Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare.

1. Demonstrati ca doua triunghiuri echilaterale sunt asemenea.

Rezolvare:

Fie ⊿ABC si ⊿MNP echilaterale.

  • m(∢A)=m(∢M)=60°;
  • m(∢B)=m(∢N)=60°;
  • m(∢C)=m(∢P)=60°

=>⊿ABC  ~⊿MNP (cazul U.U.U)

2. Doua triunghiuri dreptunghice isoscele sunt asemenea.

Rezolvare:

Fie ⊿ABC si ⊿MNP dreptunghice isoscele.

  • m(∢A)=m(∢M)=90°;
  • m(∢B)=m(∢N)=\inline \fn_jvn \large \frac{90^{\circ}}{2}=45°
  • m(∢C)=m(∢P)=\inline \fn_jvn \large \frac{90^{\circ}}{2}=45°

=> ⊿ABC ~ ⊿MNP (cazul U.U.U)

3. Daca ∆ABC∼∆A’B’C’ si daca D si D’ sunt intersectiile lui BC respectiv B’C’ cu bisectoarele unghiurilor din A respectiv A’ atunci ∆ABD∼∆A’B’D’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 1

∆ABC∼∆A’B’C’=>∢B≡∢B’ (1);∢C≡∢C^’;∢A≡∢A’=>
m(∢BAD)=m(∢B’A’D’)=\inline \fn_jvn \large \frac{m(\sphericalangle A)}{2} (2)
Din (1) si (2) => ∆ABD∼∆A’B’D’ avand unghiurile congruente.

4. Aceeasi problema ca la 3 pentru mediane in loc de bisectoare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 2

∆ABC∼∆A’B’C’=>∢B≡∢B’ (1); \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{A^\prime B^\prime}=\frac{BC}{B^\prime C^\prime}=k;
\inline \fn_jvn \large AB=k\cdot A^\prime B^\prime=>\frac{AB}{2}=k\cdot\frac{A^\prime B^\prime}{2}=>\frac{BM}{B^\prime M^\prime}=k=>
\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{A^\prime B^\prime}=\frac{BM}{B^\prime M^\prime}(2)

Din (1) si (2) => ∆ABM∼∆A’B’M'(cazul L.U.L)

5. Aceeasi problema pentru inaltimi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 3

∆ABC∼∆A’B’C’=>∢B≡∢B’ (1);

m(∢AIB)=m(∢A’I’B’)=90°(2)

Din (1) si (2) => ∆ABI∼∆A’B’I’ avand unghiurile congruente.

6. Raportul razelor cercurilor inscrise in doua triunghiuri asemenea este egal cu raportul “din definitia asemanarii”.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 4

Ipoteza:

  • ∆ABC∼∆MNP; \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{AC}{MP}=k
  • ∢BAA’≡∢A’AC; I fiind centrul cercului inscris in ∆ABC de raza R
  • ∢NMM’≡∢M’ MP; I’ fiind centrul cercului inscris in ∆MNP de raza r

Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{R}{r}=k

Aplicam teorema bisectoarei in ∆ABC: \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{AC}=\frac{A^\prime B}{A^\prime C}
Aplicam teorema bisectoarei in ∆MNP: \inline \fn_jvn \large \frac{MN}{MP}=\frac{M\prime N}{M\prime P}
Din ipoteza: \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=k=>\frac{AB}{BC}=\frac{MN}{NP} =>
\inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B}{A^\prime C}=\frac{M\prime N}{M\prime P}=>\frac{A^\prime B}{M^\prime N}=\frac{A^\prime C}{M^\prime P}
∆BAA’∼∆NMM’ (∢B≡∢N;∢BAA’≡∢NMM’) deci si ∢AA’B≡∢MM’N=>
\inline \fn_jvn \large \frac{BA^\prime}{NM^\prime}=\frac{AB}{MN}=k
∆IBA’∼∆I’NM’ (∢AA’B≡∢MM’N, ∢IBA’≡∢INM’ )=>
\inline \fn_jvn \large \frac{BA^\prime}{NM^\prime}=\frac{A^\prime I}{M^\prime I^\prime}=\frac{R}{r}=k

7. Aceeasi problema pentru razele cercurilor circumscrise.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 4

Ipoteza:

  • ∆ABC∼∆MNP; \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{AC}{MP}=k
  • OA’⊥BC; BA’=A’C; OB’⊥AC; B’A=B’C; OC’⊥AB; C’A=C’B;
  • O’M’⊥NP; M’N=M’P; O’N’⊥MP; PN’=N’M; O’P’⊥MN; P’M=P’N

Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{OC}{O^\prime P}=k

\inline \fn_jvn \large m(\sphericalangle BOC)=m(\widehat{BC})\ =2\cdot m(\sphericalangle BAC)

\inline \fn_jvn \large m(\sphericalangle NO'P)=m(\widehat{NP})=2\cdot m(\sphericalangle NMP)

∆ABC∼∆MNP=>m(∢BAC)=m(∢NMP)=> ∢BOC≡∢NO’P (1)

∆BOC este isoscel, BO = OC = raza cercului circumscris ∆ABC =>∢OBC≡∢OCB (2)

∆NO’P este isoscel, NO = OP = raza cercului circumscris ∆MNP =>∢O’NP≡∢O’PN (3)

Din (1), (2) si (3) => ∆BOC ∼∆NO’P avand unghiurile congruente.

\inline \fn_jvn \large => \frac{OC}{O^\prime P}=\frac{BC}{NP}=k

8. Enuntati si demonstrati o teorema ce ar trebui sa poarte numele de “cazul 2 de asemanare a triunghiurilor dreptunghice”.

Rezolvare:

“Doua triunghiuri dreptunghice care au un unghi ascutit congruent sunt asemenea.”

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 6

Fie ⊿ABC dreptunghic cu m(∢A)=90°. Ducem printr-un punct M de pe dreapta AB o paralela la AC. Unghiul B este comun, m(∢A)=m(∢BMN)=90° (unghiuri corespondente). Conform teoremei fundamentale a asemanarii ∆ABC∼∆BMN. De asemenea, daca unul din unghiurile ascutite este congruent cu un unghi al celuilalt triunghi, si celelalte sunt congruente, fiind complementare.

9. Intr-un triunghi, produsul dintre o latura a sa si inaltimea corespunzatoare ei este acelasi pentru toate cele trei laturi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 7

In ⊿ABC,AM⊥BC,BN⊥AC,CP⊥AB. Se cere sa demonstram ca AM∙BC=BN∙AC=CP∙AB.

⊿MAC∼⊿NBC(dreptunghice si ∢ACB este comun) =>

\inline \fn_jvn \large \frac{AM}{BN}=\frac{AC}{BC}; AM∙BC=BN∙AC (1)

⊿NBA∼⊿PCA(dreptunghice si ∢BAC este comun) =>

\inline \fn_jvn \large \frac{BN}{CP}=\frac{AB}{AC}; BN∙AC=CP∙AB (2)

Din (1) si (2) => AM∙BC=BN∙AC=CP∙AB        

10. Intr-un triunghi dreptunghic ABC se duce inaltimea AD corespunzatoare ipotenuzei. Sa se demonstreze ca AB2 = BD ∙ BC si ca AD2 = BD ∙ DC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 8

⊿ABD∼⊿CBA (dreptunghice, ∢B comun si celelalte, ∢BAD≡∢DCA congruente fiind complementare cu ) =>

\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}=>{AB}^2=BC\cdot BD

⊿ABD∼⊿CAD (dreptunghice, ∢BAD≡∢DCA conforma argumentatiei anterioare, iar congruente fiind complementare cu unghiuri congruente) =>

\inline \fn_jvn \large \frac{AD}{DC}=\frac{BD}{AD}=>{AD}^2=DC\cdot BD

11. Se considera un segment AB si un punct M in interiorul sau. Se construiesc, de aceeasi parte a dreptei AB, patratele AMNP si BMDC. Sa se demonstreze ca este acelasi, oricare ar fi pozitia lui M in interiorul segmentului AB.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 9

In ⊿PMC,m(∢PMC)=45°+45°=90°(AM,MC-diagonale∈patrate)

\inline \fn_jvn \large PM=L\sqrt2;MC=l\sqrt2=>\frac{PM}{MC}=\frac{NM}{MB};\ \frac{PM}{NM}=\frac{MC}{MB}

=>⊿PMC∼⊿NBM (avand doua laturi proportionale si unghiurile cuprinse intre ele congruente.)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{PM}{NM}=\frac{MC}{MB}=\frac{PC}{NB}=\frac{L\sqrt2}{L}=\sqrt2

12. Sa se construiasca un patrat care sa aiba doua varfuri alaturate pe latura BC a unui triunghi, iar celelalte doua varfuri pe cate una din celelalte doua laturi ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 10

Presupunem problem rezolvata si incercam sa stabilim relatii in functie de laturile triunghiului ABC.

PN∥AB=⊿PCN∼⊿ACB=>

\inline \fn_jvn \large \frac{PC}{AC}=\frac{NC}{BC}=\frac{NP}{AB}=\frac{L}{AB}(1) unde L este latura patratului.

\inline \fn_jvn \large =>\frac{PC}{AC}=\frac{L}{AB};\frac{AC-AP}{AC}=\frac{L}{AB}=1-\frac{AP}{AC}=\frac{L}{AB}

Ducem CT⊥AB (fie CT = H) si obtinem

⊿AQP∼⊿ATC;⊿NBM∼⊿CBT=>

\inline \fn_jvn \large \frac{AP}{AC}=\frac{L}{H}=\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{AB}=1-\frac{L}{AB}=\frac{L}{H};\frac{L}{H}+\frac{L}{AB}=1

\inline \fn_jvn \large L\cdot(AB+H)=AB\cdot H=L=\frac{AB\cdot H}{AB+H}

Inlocuind in relatia (1) putem afla pozitiile varfurilor patratului de pe triunghi.

13. In figura 1.25 ABCD si AMNP sunt patrate, E este mijlocul lui BC si Q este mijlocul lui MN.

  1. Aratati ca PD≡MB.
  2. Aratati ca \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{PQ}=\frac{AB}{AM}.
  3. Aratati ca ∆MST∼∆PSA.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 11

  1. m(∢MAB)=90°+m(∢DAM)=m(∢DAP)

AP≡AM;AB≡AD=>⊿PAD≡⊿MAB (cazul L.U.L)

=>PD≡MB

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 12

b. \inline \fn_jvn \large \frac{PN}{NQ}=2=\frac{AB}{BE} (laturile unui patrat sunt congruente, iar NQ si BE sunt jumatati ale laturilor) => \inline \fn_jvn \large \frac{PN}{AB}=\frac{NQ}{BE} m(∢PNQ)=m(∢ABE)=90°=>⊿PNQ∼⊿ABE (au un unghi congruent, iar laturile care il formeaza sunt proportionale) => \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{PQ}=\frac{AB}{AM}.

c. Din a => ⊿PAD≡⊿MAB=>∢DPA≡∢BMA;

∢PSA≡∢MST opuse la varf =>∆MST∼∆PSA avand unghiurile congruente.

14. In figura 1.26 ABC si CDE sunt triunghiuri echilaterale. Sa se demonstreze ca:

  1. BE≡ AD.
  2. ∆AGF∼∆BCF.
  3. ∆EGN∼∆DCN.

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 13

Rezolvare:

  1. m(∢BCE)=m(∢DCA)=m(∢ECA)+60°

AC≡BC;CD≡EC=>⊿ACD≡⊿BCE (cazul L.U.L)

=>BE≡AD

  1. Din a =>⊿ACD≡⊿BCE=>∢FAG≡∢FBC;∢BFC≡∢GFA (opuse la varf) => avand unghiurile congruente ∆AGF∼∆BCF
  2. Din a =>⊿ACD≡⊿BCE=∢GEN≡∢NDC;∢ENG≡∢DNC (opuse la varf) => avand unghiurile congruente ∆EGN∼∆DCN.

15. Din mijlocul D al laturii BC a unui triunghi ABC ducem perpendiculare pe AB, AC; fie P respectiv Q picioarele acestor perpendiculare. Sa se demonstreze ca \inline \fn_jvn \large \frac{DP}{DQ}=\frac{AC}{AB}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 14

Fie AM⊥AC; CN⊥AB.

BD=DC;PD∥CN=PD linie mijlocie in ⊿NBC=> \inline \fn_jvn \large PD=\frac{NC}{2}

BD=DC;DQ∥BM=DQ linie mijlocie in ⊿MCB=> \inline \fn_jvn \large DQ=\frac{MB}{2}

\inline \fn_jvn \large A_{\bigtriangleup ABC}=\frac{BM\cdot AC}{2}=\frac{NC\cdot AB}{2}=>BM\cdot AC=NC\cdot AB=>\frac{NC}{BM}=\frac{AC}{AB}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{2\cdot P D}{2\cdot D Q}=\frac{AC}{AB}=\frac{PD}{PQ}=\frac{AC}{AB}

16. Triunghiurile ABC si MNP au m(∢A) = m(∢M) = 90°,m(∢B) = 37°,m(∢P) = 53°. Sa se demonstreze ca sunt asemenea.

Rezolvare:

m(∢C)=90°-37°=53°=m(∢P)

m(∢N)=90°-53°=37°=m(∢B)

=>⊿ABC∼⊿MNP avand toate unghiurile congruente.

17. Se stie ca ∆ABC∼∆DEF, AB = 9 cm, BC = 5 cm, AC = 10 cm, DE = 99 Sa se calculeze EF si DF.

Rezolvare:

∆ABC∼∆DEF=> \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{9}{99}=\frac{5}{EF}=\frac{10}{DF}=>

\inline \fn_jvn \large \frac{5}{EF}=\frac{10}{DF}=\frac{1}{11} => 

EF=55; DF=110

Aplicatie practica. Determinati, prin masuratori distanta dintre cele doua obiecte din figura 1.27 considerand ca portiunea gri reprezinta un obstacol.

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 15

Ar fi dificil sa o masuram direct, din cauza obstacolului. Procedem astfel: alegem un punct M pe care il marcam. Masuram distantele CM si MP si gasim, de exemplu, CM = 250 m si MP = 150 m. Masuram si unghiul CMP si gasim, de exemplu, m(∢CMP)=60°.

Desenam apoi pe hartie un triunghi C’M’P’ asemenea cu CMP astfel: luam un unghi xM’y de , alegem un puncy C’ pe M’x oarecare, de exemplu astfel incat M’C’ = 5 cm (un astfel de punct incape pe hartie, ceea ce nu s-ar fi intamplat daca incercam sa desenam un triunghi congruent cu ∆CMP) si apoi alegem un punct P’ pe M’y astfel incat \inline \fn_jvn \large \frac{M^\prime P^\prime}{MP}=\frac{M^\prime C^\prime}{MC}, deci \inline \fn_jvn \large \frac{M^\prime P^\prime}{150}=\frac{5}{250} adica M’P’= 3 cm.

Masuram distanta C’P’ si gasim aproximativ 4,4 cm.

Matematica Capacitate Probleme triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 16

Triunghiul C’MP’ este asemenea cu triunghiul CMP, conform cazului 1 de asemanare. Rezulta ca \inline \fn_jvn \large \frac{CP}{C^\prime P^\prime}=\frac{MC}{M^\prime C^\prime}, deci \inline \fn_jvn \large \frac{CP}{4,4}=\frac{250}{5} de unde deducem ca distanta CP dintre cele doua obiecte este de aproximativ 220m.