Teorema bisectoarei

Teorema bisectoarei.  Bisectoarele interioara si exterioara a unui unghi dintr-un triunghi, impart latura opusa intr-un raport, egal cu raportul laturilor ce formeaza unghiul.

Matematica Capacitate Teorema bisectoarei 1

Ipoteza: ∢DAB≡∢DAC,∢EAB’≡∢EAC

Concluzie\inline \frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}

Demonstratia o vom schita numai. Alegem pe dreapta AB punctele D’, E’ astfel incat AD’≡AE’≡AC, D’ fiind pe semidreapta AB’ iar E’ pe semidreapta AB. Se arata ca CD’∥AD, CE’∥AE si se aplica teorema lui Thales in ∆BD’C intersectat de AD si in ∆BAE intersectat de CE’ etc.

Pe baza teoremei bisectorei vom rezolva:

Problema. Fiind date doua puncte A, B si un numar k diferit de l, sa se afle locul geometric al tuturor punctelor M pentru care \inline \frac{MA}{MB}=k (fig. 1.69).

Matematica Capacitate Teorema bisectoarei 2

Rezolvare:

Sa ducem bisectoarea interioara si cea exterioara a unghiului AMB. Ele vor intersecta dreapta AB in doua puncte C si D astfel incat, conform teoremei bisectoarei, \inline \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k. Deci punctele C si D sunt fixe, nu depind de M, ci doar de A, B si k. Avem si MC⊥MD…, deci M se afla pe cercul de diametru CD.

Pentru a rezolva complet problema, urmeaza sa demonstram ca orice punct M de pe cercul de diametru CD are proprietatea \inline \frac{MA}{MB}=k. Aceasta demonstratie intampina greutati mai mari decat ne asteptam. Vom proceda prin urmatoarea metoda. Vom alege un punct M pe cercul de diametru CD, vom considera dreapta CM si simetricul B’ a lui B fata de CM (fig. 1.70).

Matematica Capacitate Teorema bisectoarei 3

Despre punctele C si D stim ca au proprietatea ce trebuie stabilita, deci presupunem ca M este diferit de aceste puncte. Rezulta ca CM nu este perpendiculara pe AB, deci B’ nu se aflta pe AB si dreapta AB’ intersecteaza CM intr-un punct M’ (acest ultim fapt rezulta din BC≢CA, deci AB’∦CM Rezulta usor ca M’C este bisectoarea ∢AM’B, deci (teorema bisectoarei) \inline \frac{M^\prime A}{M^\prime B}=\frac{CA}{CB}=k.

Conform primei parti a rezolvarii, M’ se va afla pe cercul de diametru CD. Dar dreapta CM nu poate avea mai mult de doua puncte comune cu acest cerc, deci M’= M si \inline \frac{MA}{MB}=k.

Observatie. Pentru k = 1, locul geometric din problema este mediatoarea segmentului AB.

Cercurile ce apar ca locuri geometrice ale tuturor M cu \inline \frac{MA}{MB}=k, pentru un segment AB si pentru diversi k = 1, se numesc cercurile lui Apollonios.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.