Sinusul si cosinusul unui unghi

Ne vom pune acum problema de a determina, cunoscand lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic si masura unuia din unghiurile ascutite, lungimea laturii opuse acelui unghi.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 1

Raspunsul la aceasta problema nu se poate da cu ajutorul unei formule care sa contina numai operatii cu numere cunoscute pana acum. Situatia nu este atat de “grava” incat sa fim obligati sa rezolvam de fiecare data o astfel de problema printr-o masuratoare. Anume, sa observam ca daca in doua triunghiuri dreptunghice cu m(∢A)=m(∢A’)=90° unghiurile din B si B’ sunt congruente atunci triunghiurile sunt asemenea (cazul 2) si deci \inline \frac{AC}{A^\prime C^\prime}=\frac{BC}{B^\prime C^\prime} , deci cunoscand ipotenuzele lor si cateta AC din primul determinam cu usurinta cateta A’C’ din celalalt. (fig.1.51).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 2

Cu alte cuvinte este suficient sa cunoastem raportul \inline \frac{AC}{BC} intr-un triunghi dreptunghic care are masura unghiului B egala cu x, pentru a putea calcula cateta opusa unui unghi de masura x in orice triunghi dreptunghic caruia i se cunoaste ipotenuza.

Ajungem la concluzia ca este preferabil sa caracterizam marimea unui unghi ascutit nu prin numarul sau de grade, ci prin raportul dintre distanta de la un punct de pe una din laturile sale la cealalta latura si distanta de la acel punct la varful unghiului. (fig. 1.52).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 3

Rationamentul de mai sus (cu triunghiuri asemenea) ne arata ca acest raport nu se schimba daca inlocuim punctul cu alt punct de pe acea latura sau de pe cealalta sau daca inlocuim unghiul cu unul congruent.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 4

\inline \frac{AM}{AO}=\frac{BN}{BO}=\frac{CP}{CO}=\frac{DQ}{DO^\prime}

Definitie. Daca 0 < x < 90°, se numeste sin(x) si se citeste “sinus de x”, raportul dintre cateta opusa a unghiului x si ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic care are unul din unghiurile ascutite de masura x.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 5

Am vazut mai sus ca “definitia este corecta”.

Aceste unghiuri nu se masoara, ele se pot calcula printr-o formula in care apare o “suma imfinita”, formula ce “incepe” astfel:

sinx=\frac{\pi x}{180}-\frac{1}{6}{(\frac{\pi x}{180})}^3+\frac{1}{120}{(\frac{\pi x}{180})}^5-\ldots

Dam mai jos un tabel (calculat, de exemplu, pe baza formulei de mai sus), in care figureaza valorile lui sin x, cu trei zecimale exacte, pentru toti x exprimati printr-un numar intreg de grade, cuprins intre si 90°.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 6

Cu ajutorul acestui tabel putem raspunde la doua tipuri de intrebari:

  1. Sa se afle sin 23°, Gasim in tabel sin 23° = 0,391; mai precis deoarece tabelul contine valori aproximative: 0,3905 < sin 23° < 0,3915.
  2. Sinusul unui unghi este 0,32. Care este masura x a acelui unghi? Din tabel gasim ca sin 18° = 0, 309 < 0,32 < 0,326 = sin 19°, deci x este cuprins intre 18° si 19°.

Exista si tabele mai precise, cu mai multe zecimale, si din “minut in minut” etc.

Observatia 1. Putem determina nasura x a unui unghi daca stim de exemplu ca \inline sin\frac{x}{2}=0,16 . Din tabel obtinem 9°<\inline \frac{x}{2}<10° deci 18°<x<20°.

Observatia 2.Din cele cunoscute pana acum putem deduce valoarea exacta a sinusurilor a trei unghiuri. Stim (teorema lui Pitagora) ca intr-un triunghi dreptunghic isoscel de cateta a ipotenuza este \inline a\sqrt2.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 7

Deci sin 45°=\inline \frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.

Stim ca intr-un triunghi dreptunghic de ipotenuza a ce are un unghi ascutit de 30° cateta opusa acelui unghi este \inline \frac{a}{2} (deoarece “completand” triunghiul se obtine un triunghi echilateral, fig. 1.56).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 8

Deci sin 30°=\inline \frac{1}{2}. In acelasi triunghi lungimea celeilalte catete este \inline \frac{a\sqrt3}{2} (teorema lui Pitagora), deci  sin 60°=\inline \frac{\sqrt3}{2}.

Problema rezolvata 1. Cunoscand ipotenuza si un unghi ascutit ale unui triunghi dreptunghic, sa se afle catetele. (fig.1.57).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 9

Ipoteza: BC=a,m(∢B)=x,m(∢A)=90°

Concluzie: AC=?,AB=?

Rezolvare:

Avem prin definitie \inline \frac{AC}{a}=sinx, deci AC = a sin x. Teorema lui Pitagora da

\inline AB=\sqrt{a^2-{AC}^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2x}=a\sqrt{1-\sin^2x}.

Mai putem scrie, deoarece m(∢C)=90°-x si AB=a,sinC=a sin⁡(90°-x).

Observatie. Sa remarcam ca am scris \inline \sin^2x in loc de sin x2aceasta este o conventie de scriere.

Problema rezolvata 2. Cunoscand o cateta si ipotenuza unui triunghi dreptunghic, sa se afle unghiurile triunghiului. (fig. 1.58)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 10

Ipoteza: m(∢A)=90°,BC=a,AC=b

Concluzia: m(∢B)=?m(∢C)=?

Rezolvare:

Conform definitiei avem \inline sinB=\frac{b}{a} si aceasta relatie constituie un raspuns la intrebarea “care este masura ∢B?”.

Masura ∢C se determina fie din m(∢C)=90°-m(∢B)fie din \inline sinC=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} (teorema lui Pitagora, \inline sinC=\frac{AB}{a}).

Tinand seama de rezultatul din problema rezolvata 1, se da:

Definitie: Daca 0° < x < 90° se numeste cos x si se citeste “cosinus de x” numarul sin (90°-x).

Sinusul si cosinusul unui unghi se numesc si “functii trigonometrice ale acelui unghi”.

CE STIM DESPRE SINUS SI COSINUS?

  1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90° avem AC = BC ∙ sin B, AB = BC ∙ cos B (fig. 1.59)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 11

b. 0<sinx<1;0<cosx<1.

c. cosx=sin(90°-x). Aceasta ne permite sa folosim tabelul anterior si la calculul cosinusului unui unghi dat si la determinarea unui unghi cand i se cunoaste cosinusul.

Din rezolvarea problemei 1 am vazut ca \inline cosx=\sqrt{1-\sin^2x} deci \inline \sin^2x+\cos^2x=1 pentru orice x cuprins intre si 90°. Aceasta este o expresie “trigonometrica” a teoremei lui Pitagora.

\inline sin30°=\frac{1}{2},sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2},sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} , deci

\inline cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2},cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2},cos60°=\frac{1}{2}

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.