Teorema lui Ceva

Teorema lui Ceva. Daca D este un punct nesituat pe niciuna din dreptele AB, BC, CA, unde ABC este un triunghi, si daca M, N, P sunt punctele de intersectie ale lui AD cu BC, lui BD cu CA si CD cu AB, atunci avem \inline {\color{Blue} \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=-1}(unde facem conventia de mai sus cu privire la semnele rapoartelor care apar.) (fig 1.73)

Matematica Capacitate Teorema lui Ceva 1

(Se poate intampla sa arate altfel: numai unul din punctele M, N, P sa se afle in interiorul segmentului respectiv.)

Demonstratie. Teorema lui Menelaos in ∆ABM intersectat de  PC confera urmatoarea relatie: \inline \frac{PA}{PB}\cdot\frac{CB}{CM}\cdot\frac{DM}{DA}=+1, iar aceeasi teorema in ∆ACM intersectat de  NB confera urmatoarea relatie: \inline \frac{NC}{NA}\cdot\frac{DA}{DM}\cdot\frac{BM}{BC}=+1.

Sa inmultim, membru cu membru, cele doua egalitati. In dreapta obtinem evident +1, iar in stanga \inline \frac{DM}{DA}\cdot\frac{DA}{DM}=+1,\frac{BM}{CM}=\frac{BM}{MC}, iar \inline \frac{CB}{BC}=-1 . Se ajunge imediat la relatia dorita; mai mult, modul de redactare al demonstratiei nu este influentat cu nimic de inlocuirea figurii 1.73 cu o figura descrisa “in paranteza de dupa figura 1.73”.

Reciproca teoremei lui Ceva. Fie M, N, P, apartinand laturilor BC, AC, AB a unui triunghi ABC, daca avem relatia  \inline {\color{Blue} \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=-1}, atunci cele trei drepte AM, BN, CP sunt concurente.

Matematica Capacitate Teorema lui Ceva 2

Presupunem ca dreptele nu sunt concurente. Fie PC⋂BN={U} si notam AU∩BC={T}.

Aplicam teorema lui Ceva pentru AT, BN, CP: \inline \frac{TB}{TC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{AP}{PB}=-1, dar din ipoteza \inline \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=-1 deci =>

\inline \frac{TB}{TC}=\frac{MB}{MC}=> \inline \frac{TB+TC}{TC}=\frac{MB+MC}{MC}=> \inline \frac{BC}{TC}=\frac{BC}{MC}=>

TC=MC;T=M

M si T coincid, deci presupunerea initiala nu este adevarata.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.