Aria si volumul trunchiului de con circular drept

Prin analogie cu trunchiul de piramida, la fel ca mai sus, pentru con si cilindru, deducem:

Volumul unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right),}

Unde h este inaltimea sa, R si r razele bazelor.

Aria laterala a unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} A_l=\pi\left(R+r\right)G,}

Unde G este generatoarea, iar R si r razele bazelor sale.

Putem deduce aceste formule si din formulele corespunzatoare pentru con, astfel:

Fiind dat trunchiul de con circular drept (fig.19.6) figuram panza conica din care provine (fig.19.7) si determinam elementele x si g, din relatiile:

\frac{x}{x+h}=\frac{r}{R}=\frac{g}{g+G}

De unde: xR=r\left(x+h\right), deci x=\frac{rh}{R-r} si, analog, g=\frac{Gr}{R-r}.

Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 1
Fig. 19 6
Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 2
Fig. 19 7

Volumul trunchiului de con este diferenta volumelor celor doua conuri:

V=\frac{\pi\left(x+h\right)}{3}R^2-\frac{\pi x}{3}r^2; x+h=\frac{Rh}{R-r};

Deci:

V=\frac{\pi}{3}h\left(\frac{R^3}{R-r}-\frac{r^3}{R-r}\right)= \frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)

(se imparte R^3-r^3 la R – r ca polinoame in R in r).

Analog,

A_l=\pi R\left(G+g\right)-\pi rg;

G+g=\frac{GR}{R-r};

Deci:

A_l=\pi G\left(\frac{R^2}{R-r}-\frac{r^2}{R-r}\right)= \pi G\left(R+r\right).