Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare.

Faptul pus in evidenta in teorema fundamentala a asemanarii ne conduce la urmatoarea:

Definitie:  Fie A, B, C trei puncte necoliniare si A’, B’, C’ alte trei puncte necoliniare. Spunem ca ∆ABC∼∆A’B’C’ (si citim aceasta: triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A’B’C’) daca ∢A≡∢A’,∢B≡∢B’,∢C≡∢C’ si \inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC}.

Cu alte cuvinte doua triunghiuri se numesc asemenea daca au unghiurile congruente si laturile respective proportionale.

Care sunt exemplele de triunghiuri asemenea? Sa observam intai ca doua triunghiuri congruente sunt asemenea; dar nu pentru a considera astfel de exemple s-a introdus definitia. Teorema fundamentala a asemanarii ne arata un mod de a construi un triunghi asemenea cu un triunghi dat, dar necongruent cu acesta.

Observatie:  La notiunea de asemanate a triunghiurilor se ajunge si pe cale intuitiva, considerand doua desene identice dar de dimensiuni diferite. Ele “seamana” dar nu pot fi facute sa coincida prin suprapunere. Un segment din primul desen nu este congruent cu segmentul corespunzator din al doilea, insa raportul lungimilor este acelasi pentru toate segmentele ce le putem considera in modul de mai sus in cele doua desene. Unghiul a doua directii din primul desen este congruent cu unghiul corespunzator din cel de-al doilea (aceasta si da senzatia de asemanare). Considerand cea mai simpla figura – triunghiul – ajungem la definitia de mai sus.

La fel putem sa gandim privind doua harti ale aceleiasi regiuni facute la scari diferite.

Exista trei teoreme ce se numesc cazuri de asemanare ale triunghiurilor, ale caror enunturi sunt analoage cu cele trei cazuri de congruenta. Inainte de a le enunta si demonstra, sa observam ca daca ∆ABC∼∆A’B’C’ si ∆A’B’C’≡∆A”B”C, atunci ∆ABC∼∆A”B”C, cu alte cuvinte un triunghi asemenea cu un triunghi dat este asemenea cu orice triunghi congruent cu triunghiul dat.

Cazul 1 de asemanare. Doua triunghiuri ce au un unghi congruent si laturile care il formeaza proportionale sunt asemenea. (fig.1.21)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 1

Ipoteza:         ∢A≡∢A’, \inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC}

Concluzia:         ∆ABC∼∆A’B’C’

Cazul 2 de asemanare.  Doua triunghiuri care au doua unghiuri respectiv congruente, sunt asemenea. (fig.1.22)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 2

Ipoteza: ∢A≡∢A’, ∢B≡∢B’

Concluzia: ∆ABC∼∆A’B’C’

Cazul 3 de asemanare. Doua triunghiuri care au cele trei laturi proportionale sunt asemenea. (fig.1.23)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 3

Ipoteza: \inline \fn_jvn \large \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC}

Concluzia: ∆ABC∼∆A’B’C’

Demonstratiile celor trei teoreme au o parte comuna. Anume. Consideram pe semidreapta AB un punct B1 astfel ca AB1A’B’, ducem prin B1 paralela la BC si notam cu C1 intersectia ei cu AC. (fig.1.24)

Matematica Capacitate Triunghiuri asemenea. Cazurile de asemanare. 4

Conform teoremei fundamentale a asemanarii avem ∆ABC∼∆AB1C1. Deci ∢B≡∢  AB1C1, \inline \fn_jvn \large \frac{AB_{1}}{AB}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{AC_{1}}{AC}.

Ramane de demonstrat ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’ (si observatia dinaintea enunturilor va incheia demonstratia). Aceasta se va face in mod diferit pentru fiecare din cele trei teoreme, folosind cazul de congruenta corespunzator.

Cazul 1. Din \inline \fn_jvn \large \frac{AB_{1}}{AB}=\frac{AC_{1}}{AC},\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC} si A’B’≡AB1 deducem AC1≡A’C’ si cazul 1 de congruenta arata ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’.

Cazul 2. ∢B≡∢AB1C1 si ∢B≡∢B’ deducem ca ∢AB1C1≡∢B’ si cazul 2 de congruenta arata acum ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’.

Cazul 3. Din \inline \fn_jvn \large \frac{AB_{1}}{AB}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{AC_{1}}{AC}, \frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{A^\prime C^\prime}{AC} si AB1≡A’B’ deducem B1C1≡B’C’ si AC1≡A’C’ si cazul 3 de congruenta arata ca ∆AB1C1≡∆A’B’C’.

Observatie. Relatia de asemanare intre doua triunghiuri are urmatoarele proprietati:

  1. Este reflexiva; adica orice triunghi este asemenea cu el insusi.
  2. Este simetrica; adica daca un triunghi este asemenea cu un al doilea triunghi, atunci si al doilea triunghi este asemenea cu primul.
  3. Este tranzitiva; adica doua triunghiuri asemenea cu al treilea sunt asemenea.

Proprietatile a, b, c sunt consecinte ale definitiei, sau, mai simplu, ale cazului 2 de asemanare.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.