Unghiuri diedre

Definitie. Vom numi unghi diedru, figura formata de doua semiplane delimitate de aceeasi dreapta d in doua plane diferite α si β ce contin d. Dreapta d se va numi muchia diedrului. (fig.9.7).

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 1
fig 9 7

Vom numi unghi plan al unghiului diedru valoarea unghiului dintre doua semidrepte a, b, ambele avand originea intr-un punct P∈d, continute respectiv in cele doua semiplane ce formeaza diedrul, si perpendiculare pe d.

Observatie. Unghiul planelor α si β este congruent cu unghiul plan al diedrului, daca acesta nu este obtuz, si cu suplementul acestuia, in caz contrar.

Problema rezolvata. Se dau in spatiu doua semiplane α si β, care au muchia comuna m. Se cunoaste ca perpendicularele din acelasi punct M∈m, u⊂α, v⊂βpe m, fac intre ele unghiul θ (fig.9.8).

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 2
fig 9 8

Fie pe muchia m, segmentul AB = c, si in planele α si β segmentele AA’= a, BB’ = b, ambele perpendiculare pe c.

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 3
fig 9 9

Sa se calculeze in functie de a, b, c si θ segmentul A’B’.

Ducem segmentul BD paralel si congruent cu AA’, deci BD = a. Ducem DT perpendicular pe BB’, deci triunghiurile BDT, A’TB’ si A’DT sunt dreptunghice. Rezulta DT = a ∙ sin θ si de aici {A\prime T}^2={DT}^2+{A\prime D}^2= c^2+a^2\cdot{sin}^2\theta . In triunghiul A’TB’ se poate aplica teorema lui Pitagora: {A\prime B\prime}^2= {(b-a\cdot\cos{\theta})}^2+ c^2+ a^2\cdot{sin}^2\theta= b^2-2ab\cdot\cos{\theta+}c^2+ a^2\cdot\sin{\theta} si, stiind ca {sin}^2\theta+ {cos}^2\theta=1 =>{A\prime B\prime}^2= a^2+b^2+c^2- 2ab\cdot\cos{\theta}.

Aceasta formula “seamana” cu teorema cosinusului. Unghiul  joaca un rol deosebit in calculul unui segment cu capetele in doua plane care au o dreapta comuna. In fond θ nu este decat unghiul planului initial.

Teorema. Lungimea proiectiei unui segment pe un plan α este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului u dintre dreapta d ce contine segmentul si planul α.

Demonstratie. Daca d⊥α, atunci m(∢u)=90° si cos u = 0, proiectia este un punct etc. Daca u≠90°, fie d’ proiectia lui d pe α. Proiectia segmentului pe planul α coincide cu proiectia sa pe dreapta d’, u este, prin definitie, unghiul dintre dreptele d si d’ si teorema rezulta adevarata pe baza celei precedente.

Inainte de a stabili un rezultat asupra ariei unei proiectii, vom demonstra:

Teorema ajutatoare. Fie α si β doua plane neperpendiculare, ce se intersecteaza dupa o dreapta d. Daca b este o dreapta din β, perpendiculara pe d, atunci proiectia lui b pe α este perpendiculara pe d, iar unghiul dintre b si α este egal cu unghiul dintre planele α si β.

Demonstratie. Fie P punctul de intersectie a lui b cu d (fig.9.10). Sa ducem un plan π⊥d, prin P. El va contine pe b si va fi perpendicular pe α, deci proiectia lui b pe planul α va fi dreapta c=π⋂α, care va fi perpendiculara pe d (b nu este perpendiculara pe α, deoarece β nu este perpendicular pe α).

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 4
fig 9 10

S-a vazut in teorema ajutatoare ca unghiul dintre α si β este egal cu unghiul dintre b si d, care, prin definitie, este egal cu unghiul dintr b si α. Acum putem dovedi:

Teorema. Aria proiectiei A’B’C’ a unui triunghi ABC pe un plan α este egala cu produsul dintre aria triunghiului ABC si cosinusul unghiului u dintre planul triunghiului si planul α.

Demonstratie. Daca m(∢u)=90°, triunghiul se proiecteaza dupa un segment (cos u = 0) etc. Daca m(∢u)=0°, triunghiul se proiecteaza dupa unul egal cu el, conform teoremei precedente (cos u = 1) etc.

Fie deci, 0°<u<90°. Planul α va avea cu planul triunghiului o dreapta comuna d.

Sa consideram intai cazul in care triunghiul ABC are o latura, (fie ea AB), paralela cu d (fig.9.11). Sa ducem inaltimea CD a triunghiului. Conform teoremei ajutatoare, proiectia lui CD este inaltimea C’D’ a triunghiului A’B’C’, iar unghiul dintre CD si α este egal cu u. Conform teoremei relative la proiectia unui segment pe un plan vom avea: C’D’ = CD ∙ cos u  si A’B’≡AB, deci aria A^\prime B^\prime C^\prime= \frac{1}{2}\cdot A^\prime B^\prime\cdot C^\prime D^\prime= \frac{1}{2}\cdot AB\cdot CD\cdot\cos{u}= \left(aria\ ABC\right)\cdot\cos{u}.

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 5
fig 9 11

In cazul general, observam ca orice triunghi se descompune in triunghiuri, avand fiecare cate o latura paralela cu o dreapta data d din planul sau (fig.9.12).

Scriem relatia de demonstrat pentru fiecare din aceste triunghiuri, le adunam si obtinem relatia dorita.

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 6
fig 9 12

Observatie. Teorema se generalizeaza la orice poligon plan.

Teorema lui Desargues. Din punctul V pornesc trei semidrepte a, b, c, necoplanare toate trei. Pe semidreapta a luam punctele A, A’, pe semidreapta b luam B, B’ si pe semidreapta c luam C, C’, astfel incat laturile triunghiurilor ABC si A’B’C’ sa nu fie, respectiv, paralele. Atunci dreptele AB si A’B’, BC si B’C’, CA si C’A’ se intlnesc in trei puncte coliniare (fig.9.13).

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 7
fig 9 13

Demonstratie. Vom arata, mai intai, ca dreptele AC cu A’C’, AB cu A’B’ si BC cu B’C’ se intalnesc si apoi ca punctele lor de intersectie sunt coliniare.

Intr-adevar, punctele A, A’C, C’ sunt coplanare (A si A’ sunt situate pe dreapta a, iar C si C’ pe dreapta c; dreptele a si c sunt concurente, deci coplanare).

Din ipoteza, dreptele AC si A’C’ nu sunt paralele, deci, fiind coplanare, se intalnesc. Fie N punctul lor de intersectie.

La fel, AB si A’B’ se intalnesc in P, BC si B’C’ in M. Dar punctele M, N, P, situate pe dreptele BC, CA, AB, apartin planului triunghiului ABC; aceleasi puncte M, N, P, fiind situate pe dreptele B’C, C’A’, A’B’, apartin si planului triunghiului A’B’C’, deci sunt situate pe dreapta de intersectie a planelor. Rezulta ca M, N, P sunt coliniare.

Observatii. 1. Daca doua din laturile triunghiurilor de exemplu AC si A’C’, sunt paralele si restul enuntului ramane acelasi, se dovedeste usor ca dreptele MP, A’C’ si AC sunt paralele.

  1. Daca AC∥A’C’, BC∥B’C’ atunci si AB∥A’B’ si planul triunghiului ABC este paralel cu cel al triunghiului A’B’C’ (fig.9.14).
Matematica Capacitate Unghiuri diedre 8
fig 9 14

Daca vom conveni sa spunem ca doua drepte paralele au un punct comun la infinit si ca doua plane au o dreapta comuna la infinit, in enuntul teoremei lui Desargues nu mai este nevoie de specificat ca laturile triunghiurilor ABC si A’B’C’ nu sunt respectiv paralele. Enuntul se simplifica, in schimb sensul sau capata un plus de incarcatura, prin generalizare.

Problema rezolvata. Ne-am deprins, pana acum, sa folosim uneori geometria in plan pentru a rezolva probleme sau parti din probleme de geometrie in spatiu. “Metoda proiectiei” ne da posibilitatea sa facem si drumul invers: sa rezolvam probleme de geometrie plana cu ajutorul geometriei in spatiu. Teorema lui Desargues este un exemplu clasic in aceasta privinta.

Se dau trei drepte in plan (de data aceasta) a, b, c concurente in V (fig.9.15). Doua triunghiuri ABC si A’B’C’ au varfurile respectiv pe aceste drepte si nu au laturile corespunzatoare paralele. Sa demonstram atunci ca acestea se intalnesc in trei puncte coliniare M, N, P.

Fie α planul dreptelor a, b, c si β un alt plan (β⊥α), care trece prin V si printr-o dreapta a’ (V∈a’) ce se proiecteaza in α dupa dreapta a (fig.9.16). Fie A1∈a’, punctul care se proiecteaza in A pe α si A1‘∈α, punctul in care se proiecteaza in A’ pe α.

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 9
fig 9 15

Laturile triunghiurilor A1BC si A1B’C’, care indeplinesc conditiile teoremei lui Desargues in spatiu, se intersecteaza in trei puncte coliniare M1, N1, P1, care se vor proiecta in M, N, P pe planul α. Dar, proiectia unei drepte fiind tot o dreapta, rezulta ca si M, N, P sunt coliniare.

Matematica Capacitate Unghiuri diedre 10
fig 9 16

Veti obiecta ca proiectia unei drepte poate fi si un punct, dar aceasta se intampla cand dreapta este perpendiculara pe plan. In cazul nostru M1N1 este intersectia planelor A1BC si A’1BC, care ar trebui atunci sa fie perpendiculare si ele pe α (deoarece contin o dreapta perpendiculara pe α). Dar atunci n-am mai avea in α un “triunghi” ABC ci trei puncte pe un segment A, B, C.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.