Teorema fundamentala a asemanarii

Teorema:  O paralela la una din laturile unui triunghi formeaza cu celelalte laturi un alt triunghi care are toate unghiurile congruente cu cele ale triunghiului initial iar laturile sale sunt proportionale cu ale celui intial.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 1

Ipoteza: PQ∥BC
Concluzia:

  1. ∢A≡∢A
  2. ∢P≡∢B;
  3. ∢Q≡∢C;
  4. \inline \fn_jvn \large \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}

Demonstratie:

Relatia 1) este evidenta.

Congruentele 2), 3), se refera la unghiuri corespondente. Prima proportie din 4), rezulta direct din teorema lui Thales. Ramane de demonstrat ca \inline \fn_jvn \large \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AC}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{PQ} }{\mathrm{BC}} . Pentru aceasta ducem QT∥AB (T ∈ BC), (fig. 1.8). Se formeaza astfel pe de o parte paralelogramul PQTB si deci

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 2

PQ ≡ BT, pe de alta parte se poate aplica teorema lui Thales (QT∥AB) si se obtine : \inline \fn_jvn \large \frac{AQ}{AC}=\frac{BT}{BC}. In ultima propozitie inlocuind pe BT cu PQ, obtinem si ultima relatie cautata.

Observatie. Putem sa consideram ca paralela PQ ontalneste prelungirile laturilor triunghiului ABC; demonstratia ramane in esenta aceeasi.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 3

Problema rezolvata.  Se considera un trapez OABM, de baze OM = b si AB = c, in care OA = a. Se alege un punct X pe dreapta OA; paralela prin X la baze taie MB in Y. Presupunand c > b, sa se exprime lungimea y a segmentului XY in functie de lungimea x a segmentului OX.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 4

Ipoteza:   OM ∥ XY ∥ AB

OA = a; OM = b; AB = c; OX = x; XY = y;

Rezolvare:

Va fi necesar sa definim mai multe cazuri, in functie de pozitia lui X pe dreapra OA.

Cazul 1. (fig. 1.10): X se afla intre O si A.

In toate cazurile vom duce prin O o paralela la BM si vom nota cu D intersectia cu AB iar cu Z intersectia sa cu XY. Din paralelogramele OMYZ, OMBD deducem ca YZ = BD = b. Cum b < c, rezulta ca punctul D, care va fi acelasi in toate cazurile ce le vom deosebi, este situat intre A si B, iar AD = c – b.

Din teorema fundamentala a asemanarii in triunghiul OAD intersectat de XZ =>\inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{XZ}{c-b} . Aceasta concluzie este valabila in toate cazurile, daca tinem seama de observatia de dupa teorema fundamentala a asemanarii.

In cazul 1, Z va fi intre X si Y, deci \inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{y-b}{c-b} }; in acest caz rezultatul este \inline \fn_jvn \large y=b+\frac{c-b}{a}x.

Cazul 2. (fig. 1.11): A se afla intre O si X.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 5

Acest caz corespunde de asemenea situatiei “Z intre X si Y”, deci rationamentul si rezultatul sunt aceleasi ca si in cazul 1.

Cazul 3. (fig. 1.12) : X se afla intre O si intersectia C a dreptelor OA si OM.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 6

In acest caz X se afla intre Y si Z, deci XZ = b – y si obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{b-y}{c-b}  , iar rezultatul este \inline \fn_jvn \large y=b-\frac{c-b}{a}x.

Alegand OC = x obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{OC}{a}=\frac{b}{c-b}; deci \inline \fn_jvn \large OC=\frac{ab}{c-b}, ceea ce ne permite sa descriem cazul 3 si astfel: O intre A si X\inline \fn_jvn \large x<\frac{ab}{c-b}.

Cazul 4. (fig. 1.13): O intre A si X, \inline \fn_jvn \large x>\frac{ab}{c-b}, cu alte cuvinte C intre O si X.

Matematica Capacitate Teorema fundamentala a asemanarii 7

In acest caz Y  se afla intre X si Z, deci XZ = y + b, \inline \fn_jvn \large \frac{x}{a}=\frac{y+b}{c-b} , iar rezultatul este \inline \fn_jvn \large y=\frac{c-b}{a}x-b.

Observatie. Daca am conveni sa consideram pe x “cu semnul +” cand X este “la dreapta” lui O si “cu semnul –“ cand X este la stanga lui O, pe y “cu semnul +” cand Y se afla in semiplanul “de deasupra” lui OA si “cu semnul –“ cand Y se afla in cel de dedesubt, atunci rezultatul din cazul 1 ar fi valabil in toate celelalte cazuri.

Vezi aici probleme pentru aceasta lectie!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.