Probleme: Vectori

1. Desenati doua segmente orientate care sa indeplineasca doua din conditiile a, b, c si sa nu o indeplineasca pe a treia. Din cele trei variante ale acestei probleme, care este “absurda”?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 1

  • a, b si nu c.
  • a, c si nu b.
  • b, c si nu a – absurd.

2. Fie A, B, C trei puncte necoliniare. Convingeti-va ca exista un punct unic D astfel incat ABCD sa fie paralelogram. Caracterizati-l “vectorial” in doua moduri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 2

Luam \vec{CD} echivalent cu \vec{BA}. Este tot una cu a lua \vec{AD} echivalent cu \vec{BC}.

3. Daca \vec{AB} este echivalent cu \vec{A^\prime B^\prime} si \vec{BC} este echivalent cu \vec{B^\prime C^\prime}, demonstrati ca \vec{AC} este echivalent cu \vec{A^\prime C^\prime} (direct este mai greu decat s-ar parea la inceput; folositi problema rezolvata).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 3

Conform problemei rezolvate obtinem \vec{AA^\prime} echivalent cu \vec{BB^\prime} si \vec{BB^\prime} echivalent cu \vec{CC\prime}, deci \vec{AA\prime} echivalent cu \vec{CC\prime} si \vec{AC} echivalent cu \vec{A^\prime C^\prime}.

4. Intr-un paralelogram ABCD se noteaza E, F mijloacele laturilor AB, CD. In figura obtinuta gasiti toate perechile de segmente orientate echivalente, cu capetele in cate doua din punctele A, B, C, D, E, F.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 4

\vec{AB} si \vec{DC};\ \vec{AE},\ \vec{EB},\ \vec{DF} si \vec{FC};\ \vec{AD},\ \vec{EF} si \vec{BC};\ \vec{AF} si \vec{EC};\ \vec{BF} si \vec{ED} precum si cele obtinute prin “permutarea capetelor in fiecare segment orientat”.

5. In problema 4, completati figura cu inca un punct, situat pe una din dreptele AB, BC, CD, DA asa incat sa putem forma cu el un segment orientat echivalent cu \vec{AC}. In cate moduri puteti face aceasta?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 5

6 moduri:

CM_1\equiv DC, \ CM_2\equiv BC, \ CM_3=\frac{1}{2}CM_1, \ AM_4=AD, \ AM_5\equiv AB, \ \ AM_6=\frac{1}{2}AM_5, => \vec{AC} este echivalent cu \vec{BM_1}, \ \ \vec{EM_3}, \vec{DM_2}, \vec{M_4B}, \vec{M_5D}, \vec{M_6F}.

6. Un triunghi echilateral ABC are “centrul” in O. “Asezati” vectorul OA cu originea in B, apoi in C. Precizati in fiecare din cele doua cazuri pozitia “extremitatii” vectorului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 6

\vec{OA} este echivalent cu \vec{BD} echivalent cu \vec{CE}D este simetricul lui C fata de O, iar E al lui B.

7. Indicati perechi de segmente orientate echivalente pe figura formata dintr-un triunghi si mijloacele laturilor sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Vectori 7

\vec{AP},\ \vec{PB},\ \vec{NM}

\vec{AN},\ \vec{NC},\ \vec{PM}

\vec{BM},\ \vec{MC},\ \vec{PN}

Vectori

Cele aratate in paragraful precedent ne conduc la:

Definitie: Fie \vec{AB} si \vec{CD} doua segmente orientate. Spunem ca ele sunt echivalente in unul din urmatoarele doua cazuri:

  1. A=B,C=D.
  2. A≠B,C≠D si sunt indeplinite simultan conditiile:
  3. AB∥CD sau A, B, C, D sunt coliniare
  4. AB≡CD.
  5. Semidreptele AB si CD au acelasi sens.

Matematica Capacitate Vectori 8

Sa observam ca nu puteam impune conditia c atat timp cat n-ar fi fost impusa conditia a.

  • Orice segment orientat este echivalent cu el insusi;
  • daca un segment orientat este echivalent cu al doilea, atunci si acesta este echivalent cu primul;
  • doua segmente orientate echivalente cu al treilea sunt echivalente intre ele.

Matematica Capacitate Vectori 9

Definitie. Se numeste vector o multime formata din toate segmentele orientate echivalente cu un segment orientat dat.

Vectorul format din toate segmentele orientate \vec{AA} se va numi “vectorul nul”.

In vorbirea curenta vom spune “vectorul \vec{AB}” in loc de “vectorul ce contine segmentul orientat \vec{AB}” si vom spune deci ca “vectorii \vec{AB} si \vec{CD} coincid”, sau ca “sunt egali”, in loc de “segmentele orientate \vec{AB} si \vec{CD} sunt echivalente.”

Sa observam ca fiind date un segment orientat \vec{AB} si un punct C, exista un punct unic D astfel incat segmentul orientat \vec{CD} sa fie echivalent cu segmentul orientat \vec{AB}.

Matematica Capacitate Vectori 10

Anume: daca B = A, alegem D = C, iar daca A≠B atunci ducem prin C dreapta d paralela cu AB (daca A, B, C sunt coliniare, d se alege drept AB), alegem pe ea semidreapta s, de origine C si de acelasi sens cu semidreapta AB si, in fine, alegem pe s punctul D pentru care AB≡CD.

Pe scurt: orice vector se poate “aseza” astfel incat sa aiba “originea” in orice punct dorim.

Problema rezolvata

Daca \vec{AB} este echivalent cu \vec{CD}, demonstrati ca \vec{AC} este echivalent cu \vec{BD}.

Rezolvare.

Cazul 1. A, B, C nu sunt coliniare.

Datorita faptului ca semidreptele AB si CD au acelasi sens, ABCD este un patrulater. El este un paralelogram, deoarece laturile opuse AB, DC sunt paralele si congruente. Rezulta ca si AC, DB sunt paralele si congruente; de asemenea, ca semidreptele AC, BD au acelasi sens. Cele trei fapte, impreuna, afirma, conform definitiei, ca \vec{AC} si \vec{BD} sunt echivalente.

Cazul 2. A, B, C coliniare. Atunci si D situat pe aceeasi dreapta cu A, B, C si urmatorul calcul cu masuri de segmente orientate:

\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD}= \vec{AC}+(\vec{CD}-\vec{AB})=\vec{AC}

ne convinge de valabilitatea enuntului si in acest caz.

Rezultatul din aceasta problema usureaza rezolvarea catorva din problemele legate de vectori.

Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele

1. Se considera unghiurile xOy, x’O’y’ in care Ox si O’x’ sunt paralele si au acelasi sens, iar Oy si O’y’ sunt de asemenea paralele si au acelasi sens. Demonstrati ca cele doua unghiuri sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 11

Prelungim pe y’ pana intersecteaza dreapta x in M.

∢y’O’x’≡∢y’Mx (corespondente)

∢yOx≡∢y’Mx (corespondente)

=> ∢yOx≡∢y’O’x’

2.Doua unghiuri cu laturile paralele si de sensuri contrare sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 12

Doua unghiuri opuse la varf si orice alte unghiuri paralele si de acelasi sens cu unul dintre ele, este congruent cu celalalt. Ca demonstratie, ambele au acelasi suplement.

3. Doua unghiuri cu laturile paralele, doua de acelasi sens si doua de sensuri contrare, sunt suplementare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 13

Aplicam solutia din problema 1, conform desenului.

4. Considerati un triunghi ABC, alegeti pe fiecare din laturi cate o unitate de masura si un sens, considerati o paralela la BC si exprimati teorema fundamentala a asemanarii folosind numai masuri de segmente orientate.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 14

Fie MN∥BC, punctele apartinand laturilor triunghiului.

\frac{\vec{AM}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{AN}}{\vec{AC}}=\frac{\vec{MN}}{\vec{BC}}

5. Considerati doua drepte paralele, doua puncte A si B pe prima si doua puncte C si D pe a doua, si unitati de masura si sensuri pe una din cele doua drepte paralele si pe AC. Considerati un punct M pe AC si intersectia N intre paralela M la cele doua drepte si BD. Exprimati y=\vec{MN} in functie de x=\vec{AM}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 15

AD^\prime\parallel BD; y=\vec{MN}=\vec{MN^\prime}+ \vec{NN^\prime}; \frac{\vec{MN^\prime}}{\vec{CD^\prime}}= \frac{\vec{AM}}{\vec{AC}}; \vec{N^\prime N}=\vec{AB};

\vec{CD^\prime}=\vec{CD}+\vec{DD^\prime}=\vec{CD}-\vec{AB}; y=\vec{MN}=\frac{\vec{CD\prime}\cdot x}{\vec{AC}}+\vec{AB}

6. Fie A’, B’, C’, G’ picioarele perpendicularelor din varfurile A, B, C ale unui triunghi si din punctul G de intersectie al medianelor sale pe o dreapta d. Exprimati  \vec{GG^\prime} cunoscand \vec{AA\prime},\vec{BB^\prime},\vec{CC^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 16

Fie D mijlocul lui AB, D’ piciorul perpendicularei din D pe d. Avem, facand x=\frac{\vec{AC}}{2}, din problema anterioara, \vec{DD\prime}=\frac{1}{2}\cdot(\vec{AA\prime}+\vec{BB\prime}) iar facand

x=\frac{\vec{AC}}{3}, \ \vec{GG\prime}= \frac{2\vec{DD\prime}+\vec{CC\prime}}{3}= \frac{\vec{AA^\prime}+\vec{BB^\prime}+\vec{CC^\prime}}{3}

Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele

Sa consideram toate dreptele paralele cu o dreapta data, sa consideram o secanta si un semiplan determinat de acea secanta. Toate semidreptele obtinute intersectand acel semiplan cu dreptele paralele cu dreapta data le vom considera de acelasi sens.

Matematica Capacitate Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 17

Daca acum vom alege doua semidrepte situate pe doua din dreptele paralele din figura 3.8, vom spune ca semidreptele au acelasi sens daca fiecare din ele are acelasi sens cu semidreapta din figura 3.8 de pe dreapta pe care este situata, sau daca fiecare din ele este de sens contrar cu semidreapta respectiva din figura 3.8; vom spune ca semidreaptele sunt de sensuri contrare daca una din ele este de acelasi sens si cealalta de sens contrar cu semidreapta respectiva din figura 3.8 (s1 si s2 sunt de acelasi sens, t1 si t2 sunt de acelasi sens, iar r1 si r2 sunt de sensuri contrare) (fig. 3.9).

Matematica Capacitate Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 18

Sa observam ca aceste conventii nu depind nici de secanta aleasa si nici de semiplanul ales (fig. 3.10).

Matematica Capacitate Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 19

Sa observam si ca, daca incercam “sa acordam” in acelasi mod sensurile pe doua drepte concurente, nu reusim, deoarece “acordarea” va depinde de secanta folosita. (fig. 3.11)

Matematica Capacitate Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 20

Acordarea sensurilor pe toate dreptele paralele cu o dreapta data, acordare descrisa mai sus, ne permite ca, odata aleasa o unitate de masura si un sens pe o dreapta, sa masuram cu ele toate segmentele orientate situate pe drepte paralele cu dreapta data. (fig. 3.12).

Matematica Capacitate Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 21

Nu avem insa voie sa masuram cu ele segmente orientate situate pe drepte neparalele cu acea dreapta.

Aplicatie. Fie a si b doua drepte paralele, A si B doua puncte pe a, C si D doua puncte pe b. Fie M mijlocul lui AC, N mijlocul lui BD. Atunci M si N sunt situate pe o paralela la a si b si avem \vec{MN}=\frac{\vec{AB}+\vec{CD}}{2}.

Enuntul dat reprezinta o teorema, “compusa” din alte sase, indicate in figura 3.13, care corespund cazurilor A = B sau nu, C = D sau nu, AB \equivCD sau nu, semidreptele AB si CD sunt de acelasi sens sau de sensuri contrare.

Aceasta teorema nu ne face deci sa aflam nici un fapt nou. Ea este importanta deoarece reuseste sa unifice intr-un singur enunt, destul de simplu, cinci teoreme diferite (faptul ce corespunde primei figuri din 3.13 nu merita titlul de teorema). Aceasta este posibil datorita notiunilor introduse in ultimele doua paragrafe.

Matematica Capacitate Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 22

Probleme segmente orientate

1. Daca A, B, C, D sunt puncte coliniare, aratati ca \vec{AB}+ \vec{BC}+ \vec{CD}+ \vec{DA}=0

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 23

Stim ca daca A, B, C sunt puncte coliniare, avem \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC};

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0; \vec{CD}+\vec{DA}+\vec{AC}=0;

Adunam relatiile si obtinem:

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{\mathbit{CA}}+\vec{CD}+\vec{DA}+\vec{\mathbit{AC}}=0 =>\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}=0.

2. Care este relatia intre masuri de segmente orientate care defineste mijlocul lui M al unui segment (obisnuit) AB?

Rezolvare:

\vec{AM}=\vec{MB}

3. Daca segmentele (obisnuite) AB si CD au acelasi mijloc, atunci \vec{AC}=-\vec{BD}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 24

\vec{AC}=-\vec{CA}= \vec{AM}+\vec{MC}= \vec{MB}+\vec{DM}=-\vec{BD}

4. Daca \vec{AB}=\vec{CD} demonstrati ca  \vec{AC}=\vec{BD}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 25

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0; \vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DB}=0=> \vec{CA}=\vec{DB}; \vec{CA}=-\vec{AC}=\vec{DB}=-\vec{BD} =>\vec{AC}=\vec{BD}

5. Fie A, O, O’ trei puncte coliniare, fie B simetricul lui A fata de O si C simetricul lui B fata de O’. Aratati ca \vec{AC}=\vec{2\cdot O O^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 26

\vec{AO}=\vec{OB,}\ \vec{BO^\prime}=\vec{O^\prime C}; \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}= \vec{AO}+\vec{OB}+\vec{BO\prime}+\vec{O\prime C}= 2\vec{OB}+2\vec{BO\prime}= 2\vec{OO\prime}

6. A, B, C, D fiind puncte coliniare, aratati ca \vec{AB}\cdot\vec{CD}+\vec{AC}\cdot\vec{DB}+\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 27

\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}; \vec{AC}=\vec{AD}-\vec{CD}; \vec{BC}=-\vec{DB}-\vec{CD}=> \left(\vec{AD}+\vec{DB}\right)\cdot\vec{CD}+ \left(\vec{AD}-\vec{CD}\right)\cdot\vec{DB}+ \vec{AD}\cdot\left(-\vec{DB}-\vec{CD}\right)=0

A, B, M, N fiind puncte coliniare, A\neq B,M\neq B,N\neq B si \frac{\vec{MA}}{\vec{MB}}= \frac{\vec{NA}}{\vec{NB}}, aratati ca M = N.

Rezolvare:

Se aplica ceea ce s-a demonstrat in problema anterioara:

\vec{MA}\cdot\vec{NB}+ \vec{MN}\cdot\vec{BA}+ \vec{AN}\cdot\vec{BM}=0

Se inlocuieste \vec{MA} cu -\vec{NA} si, ca urmare a proportiei se deduce: \vec{MN}\cdot\vec{BA}=0, deci \vec{MA}\cdot\vec{NB}+\vec{AN}\cdot\vec{BM}=0=> \frac{\vec{MA}}{\vec{MB}}=\frac{\vec{NA}}{\vec{NB}}

Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta

Doua semidrepte de pe aceeasi dreapta pot fi de acelasi sens (cu alte cuvinte

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 28

se poate ca una sa fie inclusa in cealalta), sau de sensuri contrare (cu alte cuvinte,

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 29

in caz contrar, sau intersectia lor este interiorul unui segment, sau ele n-au nici un punct comun).

Observatie. Daca , atunci semidreptele AB si BA au sensuri contrare.

Definitie. Vom numi segment orientat o figura formata din doua puncte A, B, nu neaparat diferite, luate in aceasta ordine.

Segmentul orientat format din A si B se va nota \vec{AB}.

Deci \vec{AA} este si el un segment orientat, iar, pentru punctele ,segmentele orientate \vec{AB} si \vec{BA} sunt diferite (spre deosebire de segmentele “obisnuite AB si BA care sunt aceleasi).

Punctul A se numeste originea iar B extremitatea segmentului orientat \vec{AB}.

Definitie. Sa consideram o dreapta d; un segment (obisnuit) a pe ea si un “sens” pe d, dat printr-o semidreapta s a lui d.

Acestea fiind fixate, definim masura unui segment orientat \vec{AB} de pe d, si o notam tot cu \vec{AB}, astfel:

Cazul 1. Daca B = A, masura segmentului orientat \vec{AB} este considerata 0:\vec{AA}=0.

Cazul 2. Daca A\neq B, masura segmentului orientat \vec{AB} este egala cu lungimea segmentului (obisnuit) AB, cu semnul “+” daca semidreapta AB are acelasi sens cu s si cu semnul “-“ daca semidreapta AB are sens contrar cu s.

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 30

Deci \vec{AB}+\vec{BA}=0. Daca masurile a doua segmente orientate sunt egale si nu sunt 0 atunci segmentele (obisnuite) corespunzatoare sunt congruente. Reciproc, daca AB\equiv CD atunci avem \vec{AB}\pm\vec{CD}, semnul fiind + sau – dupa cum semidreptele AB si CD sunt de acelasi sens sau de sensuri contrare.

Teorema. Daca A, B, C sunt puncte coliniare, avem \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

Demonstratie. Va trebui sa consideram mai multe cazuri.

Cazul 1. A = B. Relatia se reduce la \vec{AC}=\vec{AC.}

Cazul 2. B = C. Analog.

Cazul 3. A= C. Relatia devine \vec{AB}+\vec{BA}=0; am observat mai sus ca este adevarata.

Cazul 4. B este intre A si C (fig. 3.5).

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 31

Semidreptele AB, BC, AC au acelasi sens deci \vec{AB},\vec{BC},\vec{AC} au acelasi semn si relatia se reduce la AB + BC = AC.

Cazul 5. A este inte B si C (fig. 3.6).

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 32

\vec{AB} si \vec{BC} au semne contrare, BC > AB, \vec{AC} are acelasi semn cu \vec{BC} si relatia se reduce la BC – AB = AC.

Cazul 6. C este intre A si B.

Se demonstreaza asemanator cu cazul 5.

Observatii. 1. In definitia masurii unui segment orientat de pe o dreapta data, putem alege dintr-o data unitatea si sensul, alegand unitatea de masura drept un segment orientat nenul, ce urmeaza sa aiba masura +1 (fig. 3.7).

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 33

2.Notiunea de masura a unui segment orientat si teorema demonstrata mai sus ne permit sa demonstram unele afirmatii fara a mai considera mai multe cazuri corespunzatoare diferitelor pozitii relative a punctelor de pe o dreapta. De exempu:

Problema rezolvata. Fie A, O, B trei puncte coliniare, fie A’ simetricul lui A fata de O iar B’ simetricul lui B fata de O. Sa se demonstreze ca A’B’\equivAB.

Rezolvare. Ipoteza se scrie \vec{OA^\prime}=\vec{AO},\vec{OB^\prime}=\vec{BO}

Demonstratie:

\vec{A^\prime B^\prime}= \vec{A^\prime O}+\vec{OB^\prime}=-\vec{OA^\prime}+\vec{OB^\prime}= \vec{AO}+\vec{BO}=\vec{BA} deci, cum am observat dupa definitia masurii unui segment orientat, A’B’\equivAB.

Probleme lungimea si aria cercului

1.Aflati aria cuprinsa intre un arc de 60° al unui cerc de raza R si coarda sa.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 34

Notam aria cautata cu A.

A=\frac{S_{C\left(O,R\right)}\cdot360}{6O}\ -S_{AOB}= \frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt3}{4}=R^2\cdot\frac{2\pi-3\sqrt3}{12}

2. Aceeasi problema pentru un arc de 240°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 35

Notam aria cautata cu A.

m\left(\sphericalangle A O B\right)=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ};\bigtriangleup AOB este isoscel; OM\bot AB

=> OM este si bisectoare si mediana;  m(∢BOM)=60°;m(∢MBO)=30°=>

OM=\frac{R}{2}; MB=\frac{R\sqrt3}{2}=> AB=R\sqrt3; S_{AOB}=\frac{R}{2}\cdot\frac{R\sqrt3}{2}= \frac{R^2\sqrt3}{4}

A=240\cdot\frac{\pi R^2}{360}+S_{AOB}= \frac{2}{3}\pi R^2+\frac{R^2\sqrt3}{4}= R^2\cdot\frac{8\pi+3\sqrt3}{12}

3. Pe cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic ca diametre se descriu cercuri ca in figura 2.40. Aratati ca aria hasurata este egala cu aria triunghiului.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 36

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 37

A_{Hasurata}=S_{ABC}+\frac{S_{C\left(O1,r1\right)}}{2}+ \frac{S_{C\left(O2,r2\right)}}{2}- \frac{S_{C\left(O,R\right)}}{2} \inline =S_{ABC}+\frac{2\pi{r_1}^2}{2}+ \frac{2\pi{r_2}^2}{2}- \frac{2\pi R^2}{2} =S_{ABC}+ \pi\left(2{r_1}^2+2{r_2}^2-2R^2\right) =S_{ABC}

4. Doua cercuri secante au razele de 10 si 7, iar distantele centrelor de 15. Aflati aria portiunii comune a celor doua cercuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 38

AM\bot OO^\prime; \ {AM}^2=100-a^2= 49-\left(15-a\right)^2  =>51=a^2-225-a^2+30a =>a=\frac{276}{30}=\frac{91}{10}; AM=\sqrt{100-91\cdot\frac{91}{100}}= \frac{1}{10}\sqrt{9\cdot191}= \frac{3}{10}\sqrt{191}=> S_{OAO^\prime}=4,15\cdot\frac{15}{2}=31,125; \ S_{OAO^\prime B}=62,25; \sin{AOM}=\frac{4,15}{10}=0,42=>

m(∢AOM)=24°=>m(∢AOB)=48°=> S_{\widehat{AOB}}=\pi\cdot100\cdot\frac{48^{\circ}}{360^{\circ}}=41,87; \sin{AO^\prime M}=\frac{4,15}{7}=0,59;

m(∢AO’ M)=36°=>m(∢AO’ B)=72°=> S_{\widehat{AO^\prime B}}=\pi\cdot49\cdot\frac{72}{360}=30,77; \ S_{hasurat}=S_{\widehat{AOB}}+S_{\widehat{AO^\prime B}}-S_{OAO^\prime B}=10,39

5. Aceeasi problema, cand distanta centrelor este 5.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 39

S_{OAO^\prime}=\sqrt{11\cdot4\cdot1\cdot6}= 2\sqrt{66}=16,25=AM\cdot OO^\prime= AM\cdot\frac{5}{2}=> AM=\frac{32,5}{5}=6,5; \sin{AOO^\prime}=0,65=>

m(∢AOO’ )=40°=>m(∢AOC)=80°;

S_{hasurata}= \pi\cdot49- \left(\ \pi\cdot100\cdot\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}}-\pi\cdot49\cdot\frac{160^{\circ}}{360^{\circ}}\right) =153,86-\left(69,77-68,38\right)= 153,86-1,39=152,47

6. Doua cercuri tangente exterioare au razele de 9 si 4. Aflati aria cuprinsa intre cele doua cercuri si una din tangentele exterioare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 40

{TT^\prime}^2=81-\left(9-4\right)^2=56=> TT^\prime=2\sqrt{14}; \ S_{TT^\prime O^\prime O}= \left(O^\prime T^\prime+OT\right)\cdot\frac{TT^\prime}{2}= 13\sqrt{14}= S_{TMAO}+S_{MT^\prime O^\prime A}= 2\cdot\frac{1}{2}\cdot9\cdot TM+2\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot MT^\prime= 9TM+4\cdot\left(2\sqrt{14}-TM\right)=> TM=\sqrt{14}; OM=\sqrt{81+14}= \sqrt{95};O^\prime M= \sqrt{16+14}=\sqrt{30}

\sin{TOM}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{95}}=0,38 =>m(∢TOM)=22°;

\sin{T^\prime O^\prime M}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{30}}=0,68 =>m(∢T’O’M)=42°;

S_{hasurata}=S_{TT^\prime O^\prime O}- \pi\cdot81\cdot\frac{22^{\circ}}{360^{\circ}}-\pi\cdot16\cdot\frac{42^{\circ}}{360^{\circ}}=

=48,64-15,54-5,86=27,24

7. Aflati aria hexagonului regulat de latura a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 41

m\left(\sphericalangle AOB\right)=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ} =>⊿AOBeste echilateral

S_{hexagon}=6\cdot S_{AOB}=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^23\sqrt3}{2}

8. Aflati perimetrul figurii 2.41, daca raza cercului este 6 si distanta de la centru la varf este 12.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 42

 

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 43

{AM}^2=144-36=108=>AM=6\sqrt3;.

AO=\frac{AM}{2} => m(∢AMO)=30° => m(∢AOM)=60°; m(∢AOB)=120°;

P=L_{cerc}-L_{arc\ AB}+2\cdot AM= 12\pi-12\pi\cdot\frac{120}{360}+12\cdot\sqrt3= 8\pi+12\cdot\sqrt3

9. Care este lungime curelei de transmisie din figura 2.42?

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 44

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 45

O'M=\sqrt{225-9}=4\sqrt{54};  \ L=7\pi+4\pi+8\sqrt{54}= 12\pi+8\sqrt{54}

10. Aflati lungimea si aria unui semicerc. Desenati.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 46

m(∢AOB)=180°;

S_{semicerc}=\pi r^2\cdot\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi r^2}{2}; L_{semicerc}=2\pi r\cdot\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi r

11. Calculati aria din figura 2.43 (hasurata) precum si perimetrul figurii hasurate, razele celor trei cercuri fiind toate egale cu 2.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 47

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 48

Triunghiul OO’O’’ are toate laturile de 4 => este echilateral =>

 m(∢O’OO”)=60°=>

S_{sectorului\ de\ cerc}=4\pi\cdot\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{2}{3}\pi=> S_{hasurata}= S_{O^\prime O O^{\prime\prime}}-3\cdot S_{sectorului\ de\ cerc}= 16\cdot\frac{\sqrt3}{4}-2\pi=4\sqrt3-2\pi

12. Aceeasi problema pentru figura hasurata 2.44.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 49

Rezolvare:

Suprafata cautata este aria unui patrat cu latura de 6 minus 4 sferturi de cerc cu raza de 3, arcele avand masura de 90° (ceea ce reprezinta un cerc de raza 3).

S_{hasurata}=36-9\pi

 

Lungimea si aria cercului

Nu vom demonstra in aceasta sectiune formulele pentru lungimea si aria cercului ci doar vom arata un mod intuitiv de a ajunge la ele.

Sa consideram doua poligoane regulate convexe cu acelasi numar de laturi, de exemplu doua octogoane, inscrise fiecare in cate un cerc.

Matematica Capacitate Lungimea si aria cercului 50

Sa notam cu P, p perimetrele lor, cu R, r razele cercurilor in care sunt inscrise.

Avem \frac{P}{p}=\frac{8\cdot A B}{8\cdot A\prime B\prime}=\frac{AB}{A\prime B\prime}=\frac{R}{r}, ca urmare a faptului ca \bigtriangleup AOB\sim \bigtriangleup A\prime O\prime B\prime, (cazul 1, de exemplu: \frac{CA}{O\prime A\prime}=\frac{OB}{O\prime B\prime}, \sphericalangle AOB=\frac{360^{\circ}}{8}=\sphericalangle A\prime O\prime B\prime ).

Daca am considera in loc de octogoane, poligoane cu un numar foarte mare de laturi inscrise in aceleasi cercuri, relatia \frac{P}{p}=\frac{R}{r} ar ramane adevarata, iar P ar fi “aproape” de lungimea L a cercului de raza R, p ar fi “aproape” de lungimea l a cercului de raza r.

Obtinem, schimband mezii intre ei, \frac{L}{R}=\frac{l}{r} , adica: raportul dintre lungimea unui cerc si raza sa este acelasi pentru toate cercurile.

Acest raport constant se noteaza cu 2∙π; valoarea aproximativa a lui π este 3,14159… π este un numar irational; nici el nu se “masoara” ci se determina de exemplu prin formala, ce contine o suma infinita:

\pi=2\cdot\sqrt3\cdot(1-\frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{5\cdot3^2}-\frac{1}{7\cdot3^3}\ldots).

Lungimea L a unui cerc, de raza R este egala cu 2 π inmultit cu R, adica L=2 πR.

Sa revenim la figura 2.37 si sa notam cu Q lungimea liniei ABC formata din trei laturi ale octogonului. Avem \frac{Q}{P}=\frac{3AB}{8AB}=\frac{3}{8}=\frac{m(\sphericalangle A O C)}{360^{\circ}}=\frac{A\widehat{BC}}{360^{\circ}}, relatie ce ramane adevarata chiar daca arcul ABC ar fi mare (prin ABC intelegem masura, in grade, a arcului ABC).

Sa pastram punctele A si C fixe si sa consideram in loc de octogon, un poligon regulat cu un numar mare de laturi, inscris in acelasi cerc, avand A si C printre varfurile sale (pentru aceasta numarul laturilor sale il vom alege un multiplu de 8). Relatia \frac{Q}{P}=\frac{A\widehat{BC}}{360^{\circ}} va ramane valabila si pentru acest poligon; Q va fi “aproape” de lungimea M a arcului ABC, iar P va fi, ca mai inainte “aproape” de lungimea L a cercului de raza R. Obtinem \frac{M}{L}=\frac{A\widehat{BC}}{360^{\circ}},de unde deducem:

Lungimea unui arc de cerc de masura u dintr-un cerc de raza R este data de formula {\color{Blue} \frac{u\pi R}{360^{\circ}}} (u fiind exprimata in grade).

Matematica Capacitate Lungimea si aria cercului 51

Sa revenim din nou la figura 2.37 si sa consideram aria octogonului AB ∙ C…Ea este egala cu {8\cdot S}_{AOB}=\frac{8\cdot A B\cdot O M}{2}=\frac{P\cdot O M}{2}. Pana aici demonstratia este riguroasa si ne conduce la:

Teorema. Aria unui poligon regulat convex este egala cu jumatatea produsului dintre perimetrul si apotema poligonului.

Daca vom considera un poligon regulat cu numar foarte mare de laturi, inscris in cercul de raza R, atunci perimetru sau va fi “aproape” de lungimea cercului, iar apotema “aproape” de raza cercului. Ajungem la concluzia ca aria unui cerc este egala cu jumatate din produsul dintre lungime si raza sa, adica \frac{2\pi R\cdot R}{2}: Aria unui cerc de raza R este egala cu {\color{Blue} \pi R^2}.

In fine, sa consideram, in figura 2.37, aria poligonului AB…CO. Ea este egala cu de trei ori aria triunghiului AOB, deci cu \frac{3}{8} din aria octogonului regulat; raportul \frac{3}{8}  este tot una cu raportul dintre masura arcului ABC si 360°. Tinand punctele A si C fixe si marind mult numarul laturilor poligonului regulat (acest numar ramanand multiplu de 8), aria poligonului considerat AB…CO va fi “aproape de aria marginita de razele OA, OC si arcul ABC etc. Ajungem la:

Definitie. Se numeste sector circular figura formata dintr-un arc al unui cerc si din razele acelui cerc cu capetele in captele arcului.

Matematica Capacitate Lungimea si aria cercului 52

Si la:

Aria unui sector circular al unui cerc de raza R ce coresunde unui arc de masura u (exprimata in grade) este data de formula \frac{u\pi R^2}{360^{\circ}}.

Observatie: Cuvintele “multe”, “aproape”, nu au sens matematic. Ele sugereaza numai un rationament, mai rafinat, ce nu l-am precizat aici.

Probleme poligoane regulate

1.In triunghiul echilateral ABC de latura a (fig. 2.29) se iau punctele N,M\in AB,N^\prime,P^\prime\in AC. Determinati x in functie de a astfel ca hexagonul MM’PP’N’N sa fie regulat.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 53

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 54

In cazul unui hexagon regulat, unghiurile sale vor avea masura de 120°. =>

m(∢NMM’ )=120°=>m(∢AMM’ )=60°=>⊿AMM’ este echilateral.

De asemenea, toate triunghiurile din figura sunt echilaterale si congruente.=>

AM=NM=NB=x=\frac{a}{3}

2.Patratului din figura 2.30, de latura a i se “taie colturile” in asa fel incat “sa ramana” un octogon regulat. Sa se calculeze latura x a octogonului in functie de latura a patratului.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 55

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 56

Unghiul unui octogon regulat este de 135° =>

m(∢AUM)=m(∢AMU)=45°=>⊿UAMeste dreptunghic isoscel.

m(∢DTS)=m(∢TSD)=45°=>⊿TDS este dreptunghic isoscel.

UM=UT=TS; AD=UA+UT+TD= \sqrt{\frac{x^2}{2}}+x+\sqrt{\frac{x^2}{2}}= x+\frac{2x}{\sqrt2}= x\left(1+\sqrt2\right)=a=> x=\frac{a}{\left(1+\sqrt2\right)}.

3.Cunoscand l_n si R, calculati a_n.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 57

a_n=\sqrt{R^2-\frac{l_n^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4R^2-l_n^2}

4.Folosind patratul inscris in cerc de raza R, calculati latura octogonului convex inscris in cerc in functie de R.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 58

Stiind ca latura patratului este R\sqrt2 => l_8=\sqrt{\left(R-R\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+{(R\cdot\frac{\sqrt2}{2})}^2}= R\sqrt{\frac{4+2-4\sqrt2+2}{4}}= R\sqrt{2-\sqrt2}

5.Pe laturile hexagonului ABCDEF se construiesc in afara patrate, si in varfurile hexagonului, cu doua laturi ale acestor patrate ca laturi, triunghiuri echilaterale de tipul lui BHI. Sa se precizeze ce fel de poligon este GHIJKLMNOPRS (fig. 2.31).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 59

Rezolvare:

Avand toate laturile congruente, este un poligon regulat cu 12 laturi.

6.Precizati natura poligoanelor regulate pentru n=7. Cate “tipuri” de heptagoane stelate exista?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 60

7.Precizati natura poligoanelor regulate corespunzatoare impartirii cercului in 21 arce egale. Faceti tabelul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 61

8.Sa se stabileasca masura unui unghi al unui dodecagon regulat convex. (n=12).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 62

Unghiul la centru corespunzator unei laturi are 30°. Deci unghiul dodecagon are \frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}\cdot 2=150^{\circ}.

9.Daca un poligon are toate laturile congruente este oare regulat?

Rezolvare:

Nu. Rombul are toate laturile congruente si nu este un poligon regulat.

10.Daca un poligon are toate unghiurile congruente este oare regulat?

Rezolvare:

Nu. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si nu este un poligon regulat.

11.Gasiti numarul diagonalelor unui octogon regulat convex. Era necesar sa precizam ca poligonul este regulat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 63

Numarul de varfuri / 2 = 4 diagonale.

12.Sa se demonstreze ca in orice poligon regulat convex se poate inscrie un cerc, adica se poate construi un cerc tangent la toate laturile sale. Sa se arate ca centrul cercului inscris coincide cu cel al cercului circumscris poligonului regulat convex.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 64

Toate triunghiurile formate sunt isoscele; avand laturile congruente, putem sa inscriem poligonul regulat convex intr-un cerc, avand raza egala cu latura triunghiurilor. Triunghiurile fiind isoscele si congruente, inaltimile corespunzatoare laturilor poligonului sunt si ele congruente, ele fiind raza cercului inscris.

O problema cu un enunt deosebit. Sa punem intai problema construirii cu rigla si compasul a unui segment de lungime \sqrt{n} unde n este orice numar natural. Stim sa construim pe \sqrt{2} cunoscand segmentul unitate. (fig. 2.32)

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 65

SPIRALA LUI ARHIMEDE. Pe segmentul AB=1 ducem perpendiculara BB1=1. Segmentul AB1=\sqrt{2}. Pe AB1 ducem perpendiculara B1B2=1 si continuam cu acelasi procedeu: B_2B_3\bot AB_2 (B_2B_3=1) etc. Din teorema lui Pitagora rezulta \inline AB_2=\sqrt3, AB_3=\sqrt4=2, AB_4=\sqrt5 etc. Presupunand construit segmentul AB_{n-2}=\sqrt{n-1}, construim AB_{n-1}=\sqrt n. Procedeul duce la construirea lui \sqrt{n} prin “recurenta”, adica folosindu-ne de constructia prealabila a segmentelor \sqrt2,\sqrt3,\ldots,\sqrt{n-1}.

Problema[1]. Dandu-se un cerc de centru O cunoscut, sa se gaseasca numai cu compasul varfurile unui patrat inscris in el.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 66

Daca reusim, raza R fiind data, sa putem “cuprinde” in compas un segment R\sqrt2 , am reusit constructia (fig.2.33). Ca in orice problema de constructie, sa consideram problema rezolvata: pornind dintr-un punct arbitrar A, consideram varfurile consecutive ale hexagonului regulat inscris in cerc, B, C, D. Deci segmentul AC=R\sqrt3. Cu o deschidere de compas cat AC si centrul in A si apoi in D, trasam doua arce de cerc care se intersecteaza in M. Considerand triunghiul dreptunghic AMO, segmentul OM=R\sqrt2.

Deci construim intai varfurile trapezului A, B, C, D, apoi cu “deschiderea” AC si centrele A, D trasam arcele de cerc care se intersecteaza in M, “prindem” in compas distanta OM si o “purtam” pe cerc de trei ori. Obtinem astfel varfurile patratului cautat.

Problema rezolvata 1. Sa se arate ca daca doua numere pozitive au suma constanta, produsul lor este maxim cand ele sunt egale.

Vom incerca sa gasim o solutie geometrica a acestei probleme. Pentru aceasta putem sa o formulam in felul urmator:

Sa se demonstreze ca din toate dreptunghiurile cu perimetru constant, aria cea mai mare o are patratul.

Comparam patratul ABCD de latura a cu dreptunghiul DEFG cu lungimea DG = a + x si latimea ED = a – x. (fig. 2.34)

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 67

Evident ambele au acelasi perimetru. Cu notatiile din figura, ca sa comparam ariile patratului ABCD cu a dreptunghiului DEFG revine la a preciza care din ariile dreptunghiurilor ABHE si HFGC este mai mare. Ambele dreptunghiuri au cate o latura x. Dreptunghiul II are cealalta latura cu x mai mica decat o are dreptunghiul I. Deci dreptunghiul II are aria mai mica.

Sa spunem si altfel:

Aria lui ABHE este x∙a. Aria dreptunghiului HFGC este x∙(a-x) = ax – x2. Vizibil aria lui EFGD este mai mica decat a patratului ABCD pentru ca ax\geq ax-x^2 solutie evidenta. (Egalitate am avea daca x = 0).

Problema rezolvata 2. Sa se arate ca daca doua numere pozitive au produsul constant, suma lor este minima cand ele sunt egale.

Vom porni de la problema precedenta: in figura pe care am facut-o pentru ca s-o rezolvam, patratul ABCD si dreptunghiul DGFE au acelasi perimetru si ariile difera pentru ca dreptunghiul (II) este mai mic decat dreptunghiul (I). Deci adaugam la dreptunghiul II dreptunghiul cu interior hasurat (III) FBMG astfel incat dreptunghiul (I) si dreptunghiul CMNH sa devina echivalente. (fig. 2.35).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 68

Deci patratul ABCD si dreptunghiul EDMN sunt echivalente (produsele DM ∙ MN si AB ∙ AD sunt egale), dar perimetrele lor difera, cel al patratului este mai mic deci 2\cdot(DM+MN)\geq2\cdot(AB+AD).

O alta solutie la aceasta problema se poate da prin puterea punctului interior: dintre toate corzile care trec prin M, in cercul de centru O, cea mai scurta este AB\bot OM (fig. 2.35).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 69

Intr-adevar oricare alta coarda A’B’ care trece prin M are distanta ON < OM deci B^\prime N^2=R^2-ON^2> R^2-OM^2=BM^2  deci 2\cdot B^\prime N^2>2\cdot BM, deci A^\prime B^\prime>AB adica B^\prime M+MA^\prime>AM+MB. Dar aplicand puterea punctului M,AM\cdot MB=A^\prime M\cdot MB^\prime=  constant si problema este demonstrata!

[1]Problema data la etapa pe municipiul Bucuresti a Olimpiadei din 1978.

 

 

Poligoane regulate

Definitie. Numim poligon regulat un poligon cu toate laturile congruente si toate unghiurile congruente intre ele.

Daca printr-un procedeu oarecare impartim un cerc in n (n≥3 arce egale si ducem corzile care subintind pe fiecare dintre ele, unind punctele de diviziune succesive, obtinem un astfel de poligon.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 70

 

Unghiurile unui poligon regulat sunt congruente fiind inscrise in arce de masuri egale cu \frac{360^{\circ}}{2}\cdot \left ( n-2 \right ) iar laturile sunt congruente subintinzand arce de aceeasi masura: \frac{360^{\circ}}{n}.

Am pornit prin a constata ca astfel de poligoane regulate nu exista. Sa demonstram urmatoarea:

Teorema. Orice poligon regulat se poate inscrie intr-un cerc.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 71

Demonstratie. Daca ∢A1≡∢A2≡∢A3≡…≡∢An si laturile A_1A_2\equiv A_2A_3\equiv A_3A_4 \equiv\ldots\equiv A_mA_n ducem mediatoarele laturilor A_1A_2 si A_2A_3 (vezi figurile 2.23 si 2.24 si notatiile de acolo). Mediatoarele M_1O si M_2O se intalnesc in O. (Daca nu s-ar intalni, ar insemna ca sunt paralele deci ca m(∢A1A2A3)=180° ceea ce este absurd). Triunghiurile ∆M1A2O≡∆M2A2O (M1 si M2 fiind mijloacele laturilor A_1A_2 respectiv A_2A_3). Rezulta ca {OA}_2 este bisectoarea unghiului ∢A_1A_2A_3. M_2O fiind mediatoare, segmentele {OA}_2\equiv{OA}_3 . Ducem  {OM}_3\bot A_3A_4 . Triunghiurile ∆OA_3M_2\equiv ∆OA_3M_3 pentru ca ipotenuza {OA_3} este aceeasi si ∢M2A3O este jumatate din unghiul poligonului, deci congruente cu ∢OA_3M_3. Rezulta ca si M_2A_3\equiv A_3M_3{M_2A_3}\equiv A_3M_3, deci {OM_3} este mediatoarea segmentului A_3A_4 deci {OA}_3\equiv{OA}_4 . La fel se arata ca {OA}_4\equiv{OA}_5 etc. Deci toate punctele A_1,A_2,A_3,\ldots,A_n sunt egal departate de O. Teorema este demonstrata. Acest punct O se va numi centrul poligonului regulat.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 72

Vom nota latura poligonului regulat cu n laturi cu ln (fig. 2.25). Stiind ca un unghi la centru care subintinde o latura de poligon regulat are \frac{360^{\circ}}{n}  si cunoscand raza R a cercului circumscris poligonului, putem calcula AM (unde M este mijlocul laturii AA’). AM=R\cdot sin\frac{360^{\circ}}{n} , deci l_n=2\cdot R\cdot sin \frac{360^{\circ}}{n}. Segmentul OM dus din centru, perpendicular pe latura in punctul M se va numi apotema poligonului regulat. O vom nota cu an, si a_n=R\cdot cos \frac{180^{\circ}}{n}.

Daca lucrurile par simple presupunand deja facuta impartirea unui cerc in arce egale, exista totusi anumite dificultati de constructie. De pilda s-a demonstrat ca impartirea unui cerc in 7 arce egale nu se poate face cu rigla si compasul (aceasta demonstratie tine de algebra si nu de geometrie).

Vom gasi ca unghiul la centru corespunzator laturii unui hexagon regulat este de 60° (fig. 2.26).

Matematica Capacitate Poligoane regulate 73

De aici rezulta un procedeu simplu de constructie a sa. Toate triunghiurile avand un varf in centrul hexagonului si ca latura opusa lui, laturile hexagonului, sunt triunghiuri echilaterale. Deci latura masoara cat raza: l_6=R. Impartim un cerc in 6 parti egale luand un punct A pe cerc drept centru si cu o “deschidere” a compasului cat R, trasand B si F (fig.2.27).

Matematica Capacitate Poligoane regulate 74

Mutand apoi succesiv centrul cercului obtinem si celelalte puncte de diviziune, varfurile hexagonului cautat. Observam ca este suficient sa gasim cu compasul numai trei puncte consecutive A, B, F, si pe celelalte le aflam ducand diametrele cu aceste extremitati. Apotema a_6=\frac{R\cdot\sqrt3}{2} .

Daca unim din doua in doua varfurile unui hexagon, de pilda, A, C, E, obtinem un triunghi echilateral. Calculand din formulele laturilor si apotemelor obtinem L_3=R\sqrt3 si a_3=\frac{R}{2}.

La patrat (poligon regulat cu patru laturi), unghiul la centru corespunzator este de 90°. Aplicand formulele obinem L_4=R\sqrt2 si a_4=R\frac{\sqrt2}{2}.

Poligoane regulate stelate

Daca impartim cercul in cinci arce egale si unim punctele de diviziune din doua in doua, segmentele AC, CE, EB, BD, Da vor fi laturile unui “poligon” regulat de un tip anumit: Laturile lui se intersecteaza si in interiorul cercului. Acest “Poligon” se numeste stelat. (fig. 2.28).

Matematica Capacitate Poligoane regulate 75

(El este un poligon regulat concav.)

Atunci cand am facut afirmatia ca orice poligon regulat are varfurile pe cerc, demonstratia de mai sus era valabila si pentru “poligoane” stelate: nu s-a intrebuintat nicaieri in demonstratie faptul ca poligonul ar fi convex. Trebuie numai sa consideram laturile complete, nu portiuni din ele, cu varfurile lui, extremitatile laturilor, asezate pe cerc.

O prima constatare: Presupunem ca un cerc a fost impartit intr-un numar par de arce egale si ducem ca laturi coardele sarind peste cate un punct de diviziune. Obtinem un poligon regulat cu numar de laturi de doua ori mai mic. De pilda unind varfurile unui hexagon regulat din doua in doua, obtinem un triunghi echilateral. Se pune deci problema “simplificarii” cu un factor comun al numarului de diviziuni in care am impartit cercul si al “pasilor” – arcuri pe care “ii sarim” cand ducem corzile – laturi.

Sa presupunem ca am impartit un cerc in 14 arce egale. Facem un tabel in care apare ca fractie ireductibila raportul dintre numarul de arce initiale si al “pasilor sariti”. In functie de acesta vom preciza natura poligonului obtinut. Notam cu n numarul de diviziuni initiale, cu k “pasii” (arcele subintinse de o coarda) si cu f fractia ireductibila obtinuta din simplificarea raportului n/k.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 76

Am oprit aici tabelul. Daca k=8, atunci n-k=6 si este ca si cum am fi inceput sa socotim de la punctul initial pe cerc in celalalt sens. Daca in loc de 14 am fi avut un numar impar de diviziuni initiale, de exemplu 2p+1, ne opream la k=p; de exemplu n=17 ne opream la k=8.

Alta constatare: daca fractia ireductibila este un numar intreg, poligonul este convex. Daca numitorul lui f nu este 1 atunci poligonul este stelat si anume steaua area atatea “colturi” cat arata numaratorul.

Deci nu toate poligoanele stelate cu acelasi numar de colturi sunt “asemenea”. Heptagonul din coloana a IV-a difera de cel din coloana a VI-a.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 77

Tabelul ar deveni mai usor de retinut daca am adauga la a_3 si l_6 cate un factor  \sqrt1 pe langa R; ultimele doua linii din tabel nu trebuie memorate.