Transformari in spatiu

Dandu-se un punct, numit centru de simetrie (O) , spunem ca simetricul unui punct A din spatiu fata de O este un punct A’, astfel incat O sa fie mijlocul segmentului AA’.

In fond, definitia este asemanatoare cu cea din plan.

Matematica Capacitate Transformari in spatiu 1
fig. 17 1

Teorema. Prin simetria fata de un punct, distanta se pastreaza.

Cu alte cuvinte, daca avem doua puncte A si B si consideram simetricele lor fata de O, A’ si respectiv B’ , putem scrie congruenta segmentelor AB≡A’B’ (fig. 17.1).

Evident, segmentele AA’, BB’ sunt coplanare (au O comun). Triunghiurile AOB si A’OB’ sunt congruente (cazul I de congruenta), de unde rezulta ca AB≡A’B’. Deci simetria fata de un punct este o izometrie.

Consecinte. Prin aceasta transformare:

  1. Interiorul unui segment se transforma in interiorul segmentului transformat (segmentului simetric). Fie C un punct interior segmentului AB. Deci, AC+CB=AB. Fie C’ simetricul lui C. Daca C’ nu ar fi interior lui A’B’, atunci A’C’+C’B’>A’B’. Dar cum AC≡A’C’ si CB≡C’B’, ar rezulta ca AB>A’B’ si s-ar contrazice teorema anterioara. Deci C’ este interior segmentului AB.
  2. Simetricul unui triunghi este un triunghi congruent cu el. Evident, se pastreaza congruenta laturilor.
  3. Simetrica unei drepte este tot o dreapta. Se iau oricare trei puncte pe o dreapta d: A, B, C. Sigur unul din ele se afla intre celalalte doua, de exemplu B intre A si C. Atunci AB +BC =AC si distantele raman aceleasi, procedand prin reducere la absurd s-ar ajunge la A’C’<AC, fals…
  4. Simetricul unui unghi este un unghi congruent cu el.

Evident, simetricul varfului este varful simetricului (Apartinand ambelor drepte suport.) Luam (cu notatile din figura 17.2) B∈Ax, C∈Ay=>B’∈A’x, C’∈A’y, deci AC≡A’C’, AB≡A’B’, BC≡B’C’ => ⊿ABC≡⊿A’B’C’ => ∢A≡∢A’.

  1. Simetricul unui plan este tot un plan, se demonstreaza usor, ca o urmare a faptului ca o dreapta se transforma intr-o dreapta.
Matematica Capacitate Transformari in spatiu 2
fig. 17 2

Observatie. Cele 5 consecinte de mai sus provin numai din teorema care ne asigura pastrarea distantei, deci sunt valabile pentru orice transformare care pastreaza distanta, nu numai pentru simetria fata de un punct. Deci, in cele ce urmeaza este de ajuns sa aratam ca transformarea pe care o descriem este o izometrie, pentru ca toate consecintele sa fie valabile.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.