Unghiuri orientate

Acest paragraf este asemanator ca idee celor privind segmentele orientate de pe aceeasi dreapta si de pe drepte paralele; aici insa situatia nu ne conduce la notiuni ce au complexitatea notiunii de vector.

Daca privim foata de hartie “de deasupra”, asa cum facem de obicei, atunci, relativ la orice semidreapta, unul din semiplanele determinate de dreapta pe care ea este asezata ne apare “la stanga” semidreptei, iar celalalt “la dreapta” semidreptei.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 1

Daca insa am “intoarce foaia” si aceasta ar fi transparenta, situatia s-ar schimba: semiplanul ce aparea “la stanga” semidreptei ar aparea acum “la dreapta” ei si invers.

In cele ce urmeaza vom presupune ca “ne-am fixat pozitia” din care privim planul si deci am precizat, pentru orice semidreapta, care este semiplanul de la stanga ei si care este cel de la dreapta ei.

In legatura cu aceasta, sunt valabile urmatoarele proprietati:

a. Daca doua semidrepte s si t au aceeasi origine si daca t este situata in semiplanul de la stanga lui s, atunci s este situata in semiplanul de la dreapta lui t.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 2

b. Daca s si s’ sunt cele doua semidrepte diferite, cu originea in O situate pe dreapta d, atunci semiplanul de la stanga lui s este tot una cu semiplanul de la dreapta lui s’.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 3

c. Daca Ox, O’x’ sunt semidrepte paralele de acelasi sens, daca Oy, O’y’ sunt de asemenea doua semidrepte paralele de acelasi sens si daca Oy este situata in semiplanul de la stanga lui Ox, atunci O’y’ este situata in semiplanul de la stanga lui O’x’.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 4

Observatie. Am prezentat notiunile din acest paragraf, ca si din cel asupra semidreptelor de acelasi sens si de sensuri contrarii, la nivelul intuitiv.

Definitie. Prin unghi orientat vom intelege o figura formata din doua semidrepte h, k cu aceeasi origine, nu neaparat diferite, considerate in aceasta ordine. Il vom nota ≯(h,k).

Deci: ≯(h,k) este si el un unghi orientat, iar, pentru h≠k unghiul orientat ≯(h,k) este diferit de unghiul orientat ≯(k,h).

Definitie. Prin masura unui unghi orientat ≯(h,k) notata tot cu ≯(h,k) vom intelege:

  1. 0° daca h = k.
  2. +180° sau -180° daca unghiul (obisnuit) ∢(h,k) este alungit.
  3. In celelalte cazuri, masura unghiului (obisnuit) ∢(h,k), luata cu semnul + daca k este in semiplanul de la stanga lui h si cu semnul – daca k este in semiplanul de la dreapta lui h.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 5

Observatii.

  1. Conventia de la c in legatura cu semiplanele n-avea sens in cazurile a si b; de aceea a trebuit sa le consideram separat.
  2. In cazul b din definitie, facem o conventie care se poate enunta si astfel: in calculele cu masuri de unghiuri orientate, consideram totdeauna ca 360° = 0°. Aceasta este o situatie asemanatoare cu cea in care suntem interesati in aritmetica, de resturile impartirilor numerelor cu 4, de exemplu. In studiul acestor resturi scriem 4 = 0 (mod 4) si nu 4 = 0, +2 = -2 (mod 4) si nu +2 = -2. Aici vom scrie de exemplu, + 180° = -180° (mod 360°).

Reamintim ca a = b (mod c), unde a, b, c sunt numere intregi, inseamna ca c divide pe a-b. In cazul nostru u = v (mod 360°) inseamna: catul (u-v)/360°  este un numar intreg.

  1. Oricare ar fi o masura de unghi u si o semidreapta h, exista o semidreapta unica k, cu aceeasi origine ca si h, astfel incat ≯(k,h)=u(mod360°).

Daca pentru -180°≤u≤180° aceasta se poate intelege prin figura 3.21, sa consideram cazul u = 1000°. Avem 1000° = 3 ∙ 360° – 80 = -80°(mod 360°), conform conventiei explicate la punctul 2. Deci problema, in acest caz, se rezolva ca in figura 3.22.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 6

Un caz mai familiar este u = 280°, de exemplu, in care scriem u = 360° – 80°-80° (mod 360°) si care se rezolva deci tot “prin figura 3.22”).

  1. Daca privim planul “din partea cealalta” atunci toate masurile tuturor unghiurilor orientate apar cu semne schimbate.

Urmatoarea teorema are aceeasi importanta ca si cea asemanatoare de la segmente orientate pe aceeasi dreapta: permite calcule si demonstratii fara a mai face figura, fara a mai considera toate cazurile ce pot aparea ca urmare a pozitiilor diferitelor semidrepte unele fata de altele. Bineinteles ca in demonstratia ei va trebui sa consideram toate aceste cazuri, cu toata “harnicia”.

Teorema. Daca u, v, w sunt trei semidrepte cu aceeasi origine, atunci ≯(u,w)≡≯(u,v)+≯(v,w)(mod360°).

Demonstratie.

Cazul 1. u = v sau v = w. In acest caz relatia este evidenta unul dintre numerele din partea dreapta fiind 0°….

Cazul 2. u = w. Relatia se reduce la ≯(u,v)=-≯(u,v); ea rezulta din definitia masurii unghiului orientat si din proprietatea a, ilustrata in figura 3.18.

Cazul 3. Unghiul ≯(u,w) este alungit, iar celelalte doua nu sunt nule.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 7

In ambele situatii, relati rezulta din ≯(u,v)+≯(u,w)=180°.

Cazul 4. Unghiul ≯(u,w) nu este nici alungit, nici nul.

Privind eventual “din partea cealalta”, putem presupune ca w se afla in semiplanul de la stanga lui u. Sa notam cu u’ si w’ semidreptele ce “prelungesc” pe u si w.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 8

Deosebim patru subcazuri.

  1. v se afla in interiorul ≯(u,w) ( 3.25, a). In acest caz relatia este ≯(u,w)=≯(u,v)+≯(v,w),despre care stim ca este adevarata.
  2. v se afla in interiorul ≯(w,u’) sau coincide cu u’. In acest caz relatia este ≯(u,w)=≯(u,v)-≯(v,w), despre care stim ca este adevarata (situatie asemanatoare cu a).
  3. v se afla in interiorul ≯(u,w’) sau coincide cu w’. In mod asemanator cu b) ajungem la ≯(u,w)=≯(v,w)-≯(u,v).
  4. v se afla in interiorul ≯(u’,w’). Aici apare situatia deosebita legata de conventia de mai sus. Relatia devine ≯(u,w)=≯(u,v)-≯(v,w) (mod 360°). Stim de la “unghiuri in jurul unui punct” ca ≯(u,v)+≯(v,w)+≯(w,u)-360°; aceasta asrata ce dierenta dintre membrul intai si al 2-lea al relatiei, impartita la 360°, da rezultatul 1. Cu aceasta teorema este demonstrata.

Matematica Capacitate Unghiuri orientate 9

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.