Vectori

Cele aratate in paragraful precedent ne conduc la:

Definitie: Fie \vec{AB} si \vec{CD} doua segmente orientate. Spunem ca ele sunt echivalente in unul din urmatoarele doua cazuri:

  1. A=B,C=D.
  2. A≠B,C≠D si sunt indeplinite simultan conditiile:
  3. AB∥CD sau A, B, C, D sunt coliniare
  4. AB≡CD.
  5. Semidreptele AB si CD au acelasi sens.

Matematica Capacitate Vectori 1

Sa observam ca nu puteam impune conditia c atat timp cat n-ar fi fost impusa conditia a.

  • Orice segment orientat este echivalent cu el insusi;
  • daca un segment orientat este echivalent cu al doilea, atunci si acesta este echivalent cu primul;
  • doua segmente orientate echivalente cu al treilea sunt echivalente intre ele.

Matematica Capacitate Vectori 2

Definitie. Se numeste vector o multime formata din toate segmentele orientate echivalente cu un segment orientat dat.

Vectorul format din toate segmentele orientate \vec{AA} se va numi “vectorul nul”.

In vorbirea curenta vom spune “vectorul \vec{AB}” in loc de “vectorul ce contine segmentul orientat \vec{AB}” si vom spune deci ca “vectorii \vec{AB} si \vec{CD} coincid”, sau ca “sunt egali”, in loc de “segmentele orientate \vec{AB} si \vec{CD} sunt echivalente.”

Sa observam ca fiind date un segment orientat \vec{AB} si un punct C, exista un punct unic D astfel incat segmentul orientat \vec{CD} sa fie echivalent cu segmentul orientat \vec{AB}.

Matematica Capacitate Vectori 3

Anume: daca B = A, alegem D = C, iar daca A≠B atunci ducem prin C dreapta d paralela cu AB (daca A, B, C sunt coliniare, d se alege drept AB), alegem pe ea semidreapta s, de origine C si de acelasi sens cu semidreapta AB si, in fine, alegem pe s punctul D pentru care AB≡CD.

Pe scurt: orice vector se poate “aseza” astfel incat sa aiba “originea” in orice punct dorim.

Problema rezolvata

Daca \vec{AB} este echivalent cu \vec{CD}, demonstrati ca \vec{AC} este echivalent cu \vec{BD}.

Rezolvare.

Cazul 1. A, B, C nu sunt coliniare.

Datorita faptului ca semidreptele AB si CD au acelasi sens, ABCD este un patrulater. El este un paralelogram, deoarece laturile opuse AB, DC sunt paralele si congruente. Rezulta ca si AC, DB sunt paralele si congruente; de asemenea, ca semidreptele AC, BD au acelasi sens. Cele trei fapte, impreuna, afirma, conform definitiei, ca \vec{AC} si \vec{BD} sunt echivalente.

Cazul 2. A, B, C coliniare. Atunci si D situat pe aceeasi dreapta cu A, B, C si urmatorul calcul cu masuri de segmente orientate:

\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD}= \vec{AC}+(\vec{CD}-\vec{AB})=\vec{AC}

ne convinge de valabilitatea enuntului si in acest caz.

Rezultatul din aceasta problema usureaza rezolvarea catorva din problemele legate de vectori.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.