Panze conice circulare

Definitie. Fie (C) un cerc si P un punct nesituat in planul al cercului. Se numeste panza conica circulara de varf P si baza (C), totalitatea punctelor situate pe semidreptele cu originea in P ce intalnesc cercul (C) (fig.18.18).

Matematica Capacitate Panze conice circulare 1
fig. 18 18

Definitie. O panza conica circulara de varf P si baza (C) se numeste dreapta daca proiectia lui P pe planul cercului (C) este centrul lui (C).

Matematica Capacitate Panze conice circulare 2
fig. 18 19

Definitie. Se numeste con circular, corpul geometric marginit de o panza conica circulara si de planul cercului, care genereaza panza conica. Daca panza conica circulara este dreapta atunci conul circular se numeste drept. (fig.18.20).

Matematica Capacitate Panze conice circulare 3
fig. 18 20

Teorema. Sectiunea unei panze conice circulare printr-un plan paralel cu baza, situat de aceeasi parte a varfului cu ea, este un cerc.

Matematica Capacitate Panze conice circulare 4
fig. 18 21

Demonstratie. Fie P varful conului, (C) cercul de baza, O centrul sau, α planul cercului (C) si  β un plan paralel cu planul α. Sa consideram intersectia O’ a lui PO cu planul β. Sa alegem M’∈β (M’≠O’) (fig. 18.21).

Planul (M’OP) taie planul α dupa o dreapta OM∥O’M’. Fie M∈PM’. Avem \frac{OM}{O^\prime M^\prime}=\frac{PO}{P^\prime O^\prime}=k (constant).

Punctul M’ se afla pe panza conica, daca si numai daca, M se afla pe (C), deci, daca si numai daca, OM=R este raza lui (C). Conform relatiei de mai sus, aceasta este adevarata, daca si numai daca, O'M'=\frac{R}{k} ceea ce inseamna ca M’ se afla pe cercul de centru O’ si de raza \frac{R}{k}, situat in planul β.

Comentariu. Centrele cercurilor de sectiune sunt coliniare cu varful, deci, inlocuind cercul generator al unei panze conice circulare drepte cu un crec dintr-un plan paralel cu acesta, situat pe panza conica, se obtine un alt cerc generator in raport cu care panza conica este tot dreapta.

Definitie. Se numeste trunchi de con circular, corpul marginit de o panza conica circulara, de baza acesteia si de un plan paralel cu ea, situat de aceeasi parte a varfului ca si baza. Trunchiul de con se numeste drept, daca panza conica circulara este dreapta.

Matematica Capacitate Panze conice circulare 5
fig. 18 22

Observatie. Un trunchi de con circular este drept, daca si numai daca, dreapta ce uneste centrele bazelor este perpendiculara pe planele bazelor.

Cilindrii circulari

Definitie. a) Fie (C) un cerc situat in planul α si a o dreapta neparalela cu α. Prin suprafata cilindrica circulara generata de (C) si a, intelegem totalitatea punctelor situate pe toate dreptele paralele cu a, care trec prin puncte ale lui (C).

b) Prin suprafata cilindrica circulara dreapta generata de cercul (C) din planul α, intelegem suprafata cilindrica generata de (C) si de o perpendiculara a pe α. Aceasta este, de fapt, totalitatea punctelor situate pe toate dreptele perpendiculare pe α, care trec prin puncte ale lui (C).

Ea poate fi definita si drept totalitatea punctelor a caror proiectii pe α sunt situate pe (C).

Teorema. Intersectia dintre o suprafata cilindrica si un plan β, paralel cu planul α, al cercului (C) care o genereaza, este un cerc de raza R, egala cu cea a lui (C).

Matematica Capacitate Cilindrii circulari 6
fig. 18 16

Demonstratie. Fie O centrul lui (C), b paralela (fig. 18.16) prin O la a si O’ intersectia lui b cu planul α. Sa aratam ca intersectia lui β cu suprafata cilindrica este cercul de centru O’ si raza R, situat in planul β.

Fie P∈β. Il consideram diferit de O’, deoarece O’ nu se afla pe suprafata cilindrica.

Sa ducem planul (P’OO’) (unic determinat). Acest plan taie planele α si β dupa doua drepte paralele. Ducand si paralela din P’ la OO’, se formeaza in planul (P’OO’) un paralelogram P’O’OP (P∈α) (fig 18.17).

Matematica Capacitate Cilindrii circulari 7
fig. 18 17

Punctul P’ se afla pe suprafata cilindrica, daca si numai daca, P∈(C), deoarece P’P∥O’O∥a, adica daca si numai daca, PO=R. Cum P’O’≡PO, PO=R este echivalent cu P’O’=R si teorema este demonstrata.

Definitie. Prin cilindru circular, intelegem corpul geometric cuprins intre o suprafata cilindrica circulara si doua plane distincte paralele cu planul cercului ce genereaza suprafat ilindrica.

Cilindrul circular se numeste cilindru circular drept daca suprafata cilindrica circulara corespunzatoare este dreapta.

Suprafete si corpuri rotunde

Generalitati. Consideratii intuitive

a. In capitolele de geometrie in spatiu de pana acum, am studiat figuri geometrice formate din linii drepte sau portiuni de linii drepte ( segmente), suprafete plane sau portiuni de suprafete plane (poligoane) si corpuri marginite de astfel de suprafete.

Viata de toate zilele si diverse alte activitati ne pun insa mereu in contact cu linii curbe, cu suprafete curbe, cu corpuri marginite de suprafete curbe, pe care, in mod obisnuit, le numim corpuri rotunde.

Nu avem intentia sa dam definitia generala a unei linii curbe sau a unei suprafete curbe (aceasta necesita cunoasterea notiunii de continuitate).

In acest paragraf intentionam sa descriem cateva fapte intuitive, care sa contureze mai bine aceste notiuni. Abia in paragrafele urmatoare, unde vom defini si vom studia cateva suprafete particulare, vom folosi un limbaj matematic mai precis.

b. Un punct in miscare descrie o linie curba ( 18.1); nu orice linie curba este continuta intr-un plan.

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 8
fig. 18 1

Un fir de ata, indiferent cum l-am deforma, ne sugereaza o linie curbata. (fig. 18.1).

Muchia unui corp este, in general, o linie curba (fig.18.2).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 9
fig. 18 2

Evident ca noi consideram linia dreapta ca un caz particular al liniei curbe. Pozitiile diferitelor puncte pe o linie curba data se pot preciza, daca am fixat un punct pe acea curba ca origine, prin distantele pe curba de la ele pana la acel punct, deci printr-un numar real. (fig.18.3).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 10
fig. 18 3

O curba “n-are nici latime, nici grosime”, ci numai lungime.

c. O suprafata curba este fata (imaginea) unui corp rotund ( 18.4). O tesatura, deformata chiar, este o suprafata curba. (fig. 18.5).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 11
fig. 18 4

Tesatura este formata din fire; o linie curba in miscare descrie (genereaza) o suprafata curba (fig. 18.5 si 18.6).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 12
fig. 18 5 ; fig. 18 6

Pozitia unui punct pe o suprafata curba se poate preciza numai dand doua coordonate ale sale (fig. 18.7).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 13
fig. 18 7

d. Oricum am lua o linie curba si un fir de ata, putem deforma acest fir, fara a-l intinde sau rupe, astfel incat el sa coincida cu linia curba data (18.8).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 14
fig. 18 8

Acest fapt nu este adevarat pentru suprafete. Nu putem aseza o foaie de hartie peste o minge, fara a o “strica”. Aceasta face ca desenarea unui planiglob sa fie dificila si sa nu se poate face decat obtinanad o imagine deformata a suprafetei Pamantului.

e. Suprafetele cilindrice. Am afirmat ca orice linie curba in miscare descrie o suprafata curba. O linie dreapta d, care se misca paralel cu ea insasi, inatalnind in permanenta o dreapta data descrie un plan (fig 18.9).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 15
fig. 18 9

Stim ca o linie dreapta d, care se misca paralel cu positia ei initiala, intalnind in permanenta un poligon plan (P) dat, situat intr-un plan neparalel cu d, descrie o suprafata prismatica. Sa inlocuim acum poligonul (P) cu o linie curba oarecare fixata. Suntem condusi astfel la urmatoarea:

Definitie. Fie (C) o curba plana si a o dreapta data neparalela cu planul curbei (C). Totalitatea punctelor dreptelor d ce trec prin punctele lui (C) si sunt paralele cu a formeaza suprafata cilindrica de vaza (C) si directie a.

Dreptele d se numesc generatoarele suprafetei cilindrice, iar (C) se numeste curba directoare a suprafetei cilindrice. (fig.18.10).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 16
fig. 18 10

Daca a este perpendiculara pe planul lui (C) suprafata se numeste suprafata cilindrica dreapta, de baza (C).

Observatie. Pe o suprafata cilindrica data exista multe curbe plane (intersectia suprafetei cilindrice cu diverse plane). Oricare din ele, care intersecteaza toate generatoarele poate fi folosita pentru generarea suprafetei cilindrice, ca in definitia de mai sus.

In acest mod, orice suprafata cilindrica poate aparea ca suprafata cilindrica dreapta (daca vom considera ca directoare intersectia ei cu un plan perpendicular pe generatoare).

O linie curba plana pate fi un arc, o curba inchisa, sau poate avea outo-intersectii (fig.18.11).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 17
fig. 18 11

Suprafetele cilindrice generate au forme corespunzatoare celor din figura 18.12.

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 18
fig. 18 12

O proprietate importanta a suprafetei cilindrice generate de un arc simplu este aceea ca se poate “desfasura” si aseza pe o suprafata plana. Cel mai simplu se vede acest lucru reprezentand suprafata ca o suprafata cilindrica dreapta de baza (C), “indreptand” (C) pana la o dreapta d si apoi asezand generatoarele suprafetei perpendicular pe g.

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 19
fig. 18 13

f. Panze conice. Fie (C) o curba plana si P un punct situat in afara planului ei. Totalitatea semidreptelor cu originea in P si avand un punct situat pe (C) formeaza panza conica de varf P si baza (C). Semidreptele se numesc generatoare ale panzei conice (fig. 18.14).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 20
fig. 18 14

Observatie. Pe o panza conica exista mai multe curbe plane (intersectiile ei cu diferite plane). Oricare din ele, care intersecteaza toate generatoarele, poate fi considerata ca genereaza panza conica.

Panzele conice pot fi generate si de curbe de spatiu.

Si panzele conice generate de arce de curba, “suficient de scurte”, pot fi desfasurate si asezate pe un plan. Cel mai simplu mod de a face aceasta este de a alege o distanta l, de a aseza pe fiecare generatoare un segment de lungime l, obtinand o curba (in general neplana) (fig. 18.15).

Matematica Capacitate Suprafete si corpuri rotunde 21
fig. 18 15

Asezam curba peste un arc de cerc de raza l (ceea ce este posibil daca lungimea curbei depaseste ) si generatoarele respective peste razele corespunzatoare ale cercului.

g. Observatie. Suprafetele cilindrice ne-au aparut drept “analoagele curbe” ale suprafetelor prismatice, iar panzele conice drept “analoagele curbe” ale suprafetelor piramidale.

Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu

1. Care sunt planele de simetrie ale unui diedru?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 22

Planul bisector si orice plan perpendicular pe muchia comuna.

2. Care sunt planele de simetrie a doua plane distincte? Discutie (dupa cum ele sunt paralele sau secante).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 23

Planele bisectoare ale celor patru diedre formate (sunt doua plane perpendiculare) si orice lan perpendicular pe intersectia lor, in cazul in care planele initiale nu sunt paralele, iar, in cazul in care planele sunt paralele, un plan paralel cu ele, situat intre ele, la distante egale de acestea si orice plan perpendicular pe ele.

3. Dar care sunt axele de simetrie a acestor plane?

Rezolvare:

Daca planele sunt secante, axa de simetrie este muchia lor comuna sau orice dreapta dintr-un plan bisector, perpendiculara pe muchia lor comuna; daca planele sunt paralele, axa de simetrie este orice dreapta perpendiculara pe ele sau continuta in planul echidistant.

4. Cate centre, axe si plane de simetrie are un cub?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 24

Are un centru de simetrie, 3 + 6 = 9 axe de simetrie si 3 + 6 = 9 plane de simetrie.

5. Cate centre, axe si plane de simetrie are un tetraedru regulat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 25

Nu are centru de simetrie. In functie de tipulde rotatie are 4 axe de simetrie – care unesc un varf cu centrul triunghiului opus si 3 axe de simetrie care unesc mijloacele a doua muchii opuse. Are 6 plane de simetrie care contin mijlocul unei muchii si muchia opusa.

6. Care sunt prismele regulate, care au centru de simetrie? Dar axe? Dar plane? Cate?

Rezolvare:

Centre de simetrie au prismele regulate cu numar par de laturi la poligonul de baza. Plane de simetrie sunt n la cele cu numar impar (n) de laturi la poligonul de baza si 2n la cele cu numar par (n) de laturi ale poligonului de baza. Axe de simetrie au numai prismele cu numar par de laturi ale bazei.

7. Aceleasi intrebari pentru piramidele regulate.

Rezolvare:

Piramidele regulate cu numar n par de laturi ale poligonului de baza au 2n plane de simetrie. Cele cu n impar, au n plane de simetrie. Ambele au o singura axa de simetrie.

8. Se dau, in spatiu, o dreapta d si doua puncte P si Q. Se iau simetricele P’ ale punctului P fata de fiecare punct al dreptei d, apoi simetricele Q’ ale fiecarui punct al dreptei d fata de Q. Sa se arate ca toate punctele P’ si Q’ sunt situate in acelasi plan cu paralel cu d.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 26

Locul geometric al lui P este o dreapta p∥d. Locul geometric a lui Q’ este o dreapta q∥d=>p∥q,deci coplanare. Atentie! Nu orice punct al acestui plan apartine acestor locuri geometrice.

9. *Un triunghi ABC, cu unghiurile B si C ascutite, se proiecteaza pe un plan α, care contine latura BC. Fie A’ proiectia lui A pe α. Sa se demonstreze ca ∢BA’C>∢BAC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 27

Rotim triunghiul ABC in jurul lui BC pana cand punctul A ajunge in planul de proiectie. Punctul A’ va fi interior triunghiului ABC, AA’⋂BC=M Exprimam unghiurile A si A’ ca sume de doua unghiuri (din care cele din A’ sunt exterioare triunghiului).

Congruenta figurilor in spatiu. Centru, axa, plan de simetrie ale unei multimi de puncte.

Congruenta figurilor in spatiu

Daca punctele unei multimi in spatiu (de pilda ale unui corp) se obtin toate din toate punctele altei multimi, aplicand o izometrie sau o compunere de mai multe izometrii*, multimile se numesc congruente si se spune ca am suprapus o multime peste cealalta.

Centru, axa, plan de simetrie ale unei multimi de puncte

Daca toate punctele unei multimi au, fata de acelasi centru de simetrie, simetricele lor tot in aceasta multime, se spune ca multimea are un centru de simetrie.

In mod asemanantor se vorbeste de axa, sau de planul, de simetrie al unei multimi de puncte (de pilda corp).

Paralelipipedul are un centru de simetrie care este intersectia diagonalelor (fig. 17.10, a) dar numai cel dreptunghic are plane de simetrie: planele mediatoare ale muchiilor (fig. 17.10, b) si axe de simetrie: dreptele care unesc mijloacele fetelor opuse (fig. 17.10, c).

Matematica Capacitate Congruenta figurilor in spatiu. Centru, axa, plan de simetrie ale unei multimi de puncte. 28
fig. 17 10

Rotatie in jurul unei axe

Se dau: o axa a si, intr-un plan perpendicular pe ea, un unghi orientat ≯θ, cu varful pe axa (fig. 17.8). Ce inseamna a roti punctul M din spatiu, cu unghiul ≯θ, in jurul axei a?

Matematica Capacitate Rotatie in jurul unei axe 29
fig. 17 8

Ducem MM’⊥α, (M’∈α). Consideram translatia de vector \vec{M\prime M}\a planului α. Planul translatat trece prin M, iar O devine, prin translatie,O’∈a. Aplicam lui M o rotatie de unghi  ≯θ in planul translatat, si M” va fi “rotitul” lui M in jurul axei a cu unghiul ≯θ.

Sa demonstram ca rotatia in jurul unei axe este o izometrie. Daca, prin rotatia de axa a si de unghi ≯θ, se duce A in A’, aceasta se scrie A^\prime=R_{\left(a,\ \theta\right)}(A).

Sa demonstram ca daca R_{\left(a,\ \theta\right)}\left(A\right)=A si R_{\left(a,\ \theta\right)}\left(B\right)=B\prime atunci AB≡A’B’. Proiectam pe planul α, pe O’B in OC si pe O’B’ in OC’ (vezi notatiile din figura 17.9).

Matematica Capacitate Rotatie in jurul unei axe 30
fig. 17 9

Rezulta: ⊿OCA≡⊿OC’A’ (cazul 1 de congruenta, unghiurile cu laturile respectiv congruente, fiind diferente dintre unghiuri congruente cu acelasi unghi). De aici rezulta congruenta triunghiurilor dreptunghice BCA si B’C’A’ (catete congruente), deci AB≡A’B’ q.e.d.

Translatie in spatiu

Fie AB un segment in spatiu, cu varfurile in ordinea scris (un vector). Sa explicam ce inseamna sa translatam un punct M in spatiu cu vectorul \vec{AB} (fig. 17.6). Consideram pentru aceasta planul α determinat de A, B, M.

Matematica Capacitate Translatie in spatiu 31
fig. 17 6

In acest plan consideram vectorul \vec{MM\prime}\equiv\vec{AB}. Spunem  ca M’ este obtinut printr-o translatie in spatiu a punctului M cu vectorul \vec{AB}. Este oare translatia in spatiu si ea o izometrie? Sa translatam cu vectorul \vec{AB} punctele M si N in M’ si N’ (fig. 17.7). Constatam ca patrulaterul MNN’M’ este un paralelogram (MM’≡NN’, MM’∥NN’, prin tranzititvitatea congruentei si paralelismului cu \vec{AB}). Rezulta, de aici, congruenta segmentelor NM≡N’M’.

Matematica Capacitate Translatie in spatiu 32
fig. 17 7

Simetria fata de o dreapta si un plan

Simetria fata de o dreapta

Fiind data in spatiu o dreapta (a), numita axa de simetrie, doua puncte (P si P’) sunt simetrice unul fata de celalalt daca axa de simetrie este mediatoarea segmentului PP’ care le uneste. Cu alte cuvinte, ducand din P perpendiculara PO pe a (O∈a) si prelungind-o cu segmentul OP’≡OP, punctul P’ se numeste simetricul lui P. Sa aratam ca simetria fata de o axa este o izometrie (pastreaza distanta).

Matematica Capacitate Simetria fata de o dreapta si un plan 33
fig. 17 3

Fie in spatiu A, A’ simetrice fata de a si B, B’ simetrice fata de a (fig.17.3). Prin Q, mijlocul segmentului BB’, ducem segmentul CC’, congruent si paralel cu AA’, astfel incat CC’ sa aiba mijlocul tot in Q. Planul determinat de CC’ si BB’ este perpendicular pe a. In acest plan, ⊿CBQ≡⊿C’B’Q’. Dar si AC≡A’C’, ca laturi opuse ale unui dreptunghi. Stiind ca AC∥A’C’∥OQ, deci AC si A’C’ sunt perpendiculare pe planul (BB’C), deci AC⊥CB, A’C’⊥C’B’. Rezulta congruenta triunghiurilor dreptunghice ACB si A’C’B’=>AB≡A’B’. Deci, simetria fata de o axa pastreaza distanta. Deci si coliniaritatea, coplanaritatea si congruenta unghiurilor.

Simetria fata de un plan

Simetricul unui punct (A) fata de un plan (α) este simetricul punctului fata de proiectia sa pe plan. Cu alte cuvinte, daca ducem AO⊥α si prelungim segmentul AO cu OA’≡AO (fig.17.4), obtinem simetricul A’ a lui A.

Matematica Capacitate Simetria fata de o dreapta si un plan 34
fig. 17 4

Sa aratam ca aceasta simetrie pastreaza si ea distanta intre doua puncte. Fie A’ simetricul lui A si B’ simetricul lui B fata de planul α. (fig.17.5). OA≡OA’, BC≡CB’, AO⊥α, BC⊥α. Evident, AA’∥BB’ (perpendiculare pe acelasi plan), deci AA’ si BB’ sunt coplanare.

Matematica Capacitate Simetria fata de o dreapta si un plan 35
fig. 17 5

Ducem AM∥OC∥A’N (M∈BC, N∈CB’). Rezulta ca ∢M1≡∢N1, m(∢M1 )=90°, AM≡A’N (paralele cuprinse intre paralele), BM=NB’ (diferente de segmente congruente). Deci ⊿AMB≡⊿A’NB’ => AB=A’B’ Consecintele 1…5 opereaza aici.

Transformari in spatiu

Dandu-se un punct, numit centru de simetrie (O) , spunem ca simetricul unui punct A din spatiu fata de O este un punct A’, astfel incat O sa fie mijlocul segmentului AA’.

In fond, definitia este asemanatoare cu cea din plan.

Matematica Capacitate Transformari in spatiu 36
fig. 17 1

Teorema. Prin simetria fata de un punct, distanta se pastreaza.

Cu alte cuvinte, daca avem doua puncte A si B si consideram simetricele lor fata de O, A’ si respectiv B’ , putem scrie congruenta segmentelor AB≡A’B’ (fig. 17.1).

Evident, segmentele AA’, BB’ sunt coplanare (au O comun). Triunghiurile AOB si A’OB’ sunt congruente (cazul I de congruenta), de unde rezulta ca AB≡A’B’. Deci simetria fata de un punct este o izometrie.

Consecinte. Prin aceasta transformare:

  1. Interiorul unui segment se transforma in interiorul segmentului transformat (segmentului simetric). Fie C un punct interior segmentului AB. Deci, AC+CB=AB. Fie C’ simetricul lui C. Daca C’ nu ar fi interior lui A’B’, atunci A’C’+C’B’>A’B’. Dar cum AC≡A’C’ si CB≡C’B’, ar rezulta ca AB>A’B’ si s-ar contrazice teorema anterioara. Deci C’ este interior segmentului AB.
  2. Simetricul unui triunghi este un triunghi congruent cu el. Evident, se pastreaza congruenta laturilor.
  3. Simetrica unei drepte este tot o dreapta. Se iau oricare trei puncte pe o dreapta d: A, B, C. Sigur unul din ele se afla intre celalalte doua, de exemplu B intre A si C. Atunci AB +BC =AC si distantele raman aceleasi, procedand prin reducere la absurd s-ar ajunge la A’C’<AC, fals…
  4. Simetricul unui unghi este un unghi congruent cu el.

Evident, simetricul varfului este varful simetricului (Apartinand ambelor drepte suport.) Luam (cu notatile din figura 17.2) B∈Ax, C∈Ay=>B’∈A’x, C’∈A’y, deci AC≡A’C’, AB≡A’B’, BC≡B’C’ => ⊿ABC≡⊿A’B’C’ => ∢A≡∢A’.

  1. Simetricul unui plan este tot un plan, se demonstreaza usor, ca o urmare a faptului ca o dreapta se transforma intr-o dreapta.
Matematica Capacitate Transformari in spatiu 37
fig. 17 2

Observatie. Cele 5 consecinte de mai sus provin numai din teorema care ne asigura pastrarea distantei, deci sunt valabile pentru orice transformare care pastreaza distanta, nu numai pentru simetria fata de un punct. Deci, in cele ce urmeaza este de ajuns sa aratam ca transformarea pe care o descriem este o izometrie, pentru ca toate consecintele sa fie valabile.

Poliedre convexe in general

Am studiat pana acum cateva poliedre particulare: prisma, piramida si trunchiul de piramida. Trunchiul de piramida a fost obtinut prin intersectia unei piramide cu un plan si “indepartarea” unei parti din piramida initila. De asemenea, in toate problemele de sectiune cu un plan a poliedrelor particulare obtinute pana acum, acest plan a determinat, de o parte si de alta a sa, doua corpuri care nu sunt neaparat ambele prisme, sau piramide, sau trunchiuri de piramida (fig. 16.1)

Matematica Capacitate Poliedre convexe in general 38
fig. 16 1

Corpurile obtinute, printr-o astfel de sectionare, pot fi si ele sectionate mai departe si apoi separate cele doua parti etc. Aceste operatii (una sau mai multe succesiv), aceste “ciopliri”, ca sa le numim asa, duc la niste corpuri pe care le vom numi poliedre convexe (fig. 16.2).

Matematica Capacitate Poliedre convexe in general 39
fig. 16 2

Ele au un numar finit de fete, care sunt poligoane convexe, iar laturile acestora se numesc muchii. O muchie (fata capete) este comuna pentru doua si numai pentru doua fete. Varfurile fetelor sunt varfurile poliedrului. Dintr-un varf pornesc tot atatea muchii cate fete. Din orice varf al poliedrului convex, la un varf se poate ajunge pe un traseu format numai din muchii.

Acestea sunt numai o parte din proprietatile poliedrelo convexe.