Trunchi de piramda

Corpul ce rezulta indepartand dintr-o piramida o piramida mai mica, obtinuta sectionand piramida initiala cu un plan paralel cu baza ei, se numeste trunchi de piramida.

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 1
fig. 15 1

Cu notatiile din figura 15.1:

  1. Poligonul (P) se numeste baza mare.
  2. Poligonul din planul de sectiune (P’) se numeste baza mica.
  3. Toate trapezele ce raman din fetele laterale, in urma sectionarii si indepartarii piramidei mai mici, se numesc fete laterale.

Este usor de aratat ca cele doua baze sunt poligoane asemenea, Lasam aceasta demonstratie pe seama cititorului.

Daca trunchiul de piramida provine dintr-o piramida regulata, el se numeste trunchi de piramida regulata. Fetele sale laterale sunt trapeze isoscele congruente. Vom numi inaltimea unei astfel de fete, apotema trunchiului de piramida. Deci, la un trunchi de piramida regulata, avem trei feluri de apoteme: apotema trunchiului, apotema bazei mari si apotema bazei mici.

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 2
fig. 15 2

Aria laterala a unui trunchi de piramida regulata este suma ariilor tuturor fetelor laterale. Notand cu n numarul laturilor unei baze, cu at apotema trunchiului, cu l lungimea laturii bazei mici si cu L cea a bazei mari, Al fiind aria laterala, se obtine, printr-un procedeu asemanator cu cel de la piramida ca:

{\color{Blue} A_l=n\cdot\frac{\left(L+l\right)\cdot a_l}{2}}

Aria totala a trunchiului de piramida se obtine adunand la aria sa laterala suma ariilor celor doua baze. Daca notam cu At aria totala, cu aM apotema bazei mari si cu am pe cea a bazei mici:

A_t=A_l+\frac{L\cdot a_M+l\cdot a_m}{2}\cdot n

Desfasurarea trunchiului de piramida se face asemanator cu cea a unei prisme (fig. 13.3):

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 3
fig. 15 3

Distanta dintre planele bazelor trunchiului de piramida o numim inaltime. Luata astfel, ea este numar. In unele probleme o vom considera si ca un segment cu capetele respective in planele bazelor si perpendicular pe aceste baze.

Calculul inaltimii trunchiului de piramida regulata

Notam cu L si l laturile bazelor, cu aM si am apotemele respective ale bazelor, cu at apotema trunchiului, cu m muchia lui laterala, cu RM si Rm razele cercurilor circumscrise bazelor si cu h inaltimea trunchiului de piramida.

  • Sa se exprime, in functie de aM, am si at, inaltimea h ( 15.4).
  • Sa se exprima, in functie de RM, Rm si m, inaltimea h (fig 15.5).

h^2=a_t^2-\left(a_M-a_m\right)^2

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 4
fig. 15 4

h^2=m^2-\left(R_M-R_m\right)^2

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 5
fig. 15 5

In general, un plan paralel cu baza ABC … MN a unei piramide determina inca o piramida cu baza A’B’C’ … M’N’ si cu acelasi varf P, pe care o vom numi “asemenea” cu piramida mare, pentru ca toate fetele de tipul PAB sunt asemenea cu cele de tipul PA’B’, bazele ABC … MN si A’B’C’ … M’N’ sunt si ele asemenea si raportul lor de asemanare (raportul a doua segmente omoloage), prin tranzititvitate, se poate dovedi ca este acelasi.

Daca, in plan, raportul ariilor a doua poligoane asemenea este egal cu patratul raportului de asemanare (fapt valabil si pentru ariile laterale si totale a celor doua piramide), vom putea afirma urmatoarea:

Teorema. Raportul volumelor a doua piramide asemenea este egal cu cubul raportului de asemanare.

Demonstratie. Daca notam raportul de asemanare cu n, avem:

\frac{S_{ABC\ldots M N}}{S_{A^\prime B^\prime C^\prime\ldots M\prime N\prime}}=n^2\ si\frac{h}{h^\prime}=n,

Unde h este inaltimea piramidei initiale si h’ a celei mici, iar

\frac{V}{V^\prime}=\frac{S_{ABC\ldots M N}\cdot h}{S_{A^\prime B^\prime C^\prime\ldots M\prime N\prime}\cdot h\prime}=n^2\cdot n=n^3.

Volumul trunchiului de piramida

Teorema. Volumul trunchiului de piramida este egal cu o treime din inaltime inmultita cu suma dintre aria bazei mari, aria bazei mici si radacina patrata din produsul ariilor celor doua baze.

Matematica Capacitate Trunchi de piramda 6
fig. 15 6

Avem deci de aratat ca {\color{Blue} V=\frac{I}{3}(S+s+\sqrt{Ss})}, unde V este volumul trunchiului, I este inaltimea trunchiului de piramida, S aria bazei mari si s aria bazei mici. H si h sunt marimi ajutatoare, si anume, inaltimile piramidelor asa cum se formeaza ele in desen, prin prelungirea muchiilor, iar V1 si v1 volumele piramidelor respective (fig. 15.6).

Stim ca \frac{V_1}{v_1}=\frac{H^3}{h^3} si, dintr-o proportie derivata, obtinem:

Stim ca \frac{V_1}{v_1}=\frac{H^3}{h^3} si, dintr-o proportie derivata, obtinem:

\frac{V_1-v_1}{v_1}=\frac{H^3-h^3}{h^3}

Deci,

V=\frac{v_1(H-h)(H^2+Hh+h^2)}{h^3}=\frac{v_1I}{h}\cdot\left(\frac{H^2}{h^2}+\frac{H}{h}+1\right).

Dar, \frac{H}{h}=\frac{\sqrt S}{\sqrt s}. Rezulta:

V=\frac{shI}{3h}\cdot\left(\frac{S}{s}+\frac{\sqrt S}{\sqrt s}+1\right)=\frac{I}{3}\cdot\left(S+\sqrt{Ss}+s\right),

Ceea ce trebuia demonstrat.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.