Translatii

Definitie. Fie v un vector. Se numeste translatie de vector v, transformarea geometrica Tv care duce intr-un punct P in extremitatea vectorului v, “asezat” cu originea in P.

Matematica Capacitate Translatii 1

Observatie. Translatia de vector nul este asa-numita transformare identica, transformare ce lasa pe loc toate punctele P. Ea se va nota cu I.

Teorema. Orice translatie este o izometrie.

Demonstratie. Fie A si B doua puncte oarecare, A’ si B’ imaginile lor prin translatia considerata. Segmentele orientate \vec{AA^\prime} si \vec{BB^\prime} vor fi deci echivalente, deoarece ambele “fac parte” din vectorul translatiei. Vom deosebi doua cazuri.

Cazul 1. A, A’, B, B’ coliniare. In acest caz ipoteza se poate scrie \vec{AA^\prime} =\ \vec{BB^\prime}si concluzia AB = A’B’ rezulta din \vec{A^\prime B^\prime}= \vec{AA^\prime} + \vec{AB^\prime}= \vec{A^\prime A}+ \vec{AB}+ \vec{BB^\prime}= -\vec{AA^\prime}+ \vec{BB^\prime}+ \vec{AB}= \vec{AB} .

Cazul 2.  A, A’, B, B’ necoliniare.

Matematica Capacitate Translatii 2

Ipoteza: AA’∥BB’,AA’≡BB’

Concluzia: AB≡A’B’

Semidreapta AA’ are acelasi sens cu semidreapta BB’. In acest caz incepem prin a observa ca AA’B’B este un patrulater, (adica nu arata asa Matematica Capacitate Translatii 3) ca urmare a partilor 1 si 3 ale ipotezei. Avand laturile opuse AA’ si BB’ paralele si congruente, el este paralelogram. Rezulta AB≡A’B’ ca opuse in acest paralelogram (pentru a evita folosirea, ca mai sus, a unei teoreme “suplimentare”, se poate arata ca ∆ABA’≡∆B’A’B, cazul 1.)

Observatie. Fie T o translatie. Cunoscand imaginea T(P0) prin aceasta translatie a unui singur punct P0 , translatia T este perfect determinata: ea este translatia de vector \vec{P_0T(P_0)}.

Intuitiv, un vagon de cale ferata, pe o portiune dreapta de linie, executa o translatie (pozitia sa, la fiecare moment fixat, se obtine printr-o anumita translatie, ce depinde de acel moment, din pozitia initiala). (fig. 3.33).

Matematica Capacitate Translatii 4

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.