Probleme: Dreapta, plan, paralelism

1. Doua dreptunghiuri ABCD si MNCD au o latura comuna CD si sunt situate in plane diferite. Demonstrati ca AB si MN sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 1

MN∥DC;DC∥AB=>MN∥AB deoarece in spatiu doua drepte paralele cu o a treia, sunt paralele intre ele.

2. Trapezul ABCD are latura neparalela CD situata in planul , ca in figura 2.12. (A si B nu se afla in planul . Daca AB = 5 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, calculati DE, E fiind punctul unde AB intersescteaza planul .

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 2
fig 2 12

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 3

In planul trapezului ABCD, consideram triunghiul AED.

\left(AD-BC\right)^2=25-16=9=> AD-BC=3=>AD=6;

BC\parallel AD; \frac{BC}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}  =>BC este linie mijlocie in triunghiul AED => DE=8

3. Daca dreptele a∥b∥c, rezulta ca toate sunt coplanare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 4

Nu, doua drepte paralele determina un plan, dar a treia poate sa apartina unui alt plan, si in acest caz ele se vor afla la intersectia a 3 plane.

4. Se dau doua plane α si β si doua drepte a⊂α , b⊂β. Daca a∥α ; b∥β si a nu este paralela cu b, sa se demonstreze ca planele α si β sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 5

Presupunem ca α∦β=> α∩β={c}, => a∥c; b∥c=>a∥b ceea ce contrazice ipoteza.

5. Fiind date patru puncte necoplanare, dupa cate drepte se intersecteaza planele determinate de cate trei din aceste puncte?

Rezolvare:

(ABC)∩(ABD)=d1; (ABC)∩(ABD)=d2;(ABC)∩(ACD)=d3;

(ABC)∩(BCD)=d4;(ABD)∩(ACD)=d5;

(ABD)∩(BCD)=d6; (ACD)∩(BCD)=d7.

6. Dandu-se doua plane paralele, aratati ca orice dreapta din primul plan este paralela cu al doilea.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 6

Presupunem ca a∩β={B}, =>B∈β; B∈ a, a⊂α=>B∈α deci α∦β, ceea ce inseamna ca presupunerea este falsa.

7. Formulati o reciproca a propozitiei din problema 6 si verificati daca aceasta este sau nu adevarata.

Rezolvare:

“Dandu-se doua plane, daca orice dreapta din primul plan este paralela cu al doilea inseamna ca cele doua plane sunt paralele.”

Presupunem ca cele doua plane nu sunt paralele, ceea ce inseamna ca exista o dreapta continuta de ambele plane care nu este paralela cu cel de-al doilea, deci presupunerea este falsa.

8. Este oare suficient ca doua plane sa fie paralele cu aceeasi dreapta, ca sa fie paralele intre ele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 7

α∩β={b};a∥b=>a∥α;a∥β, deci nu este o conditie suficienta.

9. Dandu-se doua plane paralele, orice dreapta din primul plan este paralela cu orice dreapta din al doilea?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 8

Consideram α∥β;a∈α;A∈β. Prin A putem duce nenumarate drepte continute de planul , insa o singura paralela la dreapta a.

10. Un triunghi ABC are latura BC continuta in planul , iar M∈ABsi N∈ Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul α daca:

  1. AM=5 cm, AN=10 cm, MB=3 cm, NC=6 cm;
  2. AM=1 cm, AN=3 cm, MB=1 cm, NC=5 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 9

a.\ \frac{AM}{MB}=\frac{5}{3}; \frac{AN}{NC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} =>MN\parallel BC=> MN\parallel\alpha;

b.\ \frac{AM}{MB}= \frac{1}{1};\frac{AN}{NC}=\frac{3}{5}=>

MNse intersecteaza cu BC => MN intersecteaza planul α

11. Daca un plan este paralel cu doua laturi ale unui triunghi, demonstrati ca este paralel cu a treia latura a triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 10

AB∥β;AC∥β, dar AB si BC determina planul α => α∥β;BC⊂α=>BC∥β.

12. Un trapez ABCD (AB∥CD) are latura AB continuta intr-un plan . Un plan ce contine dreapta CD intersecteaza planul dupa o dreapta g. Stabiliti pozitia dreptelor AB si g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Dreapta, plan, paralelism 11

DC∥AB;DC∥α;g⊂α;=>DC∥g;=>g∥AB