Tangenta unui unghi

Daca intr-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90° cunoastem AC = b si C = x, atunci ipotenuza \inline BC=\frac{B}{cos x}, iar cealalta cateta \inline AB=BCsinx=\frac{bsin x}{cos x}. Cu aceasta am rezolvat problema: cunoscand lungimea unei catete si unghiul alaturat dintr-un triunghi dreptunghic, sa se determine lungimea celeilalte catete.

In rezolvarea numerica a acestei probleme, suntem in situatia de a face o impartire a doua numere (sin x si cos x) pe care le luam din tabelul anterior. Sa introducem:

Definitie. Se numeste tangenta a unui unghi x pentru care 0°<x<90° , catul dintre sinusul si cosinusul sau.

tgx=\frac{sin x}{cos x}

Matematica Capacitate Tangenta unui unghi 1

Se introduce si:

Definitie. Se numeste cotangenta a unghiului x pentru 0°<x<90° catul dintre cosinusul acelui unghi si sinusul sau, \inline ctgx=\frac{cos x}{sin x}.

Sinusul si cosinusul unui unghi

Ne vom pune acum problema de a determina, cunoscand lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic si masura unuia din unghiurile ascutite, lungimea laturii opuse acelui unghi.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 2

Raspunsul la aceasta problema nu se poate da cu ajutorul unei formule care sa contina numai operatii cu numere cunoscute pana acum. Situatia nu este atat de “grava” incat sa fim obligati sa rezolvam de fiecare data o astfel de problema printr-o masuratoare. Anume, sa observam ca daca in doua triunghiuri dreptunghice cu m(∢A)=m(∢A’)=90° unghiurile din B si B’ sunt congruente atunci triunghiurile sunt asemenea (cazul 2) si deci \inline \frac{AC}{A^\prime C^\prime}=\frac{BC}{B^\prime C^\prime} , deci cunoscand ipotenuzele lor si cateta AC din primul determinam cu usurinta cateta A’C’ din celalalt. (fig.1.51).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 3

Cu alte cuvinte este suficient sa cunoastem raportul \inline \frac{AC}{BC} intr-un triunghi dreptunghic care are masura unghiului B egala cu x, pentru a putea calcula cateta opusa unui unghi de masura x in orice triunghi dreptunghic caruia i se cunoaste ipotenuza.

Ajungem la concluzia ca este preferabil sa caracterizam marimea unui unghi ascutit nu prin numarul sau de grade, ci prin raportul dintre distanta de la un punct de pe una din laturile sale la cealalta latura si distanta de la acel punct la varful unghiului. (fig. 1.52).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 4

Rationamentul de mai sus (cu triunghiuri asemenea) ne arata ca acest raport nu se schimba daca inlocuim punctul cu alt punct de pe acea latura sau de pe cealalta sau daca inlocuim unghiul cu unul congruent.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 5

\inline \frac{AM}{AO}=\frac{BN}{BO}=\frac{CP}{CO}=\frac{DQ}{DO^\prime}

Definitie. Daca 0 < x < 90°, se numeste sin(x) si se citeste “sinus de x”, raportul dintre cateta opusa a unghiului x si ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic care are unul din unghiurile ascutite de masura x.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 6

Am vazut mai sus ca “definitia este corecta”.

Aceste unghiuri nu se masoara, ele se pot calcula printr-o formula in care apare o “suma imfinita”, formula ce “incepe” astfel:

sinx=\frac{\pi x}{180}-\frac{1}{6}{(\frac{\pi x}{180})}^3+\frac{1}{120}{(\frac{\pi x}{180})}^5-\ldots

Dam mai jos un tabel (calculat, de exemplu, pe baza formulei de mai sus), in care figureaza valorile lui sin x, cu trei zecimale exacte, pentru toti x exprimati printr-un numar intreg de grade, cuprins intre si 90°.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 7

Cu ajutorul acestui tabel putem raspunde la doua tipuri de intrebari:

  1. Sa se afle sin 23°, Gasim in tabel sin 23° = 0,391; mai precis deoarece tabelul contine valori aproximative: 0,3905 < sin 23° < 0,3915.
  2. Sinusul unui unghi este 0,32. Care este masura x a acelui unghi? Din tabel gasim ca sin 18° = 0, 309 < 0,32 < 0,326 = sin 19°, deci x este cuprins intre 18° si 19°.

Exista si tabele mai precise, cu mai multe zecimale, si din “minut in minut” etc.

Observatia 1. Putem determina nasura x a unui unghi daca stim de exemplu ca \inline sin\frac{x}{2}=0,16 . Din tabel obtinem 9°<\inline \frac{x}{2}<10° deci 18°<x<20°.

Observatia 2.Din cele cunoscute pana acum putem deduce valoarea exacta a sinusurilor a trei unghiuri. Stim (teorema lui Pitagora) ca intr-un triunghi dreptunghic isoscel de cateta a ipotenuza este \inline a\sqrt2.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 8

Deci sin 45°=\inline \frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.

Stim ca intr-un triunghi dreptunghic de ipotenuza a ce are un unghi ascutit de 30° cateta opusa acelui unghi este \inline \frac{a}{2} (deoarece “completand” triunghiul se obtine un triunghi echilateral, fig. 1.56).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 9

Deci sin 30°=\inline \frac{1}{2}. In acelasi triunghi lungimea celeilalte catete este \inline \frac{a\sqrt3}{2} (teorema lui Pitagora), deci  sin 60°=\inline \frac{\sqrt3}{2}.

Problema rezolvata 1. Cunoscand ipotenuza si un unghi ascutit ale unui triunghi dreptunghic, sa se afle catetele. (fig.1.57).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 10

Ipoteza: BC=a,m(∢B)=x,m(∢A)=90°

Concluzie: AC=?,AB=?

Rezolvare:

Avem prin definitie \inline \frac{AC}{a}=sinx, deci AC = a sin x. Teorema lui Pitagora da

\inline AB=\sqrt{a^2-{AC}^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2x}=a\sqrt{1-\sin^2x}.

Mai putem scrie, deoarece m(∢C)=90°-x si AB=a,sinC=a sin⁡(90°-x).

Observatie. Sa remarcam ca am scris \inline \sin^2x in loc de sin x2aceasta este o conventie de scriere.

Problema rezolvata 2. Cunoscand o cateta si ipotenuza unui triunghi dreptunghic, sa se afle unghiurile triunghiului. (fig. 1.58)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 11

Ipoteza: m(∢A)=90°,BC=a,AC=b

Concluzia: m(∢B)=?m(∢C)=?

Rezolvare:

Conform definitiei avem \inline sinB=\frac{b}{a} si aceasta relatie constituie un raspuns la intrebarea “care este masura ∢B?”.

Masura ∢C se determina fie din m(∢C)=90°-m(∢B)fie din \inline sinC=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} (teorema lui Pitagora, \inline sinC=\frac{AB}{a}).

Tinand seama de rezultatul din problema rezolvata 1, se da:

Definitie: Daca 0° < x < 90° se numeste cos x si se citeste “cosinus de x” numarul sin (90°-x).

Sinusul si cosinusul unui unghi se numesc si “functii trigonometrice ale acelui unghi”.

CE STIM DESPRE SINUS SI COSINUS?

  1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90° avem AC = BC ∙ sin B, AB = BC ∙ cos B (fig. 1.59)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 12

b. 0<sinx<1;0<cosx<1.

c. cosx=sin(90°-x). Aceasta ne permite sa folosim tabelul anterior si la calculul cosinusului unui unghi dat si la determinarea unui unghi cand i se cunoaste cosinusul.

Din rezolvarea problemei 1 am vazut ca \inline cosx=\sqrt{1-\sin^2x} deci \inline \sin^2x+\cos^2x=1 pentru orice x cuprins intre si 90°. Aceasta este o expresie “trigonometrica” a teoremei lui Pitagora.

\inline sin30°=\frac{1}{2},sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2},sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} , deci

\inline cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2},cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2},cos60°=\frac{1}{2}

Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

Pentru a deduce o prima consecinta a teoremei din paragraful precedent (teorema care se va numi “teorema asupra puterii punctului fata de un cerc”), sa consideram un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90°, sa deducem cercul de centru B si raza AB si sa consideram intersectiile sale D si E cu BC.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 13

Cercul va fi tangent in A la AC, iar BE = BD = BA. Teorema asupra puterii punctului C fata de acest cerc ne spune ca AC2 = CE ∙ CD = (CB + AB)(CB – AB) = CB2 – AB2. Obtinem, ca prima consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc:

Teorema lui Pitagora. Intr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenuzei.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 14

Importanta acestei teoreme este foarte mare. Ea reprezinta solutia unei probleme de tipul: se cunosc lungimile a doua laturi a unui triunghi si masura unghiului cuprins intre ele, sa se calculeze lungimea celei de-a treia laturi (unghiul cuprins intre ele avand o valoare particulara, de 90).

Alta consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc se obtine ducand un diametru AB al unui cerc, alegand un punct C pe tangenta A la cerc si considerand celalalt punct comun D al dreptei CB si al cercului (fig. 1.42).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 15

Vom avea si AB2 = CB ∙ CD

Cum orice triunghi dreptunghic se poate considera in situatia triunghiului ABC din figura, obtinem:

Teorema catetei. Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este medie proportionala intre ipotenuza si proiectia acesteia pe ipotenuza. (Prin proiectie a unui punct pe o dreapta intelegem piciorul perpendicularei duse din acel punct pe acea dreapta. Proiectia unui segment este segmentul determinat de proiectiile capetelor sale; se poate evident intampla ca proiectia unui segment sa se “reduca” la un punct.)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 16

In fine, sa consideram un punct D in interiorul unui cerc si sa ducem diametrul BC si coarda AA’ perpendiculara pe acest diametru ce trec prin D (fig.1.44).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 17

Avem AB ≡ DA’,  iar DB ∙ DC = DA ∙ DA’ = DA2. Deci:

Teorema inaltimii.  Intr-un triunghi dreptunghic, inaltimea dusa din varful unghiului drept este medie proportionala intre cele doua segmente determinate de ea pe ipotenuza.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 18

Observatie. Teorema catetei si teorema inaltimii se pot demonstra si observand ca  si ca  si alegand, din relatiile de proportionalitate ale laturilor, cate doua rapoarte egale, relativ la care se scrie egalitatea dintre produsul mezilor si cel al extremilor.

Cele trei teoreme de mai sus ne permit sa “stapanim situatia” din figura 1.46, in care este desenat un triunghi deptunghic ABC si inaltimea sa AD dusa din varful unghiului drept A.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 19

Mai precis, aceste teoreme ne permit, cunoscand lungimile a doua din cele sase segmente ce apar in figura 1.46 – doua catete, ipotenuza, inaltimea, cele doua proiectii ale catetelor pe ipotenuza – sa calculam lungimile celorlalte patru. Tinand cont si de “simetria situatiei” (nu a figurii!), se pot formula noua astfel de probleme. Doua dintre ele sunt mai dificile si vor fi rezolvate in continuare (problemele rezolvate 2 si 3). Vom incepe cu una din cele simple, iar celelalte sase vor fi obiectul problemelor 1 – 6 din categoria probleme.

Problema rezolvata 1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC, lungimile catetelor sunt AB = 4 cm si AC = 3 cm (fig. 1.47). Sa se determine lungimile ipotenuzei, a inaltimii si a segmentelor determinate pe ipotenuza de piciorul inaltimii.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 20

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AB=4,AC=3

Concluzia: BC=?,AD=?,BD=?,CD=?

Rezolvare:

Din Teorema lui Pitagora deducem BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25, deci

\inline BC\ =\ \sqrt{25}=5

Din teorema catetei deducem AB2 = BD ∙ BC, deci \inline BD=\frac{{AB}^2}{BC}, adica \inline BD=\frac{16}{5}.

Avem acum doua posibilitati de a calcula CD: una consta in a aplica teorema catetei pentru AC, cealalta in a scrie CD=BC-BD=\inline 5-\frac{16}{9}=\frac{5}{9}.

In fine, avem trei posibilitati de a calcula AD: teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice ABD, ACD si teorema inaltimii. Prima da

\inline AD=\sqrt{{AB}^2-{BD}^2}=\sqrt{4^2-{(\frac{16}{5})}^2}=\frac{12}{5}

Observatie.  Din ∆ABC∼∆DACdeducem si \inline \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC} sau AB ∙AC = AD ∙ BC, relatie care ofera o a patra posibilitate de calcul a lui AD. Aceasta relatie nu reprezinta altceva decat “aria lui ABC, calculata in doua moduri”.

Problema rezolvata 2.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC cunoastem lungimile ipotenuzei BC = a si ale inaltimii AD = h. Sa se determine lungimile proiectiilor BD, DC ale catetlor pe ipotenuza. (fig.1.48)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 21

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,BC=a,AD=h

Concluzia: BD=?,CD=?

Rezolvare:

Unghiul BAC fiind drept, rezulta ca bc este un diametru al cercului circumscris triunghiului ABC, deci centrul O al acestui cerc se afla la mijlocul lui BC. Deducem \inline OA=\frac{1}{2};\ BC=\frac{a}{2} si acum este simplu de continuat, aplicam teorema lui Pitagora in ∆OAD care da \inline OD=\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} si obtinem ca rezultat BD=BO+OD= \inline \frac{a}{2}+\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2}, CD=CO-OD= \inline \frac{a}{2}-\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} . Evident ca acest rezultat corespunde modului de a nota astfel figura incat D sa fie intre O si C.

a si h fiind date, conditia necesara si suficienta de existenta a triunghiului din enunt este \inline h\le\frac{a}{2} (aceasta este conditia necesara si suficienta pentru a putea construi ∆OAD).

Odata determinate BD, CD, putem calcula AB, AC aplicand teorema lui Pitagora in ∆ABD si  ∆ACD.

Observatie.  Tinand cont de teorema inaltimii, formulele obtinute rezolva si problema: cunoscand suma a si produsul h2 a doua numere (lungimile BD, CD), sa se afle cele doua numere. Verificati si cu ajutorul calculului algebric aceasta.

Problema rezolvata 3.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC se cunosc lungimile unei catete AC si a proiectiei BD a celelilalte pe ipotenuza, sa se afle lungimile ipotenuzei BC si a proiectiei CD a celeilalte catete pe ipotenuza. (fig. 1.49)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 22

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AC=b,BD=d

Concluzia: BC=?,CD=?

Rezolvare:

Sa consideram cerculd e diametru BD si sa ducem o tangenta CT la acest cerc. Fie O centrul cercului. Teorema catetei spune ca AC2 = CD ∙ CB iar teorema asupra puterii punctului  ca CT2 = CD ∙ CB. Deducem ca CT = AC = b. Avem OT⊥CT si teorema lui Pitagora in ∆CTO da CO=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} obtinem BC=CO+OB=\inline \frac{d}{2}+\sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} iar CD=CO-OD=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2}-\frac{d}{2}.

Oricum am alege doua numere b, d, exista un triunghi care indeplineste conditiile din enunt (se construieste  cu m(∢T)=90° etc.).

Formulele obtinute rezolva si problema; cunoscand diferenta d si produsul b2 a doua numere (lungimile CB, CD) sa se afle cele doua numere (verificati aceasta si prin algebra).

Puterea unui punct fata de un cerc

Teorema urmatoare este o aplicatie a asemanarii triunghiurilor. Ea ar fi aparut ca o problema la paragraful respectiv, daca nu ar fi prezentat o importanta deosebita prin consecintele ei, ce vor fi enuntate in paragraful urmator.

Teorema:  Daca printr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem o secanta ce intersecteaza cercul in A, B, atunci produsul MA ∙ MB este acelasi pentru toate secantele ce trec prin M.

In demonstratie vom deosebi doua cazuri.

Cazul 1.  M este in interiorul cercului. (fig. 1.32)

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 23

Concluzia: MA ∙ MB = MC ∙ MD

Demonstratie:

(cazul 2) deoarece  (opuse la varf) si  (ambele au ca masura jumatate din masura arcului CXB). Deci \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB} de unde, scriind ca produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obtinem concluzia dorita.

Cazul 2.  M este in exteriorul cercului.

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 24

Concluzie: MA ∙ MB = MC ∙ MD

Demonstratie:

(cazul 2) deoarece (identice) si  (ambele au ca masuri jumatate din cea a arcului BXC). Deci \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB} etc.

Observatie.  Teorema este adevarata, in cazul cand M este exterior cercului, si pentru tangentele duse din M la cerc; pe o tangenta, punctele A si B coincid. Demonstratia se face la fel; pentru a nu ne baza pe o proprietate a tangentei, sa observam, in figura 1.34, in care O este centrul cercului, ca \inline \fn_jvn \large m(\sphericalangle MAC)= 90^{\circ}-m(\sphericalangle OAC)= \inline \fn_jvn \large \frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot m(\sphericalangle OAC))=\frac{1}{2}m(\widehat{AXC}).

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 25

Teorema de mai sus ne conduce la urmatoarea:

Definitie: Fie M un punct si (C) un cerc.

  1. Daca M este in exteriorul cercului, numim puterea lui M fata de cerc valoarea MA ∙ MB, unde A si B sunt intersectiile unei drepte oarecare ce trece prin M cu cercul (C), luata cu semnul “+”.
  2. Daca M este pe cerc, spunem ca puterea lui fata de cerc este 0.
  3. Daca M este in interiorul cercului, numim “puterea lui M fata de cerc” valoarea MA ∙ MB, unde A si B sunt intersectiile unei drepte oarecare ce trece prin M cu cercul (C), luata cu semnul “-”.

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 26

Observatii.

  1. Ce ne-ar fi impiedicat sa dam definitia de mai sus inainte sa demonstram teorema? Daca vrem sa definim “puterea unui punct M fata de un cerc (C) aceasta trebuie sa fie un element, in cazul nostru un numar, care sa depinda numai de punctul M si de cercul (C). Examinand definitia de mai sus, vedem ca numarul MA ∙ MB definit in ea poate in principiu sa depinda nu numai de M si de cercul (C) ci si de “directia” secantei MAB, cu alte cuvinte, incercand sa calculam puterea lui m fata de cercul (C) ci si de “directia” secantei MAB, cu alte cuvinte, incercand sa calculam puterea lui M fata de cercul (C) am putea obtine rezultate diferite daca obtinem secante diferite. Daca intr-adevar asa ceva s-ar intampla, am spune ca “directia este incorecta”. Teorema de mai sus arata ca asa ceva nu se intampla, deci ca definitia “este corecta”, adica, oricum am alege secanta MAB, obtinem aceeasi valoare pentru MA∙MB. (In cazul de fata am fi putut ocoli discutia de mai sus, definind puterea punctului cu ajutorul unei secante precizate; cea mai naturala alegere ar fi fost: secanta ce trece prin centru cercului fata de cerc). Pe de o parte o astfel de definitie ar fi fost artificiala, iar pe de alta parte nu in toate cazurile in care se dau definitii in situatii cum este cea descrisa mai sus se pot alege astfel de “obiecte privilegiate” cum a fost aici secanta ce trece prin centru.)
  2. De ce consideram puterea unui punct ca avand semnul pozitiv sau negativ, dupa cum este in exteriorul sau in interiorul cercului? Stim ca daca spunem: fiind dat un punct A pe o dreapta d, alegeti pe d un punct B astfel incat segmentul AB sa aiba 2 c, problema are doua solutii, deci pozitia lui B nu este precizata prin fraza de mai sus. Aceasta nedeterminare poate fi inlaturata considerand, in loc de segmente AB, care sunt tot una cu BA, segmente “orientate” AB, care nu vor fi socotite tot una cu BA. Pe o dreapta data d alegem “un sens” (materializat printr-o semidreapta a ei s) si vom conveni sa consideram, daca segmentul AB are de exemplu 2 cm, ca segmentul orientat AB are +2 cm daca semidreapta AB are acelasi sens cu semidreapta s (deci este continuta in s sau contine pe s) si ca segmentul orientat AB are – 2cm daca semidreapta AB este de sens contrar cu semidreapta s (deci nu are puncte comune cu s sau daca intersectia lor este interiorul unui segment.)

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 27

  • AB = – 2 cm
  • CD = + 2 cm
  • EF = + 2 cm
  • GH = – 2 cm

Dupa aceasta conventie, daca avem o dreapta d, o semidreapta s, un punct A pe d si un numar a pozitiv sau negativ, putem gasi un punct B pe d si numai unul astfel incat lungim segmentului orientat AB sa fie a. Daca acceptam si segmente orientate de forma AA, de lungime nula, atunci cele spuse sunt valabile si in cazul a = 0.

In cazul puterii punctului fata de cerc, in definitia de mai sus, este clar ca, oricum am alege sensul pe secanta MAB, segmentele orientate MA si MB vor avea acelasi sens, deci acelasi semn, cand M va fi in exteriorul cercului si vor avea sensuri deci semne contrare cand M va fi in interior. Cand M este pe cerc, unul din aceste segmente este nul. Deci produsul MA ∙ MB al lungimii segmentelor orientate MA, MB va fi pozitiv cand M va fi in exterior, nul cand M va fi pe cerc si negativ cand M va fi in interior. In acest mod “se explica” definitia de mai sus.

Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare.

Faptul pus in evidenta in teorema fundamentala a asemanarii ne conduce la urmatoarea:

Definitie:  Fie A, B, C trei puncte necoliniare si A’, B’, C’ alte trei puncte necoliniare. Spunem ca ∆ABC∼∆A’B’C’ (si citim aceasta: triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A’B’C’) daca ∢A≡∢A’,∢B≡∢B’,∢C≡∢C’ si \inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC}.

Cu alte cuvinte doua triunghiuri se numesc asemenea daca au unghiurile congruente si laturile respective proportionale.

Care sunt exemplele de triunghiuri asemenea? Sa observam intai ca doua triunghiuri congruente sunt asemenea; dar nu pentru a considera astfel de exemple s-a introdus definitia. Teorema fundamentala a asemanarii ne arata un mod de a construi un triunghi asemenea cu un triunghi dat, dar necongruent cu acesta.

Observatie:  La notiunea de asemanate a triunghiurilor se ajunge si pe cale intuitiva, considerand doua desene identice dar de dimensiuni diferite. Ele “seamana” dar nu pot fi facute sa coincida prin suprapunere. Un segment din primul desen nu este congruent cu segmentul corespunzator din al doilea, insa raportul lungimilor este acelasi pentru toate segmentele ce le putem considera in modul de mai sus in cele doua desene. Unghiul a doua directii din primul desen este congruent cu unghiul corespunzator din cel de-al doilea (aceasta si da senzatia de asemanare). Considerand cea mai simpla figura – triunghiul – ajungem la definitia de mai sus.

La fel putem sa gandim privind doua harti ale aceleiasi regiuni facute la scari diferite.

Exista trei teoreme ce se numesc cazuri de asemanare ale triunghiurilor, ale caror enunturi sunt analoage cu cele trei cazuri de congruenta. Inainte de a le enunta si demonstra, sa observam ca daca ∆ABC∼∆A’B’C’ si ∆A’B’C’≡∆A”B”C, atunci ∆ABC∼∆A”B”C, cu alte cuvinte un triunghi asemenea cu un triunghi dat este asemenea cu orice triunghi congruent cu triunghiul dat.

Cazul 1 de asemanare. Doua triunghiuri ce au un unghi congruent si laturile care il formeaza proportionale sunt asemenea. (fig.1.21)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 28

Ipoteza:         ∢A≡∢A’, \inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC}

Concluzia:         ∆ABC∼∆A’B’C’

Cazul 2 de asemanare.  Doua triunghiuri care au doua unghiuri respectiv congruente, sunt asemenea. (fig.1.22)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 29

Ipoteza: ∢A≡∢A’, ∢B≡∢B’

Concluzia: ∆ABC∼∆A’B’C’

Cazul 3 de asemanare. Doua triunghiuri care au cele trei laturi proportionale sunt asemenea. (fig.1.23)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 30

Ipoteza: \inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC}

Concluzia: ∆ABC∼∆A’B’C’

Demonstratiile celor trei teoreme au o parte comuna. Anume. Consideram pe semidreapta AB un punct B1 astfel ca AB1A’B’, ducem prin B1 paralela la BC si notam cu C1 intersectia ei cu AC. (fig.1.24)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 31

Conform teoremei fundamentale a asemanarii avem ∆ABC∼∆AB1C1. Deci ∢B≡∢  AB1C1, \inline \fn_jvn \large \frac{AB_{1}}{AB}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{AC_{1}}{AC}.

Ramane de demonstrat ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’ (si observatia dinaintea enunturilor va incheia demonstratia). Aceasta se va face in mod diferit pentru fiecare din cele trei teoreme, folosind cazul de congruenta corespunzator.

Cazul 1. Din \inline \fn_jvn \large \frac{AB_{1}}{AB}=\frac{AC_{1}}{AC},\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC} si A’B’≡AB1 deducem AC1≡A’C’ si cazul 1 de congruenta arata ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’.

Cazul 2. ∢B≡∢AB1C1 si ∢B≡∢B’ deducem ca ∢AB1C1≡∢B’ si cazul 2 de congruenta arata acum ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’.

Cazul 3. Din \inline \fn_jvn \large \frac{AB_{1}}{AB}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{AC_{1}}{AC}, \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC} si AB1≡A’B’ deducem B1C1≡B’C’ si AC1≡A’C’ si cazul 3 de congruenta arata ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’.

Observatie. Relatia de asemanare intre doua triunghiuri are urmatoarele proprietati:

  1. Este reflexiva; adica orice triunghi este asemenea cu el insusi.
  2. Este simetrica; adica daca un triunghi este asemenea cu un al doilea triunghi, atunci si al doilea triunghi este asemenea cu primul.
  3. Este tranzitiva; adica doua triunghiuri asemenea cu al treilea sunt asemenea.

Proprietatile a, b, c sunt consecinte ale definitiei, sau, mai simplu, ale cazului 2 de asemanare.

Teorema fundamentala a asemanarii

Teorema:  O paralela la una din laturile unui triunghi formeaza cu celelalte laturi un alt triunghi care are toate unghiurile congruente cu cele ale triunghiului initial iar laturile sale sunt proportionale cu ale celui intial.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 32

Ipoteza: PQ∥BC
Concluzia:

  1. ∢A≡∢A
  2. ∢P≡∢B;
  3. ∢Q≡∢C;
  4. \inline \fn_jvn \large \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}

Demonstratie:

Relatia 1) este evidenta.

Congruentele 2), 3), se refera la unghiuri corespondente. Prima proportie din 4), rezulta direct din teorema lui Thales. Ramane de demonstrat ca \inline \fn_jvn \large \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AC}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{PQ} }{\mathrm{BC}} . Pentru aceasta ducem QT∥AB (T ∈ BC), (fig. 1.8). Se formeaza astfel pe de o parte paralelogramul PQTB si deci

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 33

PQ ≡ BT, pe de alta parte se poate aplica teorema lui Thales (QT∥AB) si se obtine : \inline \fn_jvn \large \frac{AQ}{AC}=\frac{BT}{BC}. In ultima propozitie inlocuind pe BT cu PQ, obtinem si ultima relatie cautata.

Observatie. Putem sa consideram ca paralela PQ ontalneste prelungirile laturilor triunghiului ABC; demonstratia ramane in esenta aceeasi.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 34

Problema rezolvata.  Se considera un trapez OABM, de baze OM = b si AB = c, in care OA = a. Se alege un punct X pe dreapta OA; paralela prin X la baze taie MB in Y. Presupunand c > b, sa se exprime lungimea y a segmentului XY in functie de lungimea x a segmentului OX.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 35

Ipoteza:   OM ∥ XY ∥ AB

OA = a; OM = b; AB = c; OX = x; XY = y;

Rezolvare:

Va fi necesar sa definim mai multe cazuri, in functie de pozitia lui X pe dreapra OA.

Cazul 1. (fig. 1.10): X se afla intre O si A.

In toate cazurile vom duce prin O o paralela la BM si vom nota cu D intersectia cu AB iar cu Z intersectia sa cu XY. Din paralelogramele OMYZ, OMBD deducem ca YZ = BD = b. Cum b < c, rezulta ca punctul D, care va fi acelasi in toate cazurile ce le vom deosebi, este situat intre A si B, iar AD = c – b.

Din teorema fundamentala a asemanarii in triunghiul OAD intersectat de XZ =>\inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{XZ}{c-b} . Aceasta concluzie este valabila in toate cazurile, daca tinem seama de observatia de dupa teorema fundamentala a asemanarii.

In cazul 1, Z va fi intre X si Y, deci \inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{y-b}{c-b} }; in acest caz rezultatul este \inline \fn_jvn \large y=b+\frac{c-b}{a}x.

Cazul 2. (fig. 1.11): A se afla intre O si X.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 36

Acest caz corespunde de asemenea situatiei “Z intre X si Y”, deci rationamentul si rezultatul sunt aceleasi ca si in cazul 1.

Cazul 3. (fig. 1.12) : X se afla intre O si intersectia C a dreptelor OA si OM.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 37

In acest caz X se afla intre Y si Z, deci XZ = b – y si obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{b-y}{c-b}  , iar rezultatul este \inline \fn_jvn \large y=b-\frac{c-b}{a}x.

Alegand OC = x obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{OC}{a}=\frac{b}{c-b}; deci \inline \fn_jvn \large OC=\frac{ab}{c-b}, ceea ce ne permite sa descriem cazul 3 si astfel: O intre A si X\inline \fn_jvn \large x<\frac{ab}{c-b}.

Cazul 4. (fig. 1.13): O intre A si X, \inline \fn_jvn \large x>\frac{ab}{c-b}, cu alte cuvinte C intre O si X.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 38

In acest caz Y  se afla intre X si Z, deci XZ = y + b, \inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{y+b}{c-b} , iar rezultatul este \inline \fn_jvn \large y=\frac{c-b}{a}x-b.

Observatie. Daca am conveni sa consideram pe x “cu semnul +” cand X este “la dreapta” lui O si “cu semnul –“ cand X este la stanga lui O, pe y “cu semnul +” cand Y se afla in semiplanul “de deasupra” lui OA si “cu semnul –“ cand Y se afla in cel de dedesubt, atunci rezultatul din cazul 1 ar fi valabil in toate celelalte cazuri.

Vezi aici probleme pentru aceasta lectie!

Teorema lui Thales in cazul rapoartelor reale oarecare

Inainte de a demonstra teorema in acest caz, sa amintim cateva fapte relativ la numere reale.

a) Fiind date doua numere reale a si b, este adevarat una si numai una din relatiile a < b, a = b, b < a. Cu alte cuvinete , < este o relatie de ordine totala pe multimea numerelor reale.
b) Fiind date doua numere reale a si b, asa incat a < b, exista un numar rational r astfel ca a < r < b (evident, r nu este unic, deoarece, conform aceleiasi proprietati, va exista si un numar rational s cu proprietatea a < s < r, deci s < b etc.)
Exemplificam aceasta proprietate astfel: daca a = 2,738… si b = 3,069 putem lua r = 2,9; daca a = 2, 839997… si b = 2,8400002… putem lua r = 2,839998.
c) Daca avem doua numere reale a si b asa incat, pentru r rational, este adevarat ca (r < a) <=> (r < b) atunci a = b.
Aceasta este o consecinta a proprietatilor a), b). Intr-adevar, daca, de exemplu, am avea a < b, atunci alegem un r rational cu proprietatea a < r < b si avem r < b adevarat dar r < a fals, deci <- ar fi neadevarata, contrar ipotezei.

Putem trece acum la demonstratia teoremei lui Thales in cazul general (bazandu-se pe valabilitatea acestei teoreme in cazul cand unul din rapoartele ce apar este rational.)

Matematica Capacitate Teorema lui Thales in cazul rapoartelor reale oarecare 39

Fie r un numar rational astfel ca r < \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}, , deci r ∙ AB < AD. Sa construim un punct D’ situat in interiorul segmentului AD, (fig. 1.6), astfel incat AD’ = r ∙ AB. Paralela prin D’ la BC va intersecta AC intr-un punct E’ situat in interiorul segmentului AE. Conform teoremei lui Thales pentru raport rational, vom avea  \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=r, deci r < \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}.

Am aratat astfel ca, pentru r rational avem \inline \fn_jvn \large (r<\frac{AD}{AB})->(r<\frac{AE}{AC}).

La fel se arata ca pentru r rational avem \inline \fn_jvn \large (r<\frac{AE}{AC})->(r<\frac{AD}{AB}).

Pe baza proprietatii c) de mai sus, teorema lui Thales este complet demonstrata.

Observatie. Vom vedea in cele ce urmeaza ca, efectuand constructii geometrice asupra unor segmente cu lungimi rationale (chiar intregi), obtinem foarte usor segmente de lungimi irationale. De exemplu, lungimea diagonalei unui patrat de latura 1 este un numar irational.De aceea este important sa stim ca teorema lui Thales este adevarata in cazul cand rapoartele ce apar in ea sunt numere reale oarecare.

Teorema lui Thales

O paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 40

Ipoteza: DE∥BC

Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} 

Sa presupunem ca  \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{2}{7}. Sa impartim segmentul AB in 7 parti congruente prin punctele D1, D2, …, D6. Vom avea deci AD1≡D1D2≡…≡D5D6≡D6B. Sa ducem prin punctele D1, D2, …, D6         paralele la BC; ele vor intersecta latura AC in E1, E2, …, E6. Deci, in figura 1.2, vom avea D1E1∥D2E2∥…∥D6E6∥BC.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 41

Aplicand teorema liniei mijlocii in triunghiul AD2E2  precum si in trapezele D1E1E3D3, D2E2E4D4, …, D4E4E6D6, D5E5CB, obtinem AE≡ E1E≡…≡ E5E≡ E6C.

Sa observam acum ca \inline \fn_jvn \large \frac{AD_{2}}{AB}=\frac{2}{7}=\frac{AD}{AB}; deci AD≡ AD, adica D = D2. Deducem acum ca E = E2 si, in sfarsit, este vizibil ca \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=\frac{2}{7}  .

Observatia 1. La fel se demonstreaza ca, in fig. 1.2. avem  \inline \fn_jvn \large \frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}. Impartind relatia din concluzia teoremei cu cea scrisa aici, obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}. Deci, oricum am scrie concluzia teoremei lui Thales (determina segmente proportionale), obtinem un enunt adevarat.

Observatia 2.  Lungimea unui segment depinde de unitatea de masura aleasa pentru segmente, in schimb catul lungimilor a doua segmente nu depinde. Acest cat se numeste “raportul lungimilor celor doua segmente”.

Problema rezolvata 1.  Fie D un punct pe latura AB a unui triunghi ABC in care AB = 5 cm, BC = 8 cm si AC = 10 cm (fig. 1.3). Se stie ca AD = 2 cm. Prin D ducem o paralela la BC care taie AC in E. Sa se calculeze lungimile segmentelor AE, EC.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 42

Ipoteza: AB = 5,  BC = 8,  AC = 10,  AD = 2, DE ∥BC

Concluzia: AE = ? EC = ?

Rezolvare:

Triunghiul despre care e vorba exista deoarece 8 – 5 < 10 < 8 + 5.

Teorema lui Thales da \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, deci \inline \fn_jvn \large \frac{2}{5}=\frac{AE}{10}, de unde obtinem AE = 4        

EC = AC – AE = 6.

Problema rezolvata 2. Pe laturile unui unghi cu varful in O se dau punctele A, B respectiv C, D (fig. 1.4). Sa se precizeze pozitia punctului M de intersectie a dreptelor AC si BD calculand raportul  \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 43

Rezolvare: Pentru a putea aplica teorema lui Thales, sa ducem prin A paralela la BD si sa notam cu X punctul in care ea intersecteaza pe OC (AX ∥ BD) (fig. 1.5).

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 44

Aplicam teorema lui Thales in ∆CXA: \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{DX}{DC}.

Aplicam teorema lui Thales in ∆OBD: \inline \fn_jvn \large \frac{DX}{DO}=\frac{BA}{BO}. => \inline \fn_jvn \large DX=\frac{DO\cdot BA}{BO} => \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{\frac{DO}{DC}\cdot BA}{BO}

Vezi aici probleme pentru aceasta lectie!