exterioare dreptelor taiate de secanta si aflate de o parte si de alta a secantei ∢A1  si ∢B1; ∢A4 si ∢B4  
  • in cazul dreptelor paralele unghiurile alterne externe sunt congruente: ∢A1 ≡ ∢B1; ∢A4 ≡ ∢B4
  • Corespondente – perechile de unghiuri aflate unul in interiorul uneia dintre drepte si altul in exteriorul celeilalte, de aceeasi parte a secantei ∢A1 si ∢B3; ∢A3  si ∢B1; ∢A4 si ∢B2; ∢A2 si ∢B4
  • in cazul dreptelor paralele unghiurile corespondente sunt congruente:∢A1 ≡ ∢B3; ∢A3 ≡∢B1; ∢A4 ≡∢B2; ∢A2 ≡∢B4
  • Interne de aceeasi parte a secantei ∢A2 si ∢B3; ∢Asi ∢B2 acestea fiind suplementare m(∢A2) + m(∢B3)=180°; m(∢A3) + m(∢B2)=180°
  • Externe de aceeasi parte a secantei ∢A2 si ∢B3; ∢A3 si ∢B2  aceste fiind suplementare m(∢A1) + m(∢B4)=180°; m(∢A4) + m(∢B1)=180°
  • Teorema: daca doua drepte taiate de o secanta determina o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci fiecare pereche de unghiuri alterne interne, alterne externe si corespondente sunt congrunete iar dreptele sunt paralele.
  • Doua drepte paralele intersectate de alte doua drepte parelele, determina segmente congruente.

Matematica Capacitate Drepte paralele 29