Teorema lui Thales in cazul rapoartelor reale oarecare

Inainte de a demonstra teorema in acest caz, sa amintim cateva fapte relativ la numere reale.

a) Fiind date doua numere reale a si b, este adevarat una si numai una din relatiile a < b, a = b, b < a. Cu alte cuvinete , < este o relatie de ordine totala pe multimea numerelor reale.
b) Fiind date doua numere reale a si b, asa incat a < b, exista un numar rational r astfel ca a < r < b (evident, r nu este unic, deoarece, conform aceleiasi proprietati, va exista si un numar rational s cu proprietatea a < s < r, deci s < b etc.)
Exemplificam aceasta proprietate astfel: daca a = 2,738… si b = 3,069 putem lua r = 2,9; daca a = 2, 839997… si b = 2,8400002… putem lua r = 2,839998.
c) Daca avem doua numere reale a si b asa incat, pentru r rational, este adevarat ca (r < a) <=> (r < b) atunci a = b.
Aceasta este o consecinta a proprietatilor a), b). Intr-adevar, daca, de exemplu, am avea a < b, atunci alegem un r rational cu proprietatea a < r < b si avem r < b adevarat dar r < a fals, deci <- ar fi neadevarata, contrar ipotezei.

Putem trece acum la demonstratia teoremei lui Thales in cazul general (bazandu-se pe valabilitatea acestei teoreme in cazul cand unul din rapoartele ce apar este rational.)

Matematica Capacitate Teorema lui Thales in cazul rapoartelor reale oarecare 1

Fie r un numar rational astfel ca r < \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}, , deci r ∙ AB < AD. Sa construim un punct D’ situat in interiorul segmentului AD, (fig. 1.6), astfel incat AD’ = r ∙ AB. Paralela prin D’ la BC va intersecta AC intr-un punct E’ situat in interiorul segmentului AE. Conform teoremei lui Thales pentru raport rational, vom avea  \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=r, deci r < \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}.

Am aratat astfel ca, pentru r rational avem \inline \fn_jvn \large (r<\frac{AD}{AB})->(r<\frac{AE}{AC}).

La fel se arata ca pentru r rational avem \inline \fn_jvn \large (r<\frac{AE}{AC})->(r<\frac{AD}{AB}).

Pe baza proprietatii c) de mai sus, teorema lui Thales este complet demonstrata.

Observatie. Vom vedea in cele ce urmeaza ca, efectuand constructii geometrice asupra unor segmente cu lungimi rationale (chiar intregi), obtinem foarte usor segmente de lungimi irationale. De exemplu, lungimea diagonalei unui patrat de latura 1 este un numar irational.De aceea este important sa stim ca teorema lui Thales este adevarata in cazul cand rapoartele ce apar in ea sunt numere reale oarecare.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.