Volumul unei prisme triunghiulare

Inainte de a-l defini, vom face urmatoarea constatare:

Doua tetraedre, avand doua fete respectiv congruente si inaltimile corespunzatoare congruente, au volume egale. (fig.13.1).

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 1

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 2
fig. 13 1

Sa demonstram urmatoarea:

Lema. O prisma triunghiulara se poate descompune in trei tetraedre echivalente (cu acelasi volum).

Consideram prisma triunghiulara ABCA’B’C’, si prin punctele C, A’, B’ ducem o sectiune plana. Vom obtine astfel doua corpuri: tetraedrul CA’B’C’ si corpul ABCA’B’ (fig.13.2). Vom nota tetraedrul cu P1.

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 3
fig. 13 2

Ne vom ocupa, acum, de cel de-al doilea corp. Sectionand corpul ABCA’B’ cu A’, C, B, vom nota cele doua tetraedre obtinute (fig 13.3) cu P2 si cu P3 (tetraedrul ACBA’ este P2 si A’B’BC este P3).

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 4
fig. 13 3

Am obtinut astfel trei tetraedre (fig. 13.4). Ele sunt echivalente doua cate doua: P1≈P2deoarece au bazele ABC si A’B’C’ triunghiuri congruente si inaltimea corespunzatoare lor aceeasi (este in fond inaltimea prismei, adica distanta dintre planele bazelor ei).

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 5
fig. 13 4

P2≈P3 pentru ca au doua baze respectiv congruente ABA’ si BA’B ca jumatati din acelasi paralelorgram si aceeasi inaltime: distanta de la C la planul paralelorgramului ABB’A’. Deci, P1≈ P2≈P3 si teorema este demostrata pentru prisma triunghiulara.

Aceasta nu este insa singurul mod de a imparti prisma in tetraedre echivalente. Expresia volumului lui P1 si egalitatea celor trei volume ne conduce sa afirmam ca:

Volumul unei prisme triunghiulare este egal cu produsul dintre aria bazei si inaltime.

Orice prisma poate fi impartita intr-un numar de prisme triunghiulare: ducem in planele bazelor, doua din varfuri de pe aceeasi muchie laterala (de pilda A, A’), toate diagonalele bazelor. Cu sectiunile pe care le determina doua astfel de diagonale paralele (fig.13.5), (de exemplu AC si A’C’) separam prisma in mai multe prisme triunghiulare (n-2, daca n este numarul laturilor poligonului de baza).

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 6
fig. 13 5

Volumul prismei mari este suma volumelor acestor prisme triunghiulare, si cum inaltimile lor sunt egale, putem spune ca: Volumul unei prisme este egal cu aria bazei inmultita cu inaltimea.

Vpr = Abazei ∙ h

Volumul paralelipipedului dreptunghic este deci egal cu produsul dimensiunilor sale. (fig.13.6), iar al cubului cu muchia la cub (fig.13.7).

Matematica Capacitate Volumul unei prisme triunghiulare 7
fig. 13 6; fig 13 7

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.