Teorema lui Thales

O paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 1

Ipoteza: DE∥BC

Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} 

Sa presupunem ca  \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{2}{7}. Sa impartim segmentul AB in 7 parti congruente prin punctele D1, D2, …, D6. Vom avea deci AD1≡D1D2≡…≡D5D6≡D6B. Sa ducem prin punctele D1, D2, …, D6         paralele la BC; ele vor intersecta latura AC in E1, E2, …, E6. Deci, in figura 1.2, vom avea D1E1∥D2E2∥…∥D6E6∥BC.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 2

Aplicand teorema liniei mijlocii in triunghiul AD2E2  precum si in trapezele D1E1E3D3, D2E2E4D4, …, D4E4E6D6, D5E5CB, obtinem AE≡ E1E≡…≡ E5E≡ E6C.

Sa observam acum ca \inline \fn_jvn \large \frac{AD_{2}}{AB}=\frac{2}{7}=\frac{AD}{AB}; deci AD≡ AD, adica D = D2. Deducem acum ca E = E2 si, in sfarsit, este vizibil ca \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=\frac{2}{7}  .

Observatia 1. La fel se demonstreaza ca, in fig. 1.2. avem  \inline \fn_jvn \large \frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}. Impartind relatia din concluzia teoremei cu cea scrisa aici, obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}. Deci, oricum am scrie concluzia teoremei lui Thales (determina segmente proportionale), obtinem un enunt adevarat.

Observatia 2.  Lungimea unui segment depinde de unitatea de masura aleasa pentru segmente, in schimb catul lungimilor a doua segmente nu depinde. Acest cat se numeste “raportul lungimilor celor doua segmente”.

Problema rezolvata 1.  Fie D un punct pe latura AB a unui triunghi ABC in care AB = 5 cm, BC = 8 cm si AC = 10 cm (fig. 1.3). Se stie ca AD = 2 cm. Prin D ducem o paralela la BC care taie AC in E. Sa se calculeze lungimile segmentelor AE, EC.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 3

Ipoteza: AB = 5,  BC = 8,  AC = 10,  AD = 2, DE ∥BC

Concluzia: AE = ? EC = ?

Rezolvare:

Triunghiul despre care e vorba exista deoarece 8 – 5 < 10 < 8 + 5.

Teorema lui Thales da \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, deci \inline \fn_jvn \large \frac{2}{5}=\frac{AE}{10}, de unde obtinem AE = 4        

EC = AC – AE = 6.

Problema rezolvata 2. Pe laturile unui unghi cu varful in O se dau punctele A, B respectiv C, D (fig. 1.4). Sa se precizeze pozitia punctului M de intersectie a dreptelor AC si BD calculand raportul  \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 4

Rezolvare: Pentru a putea aplica teorema lui Thales, sa ducem prin A paralela la BD si sa notam cu X punctul in care ea intersecteaza pe OC (AX ∥ BD) (fig. 1.5).

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 5

Aplicam teorema lui Thales in ∆CXA: \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{DX}{DC}.

Aplicam teorema lui Thales in ∆OBD: \inline \fn_jvn \large \frac{DX}{DO}=\frac{BA}{BO}. => \inline \fn_jvn \large DX=\frac{DO\cdot BA}{BO} => \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{\frac{DO}{DC}\cdot BA}{BO}

Vezi aici probleme pentru aceasta lectie!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.