Cercul

Cercul = Cercul cu centrul in O si de raza r este multimea tuturor punctelor din plan situate la distanta r fata de O. Se noteaza C(O,r).

Matematica Capacitate Cercul 1

Definitii ale elementelor cercului
  • Distanta care uneste centrul cercului cu circumferinta se numeste raza cercului, r. ([OA])
  • Daca M si N sunt doua puncte ale unui cerc, segmentul [MN] se numeste coarda.
  • O coarda ce contine centrul cercului se numeste diametru. ([AB])
  • Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.
  • Daca doua cercuri au acelasi centru si aceeasi raza, coincid.
  • Cercurile care au acelasi centru se numesc cercuri concentrice.
  • Fiind dat cercul C(O,r), multimea punctelor M din plan pentru care OM < r se numeste interiorul cercului si se noteaza: IntC(O,r).
  • Multimea punctelor N din plan pentru care ON > r, se numeste exteriorul cercului si se noteaza: ExtC(O,r).
  • Se numeste disc de centru O si raza r, r >0, multimea C(O,r)IntC(O,r) si se noteaza D(O,r).
Propozitii
  • Fiind date doua puncte distincte A si B, exista o infinitate de cercuri ce contin punctele A si B .
  • Oricare trei puncte distincte ale unui cerc sunt necoliniare.
  • Un unghi care are varful in centrul cercului se numeste unghi la centru. (ex. ∢AOC) si are ca marime masura arcului cuprins intre laturi.
  • Multimea punctelor de pe cerc situate in interiorul unghiului ∢AOC reunite cu A si C se numeste arc mic si se noteaza \inline \fn_jvn \large (\widehat{AC}) .
  • Multimea punctelor de pe cerc situate in exteriorul unghiului ∢AOC, reunite cu A si C se numeste arc mare si noteaza \inline \fn_jvn \large (\widehat{AMC}) , unde M∉Int ∢AOC .
  • Punctele A si C se numesc capetele arcelor.
  • Daca A si B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc semicercuri.
  • Masura arcului mic este egala cu m(∢AOC) ; masura arcului mare este egala cu 360°-m(∢AOC) ; masura unui semicerc este 180°.
  • Teorema 1: La arce congruente corespund coarde congruente (in acelasi cerc sau in cercuri congruente). Reciproca: La coarde congruente corespund arce mici congruente (in acelasi cerc sau in cercuri congruente).

Matematica Capacitate Cercul 2

Teorema 2: Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc, atunci diametrul perpendicular pe coarda AB imparte coarda si arcele in doua parti congruente.
Teorema 3: Daca doua coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distantele de la centru la coarde sunt egale.
Teorema 4: Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc si punctul M apartine arcului determinat de ele, atunci masura arcului \inline \fn_jvn \large \widehat{AB} este egala cu masura arcului \inline \fn_jvn \large \widehat{AM} plus masura arcului \fn_jvn \large \widehat{MC}.

Matematica Capacitate Cercul 3

Teorema 5: Daca [AB] si [CD] sunt doua coarde paralele ale unui cerc, iar punctele A si C sunt situate de aceeasi parte a diametrului perpendicular pe coarde atunci: arcele mici \inline \fn_jvn \large \widehat{AC} si \inline \fn_jvn \large \widehat{BD} sunt congruente; coardele AC si BD sunt congruente.

Cercuri si alte figuri geometrice

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un cerc

Matematica Capacitate Cercul 4

  • Dreapta secanta fata de un cerc este dreapta care are doua puncte comune cu cercul: A si B.
  • Dreapta tangenta la cerc este dreapta care are un singur punct comun cu cercul: C. Dreapta tangenta la cerc este perpendiculara pe raza in punctul de intersectie al ei cu cercul. Raza trasata in punctul de tagenta este perpendiculara pe tangenta.
  • Dreapta exterioara cercului este dreapta care nu are puncte comune cu cercul.

Unghi inscris in cerc

Matematica Capacitate Cercul 5

  • Unghiul ∢ABC se numeste unghi inscris in cercul C(O, r) daca A, B, C ∈ C(O, r).
  • Unghiurile ∢ABC, ∢MNP, ∢STU sunt unghiuri inscrise in cerc, iar arcele mici \inline \fn_jvn \large \widehat{AC}, \widehat{MP} si \inline \fn_jvn \large \widehat{SU} sunt arce cuprinse intre laturile unghiurilor inscrise.
  • Spunem ca triunghiul ∆ABC este inscris in cerc daca varfurile sale apartin cercului.
  • Teorema 1: Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale.
  • Teorema 2: Masura unui unghi cu varful pe cerc, avand una din laturi secanta, iar cealalta latura tangenta cercului (fig.1), este jumatate din masura arcului de cerc inclus in interiorul unghiului.

Matematica Capacitate Cercul 6

  • Unghiul cu varful in interiorul cercului (fig.2), ∢NMP, (care este congruent cu ∢SMT fiind unghiuri opuse la varf) are ca masura jumatate din suma masurilor arcelor cuprinse intre laturile sale.  m(∢NMP)= \inline \fn_jvn \large \frac{\widehat{NP}+\widehat{TS}}{2} 
  • Unghiul cu varful in exteriorul cercului (fig.3), ∢EGI, are ca masura jumatate din diferenta arcelor cuprinse intre laturile sale. m(∢EGI)= \inline \fn_jvn \large \frac{\widehat{EI}-\widehat{FH}}{2} 

Pozitiile relative a doua cercuri

Cercurile exterioare sunt cercurile care nu au nici un punct comun si sunt exterioare. Distanta dintre centrele lor este mai mare decat suma razelor lor. d > r1 + r2

Matematica Capacitate Cercul 7

Cercurile interioare nu au nici un punct comun si sunt interioare. Distanta intre centrele lor este mai mica decat diferenta razelor lor. d < R – r

Matematica Capacitate Cercul 8

Cercurile tangente exterior sunt cercurile exterioare care se intersecteaza intr-un singur punct si au o tangenta comuna. Distanta dintre centrele lor este egala cu suma razelor.  d = R + r

Matematica Capacitate Cercul 9

Cercurile tangente interior sunt cercurile interioare care se interseaza intr-un singur punct si au o tangenta comuna. Distanta dintre centrele lor este egala cu diferenta razelor. d = R – r

Matematica Capacitate Cercul 10

Cercurile concentrice au acelasi centru si marimile razelor lor sunt diferite.

Matematica Capacitate Cercul 11

Cercurile secante sunt cercurile care au in comun doua puncte. Distanta intre ele este mai mare decat diferenta razelor si mai mica decat suma acestora. R – r < d < R + r

Matematica Capacitate Cercul 12

Teorema: Prin orice punct exterior unui cerc trec doua drepte tangente la cerc.

Teorema: Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc sunt congruente.

Matematica Capacitate Cercul 13

Lungimea cercului si aria discului

  • Valoarea raportului dintre lungimea unui cerc si lungimea diametrului sau se noteaza cu \inline \fn_jvn \large \pi. Acesta este un numar irational pe care il aproximam cu 3,14.
  • Lungimea cercului este deci: L=2\inline \fn_jvn \large \pir
  • Pentru calcului lungimii unui arc de cerc se foloseste regula de trei simpla admitand ca lungimea arcului este direct proportionala cu masura arcului.
  • Aria unui cerc de raza r se calculeaza cu formula: A= \inline \fn_jvn \large \pir2.
  • Se numeste sector de cerc o portiune din interiorul unui cerc cuprinsa intre doua raze.
  • Fiecarui sector de cerc ii corespunde un arc pe cerc.
  • Pentru calculul ariei sectorului de cerc, se foloseste regula de trei simpla, aria sectorului fiind proportionala cu masura arcului.

Poligoane regulate

  • Un poligon convex cu toate laturile si toate unghiurile congruente se numeste poligon regulat. Orice poligon regulat se poate inscrie intr-un cerc.
  • Segmentul dus din centrul cercului circumscris unui poligon regulat, perpendicular pe latura poligonului, se numeste apotema.
  • Daca printr-un procedeu oarecare impartim cercul in n arce congruente, si unim succesiv punctele de diviziune, obtinem un poligon cu n laturi congruente.
  • Laturile sunt congruente deoarece obtinem arce de cerc de aceeasi masura: (360°)/n (masura unghiului la centru corespunzator)
  • Unghiurile poligonului sunt unghiuri inscrise in cerc care cuprind intre laturi arce de masura: \inline \fn_jvn \large \frac{180^{\circ}}{n}\cdot (n-2) .

Matematica Capacitate Cercul 14

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.