Pozitiile relative a trei plane

Stim in ce pozitii relative se pot afla doua plane. Sa vedem in ce situatii relative se pot afla trei plane, diferite doua cate doua.

Exista trei plane care au o dreapta comuna si numai una (fig. 3.1.).

Spre exemplu, un dosar cu o fila.

Matematica Capacitate Pozitiile relative a trei plane 1
fig. 3 1

Intr-adevar, consideram dreapta d si un plan δ care intersecteaza dreapta d in punctul P. Prin P ducem, in planul δ, trei drepte a, b, c, distincte. Dreptele a si d determina planul α, b si d planul β, c si d planul γ. Aceste plane sunt distincte: daca ar fi confundate, ar coincide cu δ, dar dreapta lor comuna d nu este continuta in δ.

Exista trei plane care au un punct comun si numai unul.

Intr-adevar, in planul α desenam dreptele b si c, care trec prin punctul P. Fie A un punct exterior planului α (fig.3.2). Notam dreapta AP cu a si planele determinate de a, b cu γ si a, c cu β. Planele α, β, γ au toate trei un punct comun si numai unul (P). Daca ar mai avea unul, s-ar ajunge la concluzia ca a, b c coincid, ceea ce este imposibil pentru ca A nu este continut in planul α.

Matematica Capacitate Pozitiile relative a trei plane 2
fig. 3 2

Mai departe vom vedea ca exista si trei plane care nu au, doua cate doua, nici un punct comun (trei plane paralele). Pentru aceasta va trebui sa demonstram cateva teoreme ajutatoare.

Teorema. Printr-un punct (A), exterior unui plan (α), trece un singur plan paralel cu el.

Existenta. Prin punctul dat se duc doua drepte distincte paralele cu planul, iar planul determinat de aceste drepte este cel cautat.

Unicitatea. Sa presupunem ca prin A trec doua plane distincte (β si γ) paralele cu α (fig.3.3). Ele, avand un punct comun (A), au o dreapta comuna. Fie d aceasta dreapta (d∥α). In planul α, consideram doua puncte, B si C, astfel incat dreapta lor sa nu fie paralela cu d (alegerea acestor puncte este simpla: ducem prin B o dreapta d’∥d si punctul C il luam nesituat pe d’). Punctele A, B, C determina un plan δ care intersecteaza planele β si γ dupa dreptele c si b. (c∥BC;b∥BC). Exista doua posibilitati: dreptele c si b sau sa fie in prelungire, sau diferite. Daca ar fi in prelungire, atunci ar apartine ambelor plane (β si γ) si deci s-ar confunda cu d, ceea ce este imposibil intrucat, prin constructie, d nu este paralela cu BC. Daca b si c ar fi diferite, ele trebuind sa fie paralele cu BC, s-ar contrazice cu postulatul lui Euclid. Unicitatea este deci demonstrata.

Matematica Capacitate Pozitiile relative a trei plane 3
fig. 3 3

Teorema. Doua plane (distincte), paralele cu un al treilea plan (distinct de ele), sunt paralele intre ele.

Fie α∥β si β∥γ. Daca α si γ n-ar fi paralele, ar insemna ca au cel putin un punct B comun. Dar prin B trece un singur plan paralel cu β, ar insemna ca α si γ nu ar fi distincte. Deci s-ar contrazice cu presupunerea ca α si γ sunt distincte. Aceasta teorema ne demonstreaza implicit ca exista a trei plane paralele (care nu au doua cate doua nici un punct comun). Dar sa construim efectiv trei plane distincte paralele intre ele.

Matematica Capacitate Pozitiile relative a trei plane 4
fig. 3 4

Iata cum: pe dreapta d consideram punctele distincte A, B si C (fig. 3.4). Ducem prin ele respectiv dreptele a∥b∥c si a’∥b’∥c’ (a si a’ diferite). Planele α, β, γ determinate de a, a’, de b, b’ si de c, c’ sunt paralele si distincte. Mai dam urmatoarea teorema utila in demonstratii:

Teorema. Daca doua plane sunt paralele, orice plan care intersecteaza pe primul, il intersecteaza si pe al doilea, iar dreptele de intersectie sunt paralele.

Matematica Capacitate Pozitiile relative a trei plane 5
fig. 3 5

Demonstratie. Cu notatiile din figura 3.5, presupnem ca α∥ β si ca γ intersecteaza pe  dupa dreapta a. Daca  nu ar intersecta si pe , ar insemna ca printr-un punct A∈a, s-ar putea duce doua plane (α si γ) paralele la β, ceea ce este absurd. Deci γ∩β=b. Mai departe, dreptele a si b sunt coplanare. Daca nu ar fi paralele, ar insemna ca ar avea un punct comun C. Dar C, apartinand dreptelor a si b, ar apartine si planelor α si in β, in care aceste drepte sunt respectiv continute. Ar insemna ca α si β nu ar fi paralele. Ceea ce este absurd!

Teorema. Daca trei plane α, β, γ nu au toate trei nici un punct comun si se intersecteaza doua cate doua, atunci cele trei drepte de intersectie sunt paralele.

Inainte de a face insa demonstratia, ar trebui sa ne asiguram ca astfel de plane exista; acest fapt rezulta din teorema anterioara.

Matematica Capacitate Pozitiile relative a trei plane 6
fig. 3 6

Demonstratie. Cu notatiile din figura 3.6, daca de exemplu a si b nu ar fi paralele, ar trebui sa se intalneasca intr-un punct C, care ar apartine deci tuturor celor trei plane α, β si γ, ceea ce contrazice ipoteza.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.