Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta

Doua semidrepte de pe aceeasi dreapta pot fi de acelasi sens (cu alte cuvinte

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 1

se poate ca una sa fie inclusa in cealalta), sau de sensuri contrare (cu alte cuvinte,

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 2

in caz contrar, sau intersectia lor este interiorul unui segment, sau ele n-au nici un punct comun).

Observatie. Daca , atunci semidreptele AB si BA au sensuri contrare.

Definitie. Vom numi segment orientat o figura formata din doua puncte A, B, nu neaparat diferite, luate in aceasta ordine.

Segmentul orientat format din A si B se va nota \vec{AB}.

Deci \vec{AA} este si el un segment orientat, iar, pentru punctele ,segmentele orientate \vec{AB} si \vec{BA} sunt diferite (spre deosebire de segmentele “obisnuite AB si BA care sunt aceleasi).

Punctul A se numeste originea iar B extremitatea segmentului orientat \vec{AB}.

Definitie. Sa consideram o dreapta d; un segment (obisnuit) a pe ea si un “sens” pe d, dat printr-o semidreapta s a lui d.

Acestea fiind fixate, definim masura unui segment orientat \vec{AB} de pe d, si o notam tot cu \vec{AB}, astfel:

Cazul 1. Daca B = A, masura segmentului orientat \vec{AB} este considerata 0:\vec{AA}=0.

Cazul 2. Daca A\neq B, masura segmentului orientat \vec{AB} este egala cu lungimea segmentului (obisnuit) AB, cu semnul “+” daca semidreapta AB are acelasi sens cu s si cu semnul “-“ daca semidreapta AB are sens contrar cu s.

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 3

Deci \vec{AB}+\vec{BA}=0. Daca masurile a doua segmente orientate sunt egale si nu sunt 0 atunci segmentele (obisnuite) corespunzatoare sunt congruente. Reciproc, daca AB\equiv CD atunci avem \vec{AB}\pm\vec{CD}, semnul fiind + sau – dupa cum semidreptele AB si CD sunt de acelasi sens sau de sensuri contrare.

Teorema. Daca A, B, C sunt puncte coliniare, avem \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

Demonstratie. Va trebui sa consideram mai multe cazuri.

Cazul 1. A = B. Relatia se reduce la \vec{AC}=\vec{AC.}

Cazul 2. B = C. Analog.

Cazul 3. A= C. Relatia devine \vec{AB}+\vec{BA}=0; am observat mai sus ca este adevarata.

Cazul 4. B este intre A si C (fig. 3.5).

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 4

Semidreptele AB, BC, AC au acelasi sens deci \vec{AB},\vec{BC},\vec{AC} au acelasi semn si relatia se reduce la AB + BC = AC.

Cazul 5. A este inte B si C (fig. 3.6).

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 5

\vec{AB} si \vec{BC} au semne contrare, BC > AB, \vec{AC} are acelasi semn cu \vec{BC} si relatia se reduce la BC – AB = AC.

Cazul 6. C este intre A si B.

Se demonstreaza asemanator cu cazul 5.

Observatii. 1. In definitia masurii unui segment orientat de pe o dreapta data, putem alege dintr-o data unitatea si sensul, alegand unitatea de masura drept un segment orientat nenul, ce urmeaza sa aiba masura +1 (fig. 3.7).

Matematica Capacitate Transformari geometrice: Segmente orientate situate pe aceeasi dreapta 6

2.Notiunea de masura a unui segment orientat si teorema demonstrata mai sus ne permit sa demonstram unele afirmatii fara a mai considera mai multe cazuri corespunzatoare diferitelor pozitii relative a punctelor de pe o dreapta. De exempu:

Problema rezolvata. Fie A, O, B trei puncte coliniare, fie A’ simetricul lui A fata de O iar B’ simetricul lui B fata de O. Sa se demonstreze ca A’B’\equivAB.

Rezolvare. Ipoteza se scrie \vec{OA^\prime}=\vec{AO},\vec{OB^\prime}=\vec{BO}

Demonstratie:

\vec{A^\prime B^\prime}= \vec{A^\prime O}+\vec{OB^\prime}=-\vec{OA^\prime}+\vec{OB^\prime}= \vec{AO}+\vec{BO}=\vec{BA} deci, cum am observat dupa definitia masurii unui segment orientat, A’B’\equivAB.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.