Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan.

Teorema asupra congruentei unghiurilor cu laturile paralele ne permite sa dam o definitie a unghiului a doua drepte, in general necoplanare. Sa observam ca, avand doua perechi de drepte paralele ce trec prin punctele P si P’, putem alege totdeauna semidrepte pe ele, cu originile in P, respectiv P’, astfel incat ipotezele din teorema citita sa fie satisfacute.

Definitie. Prin unghiul a doua drepte din spatiu intelegem orice unghi mai mic, cel mult egal cu 90°, format, in orice punct al spatiului, prin ducerea de paralele la dreptele date. (fig.9.1).

Matematica Capacitate Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan. 1
fig. 9 1

De multe ori vom folosi drept “unghi a doua drepte”, masura lui.

Observatie. Unghiul a doua drepte este de 0° daca si numai daca dreptele sunt paralele.

Unghiul unei drepte cu un plan

Definitie. Numim unghiul unei drepte cu un plan, unghiul facut de acea dreapta cu proiectia ei pe plan. (in cazul cand dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el) (fig.9.2).

Matematica Capacitate Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan. 2
fig. 9 2

Daca dreapta este perpendiculara pe plan, vom considera unghiul dreptei cu planul respectiv de 90° (fig.9.3, a).

Matematica Capacitate Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan. 3
fig. 9 3

Daca dreapta este paralela cu planul, vom conveni sa spunem ca dreapta face cu planul un unghi de (fig.9.3, b).

Unghiul u al unei drepte cu un plan este deci cuprins intre si 90° (u[0°, 90°]).

Teorema. Unghiul unei drepte d cu un plan α este cel mai mic dintre unghiurile formate de acea dreapta cu o dreapta oarecare a planului.

Matematica Capacitate Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan. 4
fig. 9 4

Demonstratie. Dreapta d se proiecteaza pe planul α dupa dreapta d'(A=d∩α). Consideram o alta dreapta d”⊂α, pe care o putem presupune ca trece prin A. Din M∈d, ducem MB⊥d’. Luam pe d”, in directia in care formeaza un unghi ascutit cu d, segmentul AC≡AB. Triunghiurile MAB si MAC au cate doua laturi respectiv congruente (MA comuna si AC≡AB) si MC > MB (segmentul oblicei este mai mare decat segmentul perpendicularei). Se stie ca in doua triunghiuri care au doua laturi respectiv congruente, laturii a treia mai mari i se opune un unghi mai mare si reciproc, deci m(∢MAC)>m(∢MAB), si teorema este demonstrata.

Observatie. In particular, daca unghiul unei drepte a (din planul α) cu d, este congruent cu unghiul dreptei d cu proiectia sa pe α, putem trage concluzia ca acea dreapta a este paralela cu proiectia dreptei d pe α.

Comentariu. Definitia distantei de la un punct la un plan si definitia unghiului dintre o dreapta si un plan apar analoage: anume ambele elemente sunt cele mai mici posibile, dintre toate care pot fi propuse.

Observatie. Unghiul dintre o dreapta si un plan este complementar unghiului dintre acea dreapta si o perpendiculara pe acel plan. Aceasta ar fi putut fi luata si ca definitie.

Reamintindu-ne o observatie relativa la unghiul unei drepte cu un plan, precum si faptul ca doua perpendiculare pe acleasi plan sunt paralele, dam urmatoarea:

Definitie: Fie α, β doua plane care se intersecteaza dupa dreapta d. Prin unghiul dintre α si β intelegem valoarea comuna a tuturor unghiurilor formate intre doua drepte a si b, unde a⊥α, b⊥ β .

Teorema. Fie α si β doua plane care se intersecteaza dupa dreapta d. Sa alegem un punct P∈d si sa ducem dreptele a⊂α, b⊂β,  perpendiculare in P pe d. Atunci unghiul dintre planele α, β este congruent cu unghiul dintre dreptele a si b.

Matematica Capacitate Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan. 5
fig. 9 5

Demonstratie. Sa consideram planul π, perpendicular in P pe d. El va contine dreptele a si b (fig.9.5). Planul π va fi perpendicular pe planele α si β, deci el va contine doua drepte a’, b’ ce trec prin P, perpendiculare pe α, respectiv β (fig.9.6). Rezulta a’⊥a, b’⊥b. Unghiul dintre planele α, β este congruent cu unghiul ascutit format de a’ si b’, care, avand laturile perpendiculare pe cele ale unghiului ascutit format de a si b, este congruent cu acesta.

Matematica Capacitate Unghiul a doua drepte. Unghiul unei drepte cu un plan. 6
fig. 9 6

Observatie. Doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca unghiul lor este de 90°. Doua plane sunt paralele daca si numai daca unghiul lor este de 0°.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.