Teorema lui Stewart

Teorema lui Stewart.  Daca M este un punct in interiorul laturii BC a unui triunghi ABC, atunci AM2 ∙ BC = AB2 ∙ MC + AC2 ∙ BM – BC ∙ BM ∙ MC (fig. 1.74)

Matematica Capacitate Teorema lui Stewart 1

Demonstratie. Teorema lui Pitagora generalizata in ∆ABM, ∆ABC da:

\inline {AM}^2={AB}^2+{BM}^2-2\cdot AB\cdot CM\cdot cosB

\inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB

Eliminam pe cos B inmultind prima relatie cu BC, si scazand din ea pe a doua, inmultita in prealabil cu BM. Relatia ce se obtine se scrie, dupa ce trecem termenul AC2 ∙ BM in membrul doi:

\inline {AM}^2\cdot BC={AB}^2(BC-BM)+{AC}^2\cdot BM-BC\cdot BM(BC-BM)\\

de unde pana la relatia dorita mai este numai un pas: BC – BM = MC.

Cand M este mijlocul lui BC teorema lui Stewart devine teorema medianei:

Teorema lui Stewart afirma ca daca M este un punct in interiorul laturii BC a unui triunghi ABC, atunci AM2 ∙ BC = AB2 ∙ MC + AC2 ∙ BM – BC ∙ BM ∙ MC.

Daca M este mijlocul lui BC\inline {AM}^2\cdot BC={AB}^2\cdot\frac{BC}{2}+{AC}^2\cdot\frac{BC}{2}-BC\cdot\frac{BC}{2}\cdot\frac{BC}{2}=> \inline {AM}^2=\frac{{AB}^2}{2}+\frac{{AC}^2}{2}-\frac{{BC}^2}{4}

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.