Probleme: Paralelipipedul dreptunghic

1. Un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are dimensiunile AB = 3 cm, BC = 4 cm si AA’ = 12 cm. Sa se calculeze:

  1. Lungimea diagonalei sale.
  2. Distanta de la punctul C la dreapta AC’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 1

{AC^\prime}^2=144+16+9=169 =>AC^\prime=13;

CM\bot DC; MN\bot AC^\prime =>CN\bot AC^\prime;

 C^\prime D=\sqrt{9+144}=3\sqrt{17};

\ AC=5;

CM=\frac{AC\cdot C C^\prime}{\sqrt{{AC}^2+{CC^\prime}^2}}= \frac{60}{\sqrt{15+144}}=\frac{60}{13}

2. Un paralelipiped drept ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un romb cu latura de 8 cm si unghiul A de 120°. Stiind ca muchia laterala a paralelipipedului este de 6 cm, sa se calculeze:

  1. Aria laterala a paralelipipedului;
  2. Lungimea segmentelor A’C si BD’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 2

A=4∙6∙8=192 cm2

AC⊥BD; m(∢ABD)=60°

BD=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AB=8; AC=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot8= 8\sqrt3

A^\prime C=\sqrt{36+192}= \sqrt{228}=2\sqrt{57}; BD^\prime=\sqrt{36+64}=10

3. Un cub are muchia a. Sa se afle distantele de la varfurile sale la o diagonala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 3

AD^\prime=BC^\prime= A^\prime B=CD\prime=a\sqrt2; BD^\prime=a\sqrt3;

AP=C\prime N=A^\prime M= CQ=\frac{AD^\prime\cdot A B}{BD^\prime}= \frac{a^2\sqrt2}{a\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3};

4. Un paralelipiped drept are laturile bazei de 6 cm si 10 cm si unghiul dintre ele de 60°, stiind ca inaltimea paralelipipedului este de 12 cm, sa se afle aria sa totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 4

DM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3;

S=2\cdot12\cdot10+2\cdot12\cdot6+ 2\cdot2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\sqrt3\cdot10= 384+60\sqrt3

5. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub (figura 12.7).

  1. Dintre planele determinate de punctele din figura, sa se indice unul care este perpendicular pe muchia AB.
  2. Sa se indice o dreapta determinata de punctele din figura, perpendiculara pe dreapta AC’.
Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 5
fig. 12 7

Rezolvare:

BC⊥AB; B’B⊥AB => (BB’C’C)⊥AB

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 6

CC’⊥DC; CC’⊥BC => CC’⊥(ABCD) => CC’⊥BD;

BD⊥AC; AC⊂(ACC’) => BD⊥(ACC’) => BD⊥AC’

6. Sa se demonstreze ca intr-un cub ABCDA’B’C’D’ perpendiculara din D pe diagonala AC’ o intersecteaza pe aceasta intr-un punct Q, astfel incat \frac{AQ}{AC\prime}=\frac{1}{3}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 7

AC=DC=a\sqrt2;

AC^\prime=a\sqrt3; DQ=\frac{a\sqrt6}{3};

AQ=\frac{a\sqrt3}{3}=>\frac{AQ}{AC}=\frac{1}{3}

7. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu AB = 9 cm, AD = 15 cm si AA’ = 20 cm. Se cere distanta lui B’ la diagonala AD’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 8

A^\prime D^\prime=\sqrt{400+225}=25;

A^\prime M=\frac{20\cdot15}{25}=12;

B^\prime A^\prime\bot A^\prime M =>BM^\prime=\sqrt{144+81}=15

8. Un paralelipiped ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un patrat. Muchiile laterale formeaza cu planul bazei unghiuri de 30°, iar planele AA’B si DD’C’ sunt perpendiculare pe planul bazei. Cunoscand ca AB = 4 cm si AA’ = 6 cm, sa se calculeze aria totala a paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 9

A^\prime M=\frac{6}{2}=3;

S=2\cdot S_{A\prime A B B\prime}+ 2\cdot S_{B\prime B C C\prime}\cdot2\cdot S_{ABCD}=

2\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot6\cdot4+2\cdot4\cdot4=104\ {cm}^2

 

9. Fie ABCA’B’C’ o prisma dreapta, cu baza ABC un triunghi dreptunghic in A, cu AB = 15 cm, AC = 20 cm si AA’ = 30 cm. Fie M mijlocul lui CC’. Sa se determine forma si perimetrul sectiunii prismei cu planul determinat de punctele A’, M, B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 10

BC=\sqrt{400+225}=25; BM=\sqrt{225+625}=5\sqrt{34};

BA^\prime=\sqrt{900+225}=15\sqrt5; A^\prime M=\sqrt{400+225}=25;

P=\ 5\sqrt{34}+15\sqrt5+25

Un triunghi.

10. Intr-un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’, cu baza ABCD un patrat, inaltimea este de 3 cm, iar dreptunghiul ABB’A’ are aria de 21 cm2. Sa se afle dimensiunile paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 11

AB=\frac{21}{3}=7,\ AA^\prime=3

11. Se da un paralelipiped drept cu baza un romb, in care se cunosc: inaltimea h, latura a a rombului, precum si un unghi ascutit θ, al rombului. Sa se calculeze, in functie de a, h, θ, diagonalele paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 12

AO=\cos{\frac{\theta}{2}}\cdot a =>AC=2a\cos{\frac{\theta}{2}}; OB=\sin{\frac{\theta}{2}}\cdot a=>DB=2a\sin{\frac{\theta}{2}}; AC^\prime=\sqrt{h^2+4a^2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}; BD^\prime=\sqrt{h^2+4a^2\sin^2{\frac{\theta}{2}}}

12. Sa se determine, in cuburile din figura 8, sectiunile determinate de planele ce trec prin punctele M, N, P.

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 13
fig. 12 8

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 14

13. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile proportionale cu numerele 2, 3,5. Stiind ca diagonala paralelipipedului este de 2\sqrt{38} cm, sa se afle dimensiunile paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 15

a^2+b^2+c^2=152;  \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k; 4k^2+9k^2+25k^2=38k^2=152 =>k^2=4=> k=2;a=4;b=12;c=10

14. Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel ABC, (AB≡AC;AB=a), ducem perpendiculara AA’ = a. Din A’ ducem un segment A^\prime D=a\sqrt2, perpendicular pe AA’. Daca BD este perpendiculara pe AB si daca D este de aceeasi parte a planului AA’B ca si C, atunci triunghiul DBC este echilateral.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 16

DA\bot AA^\prime =>AD=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3;

BD\bot AB =>BD=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt2\ (1);

BC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\ (2);

Ducem in planul  (ABC), AN∥A’D, AN=A’D=>AA’DNdeptunghi;

DN⊥CN; DN∥AA’; AA’⊥AB=>

CN∥AB => ⊿ANC≡⊿CBA => CN=a;

CD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\ (3)

Din  si  => ⊿CDB este echilateral.

Paralelipipedul dreptunghic

Diagonala paralelipipedului dreptunghic este segmentul de dreapta care uneste doua varfuri, care nu sunt pe aceeasi fata (de exemplu A’D din figura 12.1) Intr-un paralelipiped exista patru diagonale. Presupunem, in aceasta figura, ca dimensiunile paralelipipedului sunt a, b, c, si diagonala A’D = d. Sa demonstram ca:

\mathbit{d}^\mathbf{2}=\mathbit{a}^\mathbf{2}+\mathbit{b}^\mathbf{2}+\mathbit{c}^\mathbf{2}

formula utila pentru calculul diagonalei si care este teorema lui Pitagora in spatiu (fig. 12.1).

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 17
fig. 12 1

In triunghiul dreptunghic ABD (∢B=90°): x^2=a^2+b^2,\ \left(x=AD\right).

In triunghiul dreptunghic AA’D (∢A’AD=90°): d^2=c^2+x^2=c^2+a^2+b^2 , si relatia este demonstrata.

Problema rezolvata. Se da cubul din figura 12.2 cu notatiile ei, unde: M∈DD’, N∈C’C, P∈AB.Sa se deseneze sectiunea determinata de MNP in cub.

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 18
fig. 12 2

Unim M cu N (fiind pe aceeasi fata), prelungim dreapta lor pana intersecteaza pe DC in Q, care apartine deci planului (C’CD). Unim Q cu P. Notam R}=CB∩PQ. Am obtinut segmentul NR al sectiunii. Ducem, pe fata AA’D’D, MS∥NR, (S∈A’A). Unim S cu P. Suprafata cautata este PRNMS.

Dupa cum ii alegem baza, suntem obisnuiti, la un paralelipiped dreptunghic, sa numim muchiile de marimi diferite: lungime, latime si inaltime; lungimea si latimea sunt laturile bazei, in aceasta ordine (lungimea este mai mare decat latimea). Numim uneori lungimea, latimea si inaltimea, “cele trei dimensiuni ale paralelipipedului”. Daca le notam cu a, b, c, aria totala a paralelipipedului va fi: \mathbf{A}_\mathbf{t}=\mathbf{2}\cdot\left(\mathbf{ab}+\mathbf{bc}+\mathbf{ca}\right) (fig.12.3) a = lungime, b = latime, c = inaltime.

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 19
fig. 12 3
Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 20
fig. 12 4

Un caz particular de paralelipiped dreptunghic este cubul, care are toate muchiile congruente, deci toate fetele sunt patrate. Notand lungimea muchiei lui cu a, aria sa totala va fi {\color{Blue} \mathbf{6}\mathbf{a}^\mathbf{2} } (fig.12.4).

Desfasurarea paralelipipedului dreptunghic.

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 21
fig. 12 5

Numim prisma concava, o prisma cu poligoanele de baza concave[1]; constatam ca exista si prisme concave nedesfasurabile (fig. 12.6).

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 22
fig. 12 6

[1] In general, o multime de puncte o numim convexa, daca unind cu cate un segment oricare doua puncte ale ei, interiorul acestuia este continut, in intregime, de aceasta multime. Se arata ca in cadrul poligoanelor plane acest fapt revine la a spune ca poligonul se gaseste in intregime de aceeasi parte a dreptei-suport a oricarei laturi.