Simetria fata de o dreapta si un plan

Simetria fata de o dreapta

Fiind data in spatiu o dreapta (a), numita axa de simetrie, doua puncte (P si P’) sunt simetrice unul fata de celalalt daca axa de simetrie este mediatoarea segmentului PP’ care le uneste. Cu alte cuvinte, ducand din P perpendiculara PO pe a (O∈a) si prelungind-o cu segmentul OP’≡OP, punctul P’ se numeste simetricul lui P. Sa aratam ca simetria fata de o axa este o izometrie (pastreaza distanta).

Matematica Capacitate Simetria fata de o dreapta si un plan 1
fig. 17 3

Fie in spatiu A, A’ simetrice fata de a si B, B’ simetrice fata de a (fig.17.3). Prin Q, mijlocul segmentului BB’, ducem segmentul CC’, congruent si paralel cu AA’, astfel incat CC’ sa aiba mijlocul tot in Q. Planul determinat de CC’ si BB’ este perpendicular pe a. In acest plan, ⊿CBQ≡⊿C’B’Q’. Dar si AC≡A’C’, ca laturi opuse ale unui dreptunghi. Stiind ca AC∥A’C’∥OQ, deci AC si A’C’ sunt perpendiculare pe planul (BB’C), deci AC⊥CB, A’C’⊥C’B’. Rezulta congruenta triunghiurilor dreptunghice ACB si A’C’B’=>AB≡A’B’. Deci, simetria fata de o axa pastreaza distanta. Deci si coliniaritatea, coplanaritatea si congruenta unghiurilor.

Simetria fata de un plan

Simetricul unui punct (A) fata de un plan (α) este simetricul punctului fata de proiectia sa pe plan. Cu alte cuvinte, daca ducem AO⊥α si prelungim segmentul AO cu OA’≡AO (fig.17.4), obtinem simetricul A’ a lui A.

Matematica Capacitate Simetria fata de o dreapta si un plan 2
fig. 17 4

Sa aratam ca aceasta simetrie pastreaza si ea distanta intre doua puncte. Fie A’ simetricul lui A si B’ simetricul lui B fata de planul α. (fig.17.5). OA≡OA’, BC≡CB’, AO⊥α, BC⊥α. Evident, AA’∥BB’ (perpendiculare pe acelasi plan), deci AA’ si BB’ sunt coplanare.

Matematica Capacitate Simetria fata de o dreapta si un plan 3
fig. 17 5

Ducem AM∥OC∥A’N (M∈BC, N∈CB’). Rezulta ca ∢M1≡∢N1, m(∢M1 )=90°, AM≡A’N (paralele cuprinse intre paralele), BM=NB’ (diferente de segmente congruente). Deci ⊿AMB≡⊿A’NB’ => AB=A’B’ Consecintele 1…5 opereaza aici.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.