Teorema lui Thales in cazul rapoartelor reale oarecare

Inainte de a demonstra teorema in acest caz, sa amintim cateva fapte relativ la numere reale.

a) Fiind date doua numere reale a si b, este adevarat una si numai una din relatiile a < b, a = b, b < a. Cu alte cuvinete , < este o relatie de ordine totala pe multimea numerelor reale.
b) Fiind date doua numere reale a si b, asa incat a < b, exista un numar rational r astfel ca a < r < b (evident, r nu este unic, deoarece, conform aceleiasi proprietati, va exista si un numar rational s cu proprietatea a < s < r, deci s < b etc.)
Exemplificam aceasta proprietate astfel: daca a = 2,738… si b = 3,069 putem lua r = 2,9; daca a = 2, 839997… si b = 2,8400002… putem lua r = 2,839998.
c) Daca avem doua numere reale a si b asa incat, pentru r rational, este adevarat ca (r < a) <=> (r < b) atunci a = b.
Aceasta este o consecinta a proprietatilor a), b). Intr-adevar, daca, de exemplu, am avea a < b, atunci alegem un r rational cu proprietatea a < r < b si avem r < b adevarat dar r < a fals, deci <- ar fi neadevarata, contrar ipotezei.

Putem trece acum la demonstratia teoremei lui Thales in cazul general (bazandu-se pe valabilitatea acestei teoreme in cazul cand unul din rapoartele ce apar este rational.)

Matematica Capacitate Teorema lui Thales in cazul rapoartelor reale oarecare 1

Fie r un numar rational astfel ca r < \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}, , deci r ∙ AB < AD. Sa construim un punct D’ situat in interiorul segmentului AD, (fig. 1.6), astfel incat AD’ = r ∙ AB. Paralela prin D’ la BC va intersecta AC intr-un punct E’ situat in interiorul segmentului AE. Conform teoremei lui Thales pentru raport rational, vom avea  \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=r, deci r < \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}.

Am aratat astfel ca, pentru r rational avem \inline \fn_jvn \large (r<\frac{AD}{AB})->(r<\frac{AE}{AC}).

La fel se arata ca pentru r rational avem \inline \fn_jvn \large (r<\frac{AE}{AC})->(r<\frac{AD}{AB}).

Pe baza proprietatii c) de mai sus, teorema lui Thales este complet demonstrata.

Observatie. Vom vedea in cele ce urmeaza ca, efectuand constructii geometrice asupra unor segmente cu lungimi rationale (chiar intregi), obtinem foarte usor segmente de lungimi irationale. De exemplu, lungimea diagonalei unui patrat de latura 1 este un numar irational.De aceea este important sa stim ca teorema lui Thales este adevarata in cazul cand rapoartele ce apar in ea sunt numere reale oarecare.

Teorema lui Thales

O paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 2

Ipoteza: DE∥BC

Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} 

Sa presupunem ca  \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{2}{7}. Sa impartim segmentul AB in 7 parti congruente prin punctele D1, D2, …, D6. Vom avea deci AD1≡D1D2≡…≡D5D6≡D6B. Sa ducem prin punctele D1, D2, …, D6         paralele la BC; ele vor intersecta latura AC in E1, E2, …, E6. Deci, in figura 1.2, vom avea D1E1∥D2E2∥…∥D6E6∥BC.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 3

Aplicand teorema liniei mijlocii in triunghiul AD2E2  precum si in trapezele D1E1E3D3, D2E2E4D4, …, D4E4E6D6, D5E5CB, obtinem AE≡ E1E≡…≡ E5E≡ E6C.

Sa observam acum ca \inline \fn_jvn \large \frac{AD_{2}}{AB}=\frac{2}{7}=\frac{AD}{AB}; deci AD≡ AD, adica D = D2. Deducem acum ca E = E2 si, in sfarsit, este vizibil ca \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=\frac{2}{7}  .

Observatia 1. La fel se demonstreaza ca, in fig. 1.2. avem  \inline \fn_jvn \large \frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}. Impartind relatia din concluzia teoremei cu cea scrisa aici, obtinem \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}. Deci, oricum am scrie concluzia teoremei lui Thales (determina segmente proportionale), obtinem un enunt adevarat.

Observatia 2.  Lungimea unui segment depinde de unitatea de masura aleasa pentru segmente, in schimb catul lungimilor a doua segmente nu depinde. Acest cat se numeste “raportul lungimilor celor doua segmente”.

Problema rezolvata 1.  Fie D un punct pe latura AB a unui triunghi ABC in care AB = 5 cm, BC = 8 cm si AC = 10 cm (fig. 1.3). Se stie ca AD = 2 cm. Prin D ducem o paralela la BC care taie AC in E. Sa se calculeze lungimile segmentelor AE, EC.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 4

Ipoteza: AB = 5,  BC = 8,  AC = 10,  AD = 2, DE ∥BC

Concluzia: AE = ? EC = ?

Rezolvare:

Triunghiul despre care e vorba exista deoarece 8 – 5 < 10 < 8 + 5.

Teorema lui Thales da \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, deci \inline \fn_jvn \large \frac{2}{5}=\frac{AE}{10}, de unde obtinem AE = 4        

EC = AC – AE = 6.

Problema rezolvata 2. Pe laturile unui unghi cu varful in O se dau punctele A, B respectiv C, D (fig. 1.4). Sa se precizeze pozitia punctului M de intersectie a dreptelor AC si BD calculand raportul  \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}.

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 5

Rezolvare: Pentru a putea aplica teorema lui Thales, sa ducem prin A paralela la BD si sa notam cu X punctul in care ea intersecteaza pe OC (AX ∥ BD) (fig. 1.5).

Matematica Capacitate Teorema lui Thales 6

Aplicam teorema lui Thales in ∆CXA: \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{DX}{DC}.

Aplicam teorema lui Thales in ∆OBD: \inline \fn_jvn \large \frac{DX}{DO}=\frac{BA}{BO}. => \inline \fn_jvn \large DX=\frac{DO\cdot BA}{BO} => \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{\frac{DO}{DC}\cdot BA}{BO}

Vezi aici probleme pentru aceasta lectie!

Linia mijlocie in triunghi

Linia mijlocie in triunghi = segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului.

Matematica Capacitate Linia mijlocie in triunghi 7

Proprietăți si teoreme ale liniei mijlocii in triunghi
  • Intr-un triunghi exista 3 linii mijlocii.
  • Teorema liniei mijlocii in triunghi. Fiecare linie mijlocie a triunghiului este paralela cu cea de-a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.
    • MO ∥ AB;[MO]=\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{2} ; MN ∥ BC;[MN]=\inline \fn_jvn \large \frac{BC}{2}; NO∥AC;[NO]=\inline \fn_jvn \large \frac{AC}{2}
  • Daca o dreapta trece prin mijlocul unei laturi a unui triunghi si este paralela cu o alta latura a triunghiului, atunci acea dreapta trece si prin mijlocul celei de-a treia laturi.
  • Considerand doua puncte pe laturile unui triunghi, daca dreapta care trece prin ele este paralela cu cea de-a treia latura, iar lungimea segmentului determinat de cele doua puncte este jumatate din lungimea celei de-a treia laturi, atunci aceasta este linie mijlocie in triunghi, iar cele doua puncte sunt mijloacele laturilor carora le apartin.

Teorema lui Thales = O paralelă DE la baza BC a unui triunghi ABC împarte laturile AB și AC în segmente proporționale:\inline \fn_jvn \large \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Matematica Capacitate Linia mijlocie in triunghi 8

Reciproca Teoremei lui Thales = Dacă o dreaptă determină pe două din laturile unui triunghi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului.