Teorema lui Menelaos

Teorema lui Menelaos. Daca o dreapta d ce nu trece prin niciunul din varfurile unui triunghi ABC taie dreptele BC, CA, AB respectiv in M, N, P, atunci \inline {\color{Blue} \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1.}

Convenim, la fel ca in cazul puterii unui punct fata de un cerc, sa consideram ca \inline \frac{MB}{MC} este negativ daca M se afla in interiorul segmentului BC si pozitiv daca M se afla pe dreapta BC, dar nu in interiorul segmenteului BC. Valoarea +1 din enuntul teoremei spune ca sunt doua posibilitati: doua din punctele M, N, P sunt in interioarele segmentelor respective iar al treilea nu. (fig. 1.71) sau niciunul dintre cele trei puncte nu se afla in interiorul segmentului respectiv. (fig. 1.72)

Matematica Capacitate Teorema lui Menelaos 1

Matematica Capacitate Teorema lui Menelaos 2

Aceasta teorema ne da posibilitatea sa imaginam o metoda de a demonstra ca trei puncte sunt coliniare.

Teorema lui Ceva ne o fera o metoda de a demonstra ca trei drepte sunt concurente.

Reciproca teoremei lui Menelaos. Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, și respectiv, AB diferite de vârfurile A, B, C. Dacă \inline {\color{Blue} \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1} atunci punctele M, N, P sunt coliniare.

Matematica Capacitate Teorema lui Menelaos 3

Presupunem ca punctele nu sunt coliniare, deci PN∩CB={M’}

Conform ipotezei: \inline \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1. Dar, aplicand teorema lui Menelaos obtinem: \inline \frac{M\prime B}{M\prime C}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1

\inline \frac{MB}{MC}=\frac{M^\prime B}{M^\prime C}=>\inline \frac{MB-MC}{MC}=\frac{M^\prime B-M^\prime C}{M^\prime C}=>\inline \frac{BC}{MC}=\frac{BC}{M^\prime C}=>\inline MC=M^\prime C

M=M’ ceea ce contrazice presupunerea de mai sus.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.