Sfera

Definitie. Se numeste sfera de centru O si raza R > 0, locul geometric al tutror punctelor M din spatiu, pentru care OM = R.

Matematica Capacitate Sfera 1
fig 18 23

Teorema. Intersectia dintre un plan si o sfera este sau vida, sau formata dintr-un singur punct, sau un cerc avand drept centru proiectia centrului sferei pe acel plan.

Matematica Capacitate Sfera 2
fig. 18 24; fig. 18 25; fig. 18 26

Demonstratie. Fie O centrul sferei, R raza sa si fie α un plan. Ceea ce cere enuntul este de a determina locul geometric al punctelor M din α, pentru care OM=R.

Fie P piciorul perpendicularei din O pe planul α.

Daca R < PO, cum OM > OP, oricare ar fi M∈ α, atunci nu exista puncte M pentru care OM = R (fig. 18.24).

Daca R = OP, atunci OM = R, M∈α este posibil numai pentru M=P (fig. 18.25), oblicele fiind mai lungi decat perpendiculara. In acest caz, intersectia se reduce la punctul P.

Daca R > OP, atunci OM = R este echivalent cu MP=\sqrt{R^2-{OP}^2} deoarece OP⊥PM, si deci, intersectia este cercul de centru P si raza \sqrt{R^2-{OP}^2}(fig.18.26).

Teorema. Intersectia a doua sfere distincte este sau vida, sau formata dintr-un singur punct, sau un cerc.

Matematica Capacitate Sfera 3
fig. 18 27

Demonstratie. Este clar ca daca sferele sunt concentrice distincte intersectia lor este vida.

Matematica Capacitate Sfera 4
fig. 18 28

Fie O, O’ centrele sferelor si R, R’ razele lor. Fie M un punct comun al celor doua sfere. Avem MO = R si MO’ = R’, OO’ = constant (fig. 18.27).

Existenta lui M reclama OO’ ≤OM+O^’ M=R+R’. Deci daca R+R^'<OO’, intersectia este vida (fig. 18.28). Acelasi lucru se intampla daca OO’<|R-R’|.

Daca OO’=R+R’ sau daca OO’=|R-R’|, atunci M trebuie sa se afle pe OO’, intr-un punct bine determinat de OM = r, O’M=R’, deci, in acest caz, intersectia se reduce la un punct.

In fine, daca |R-R’|<OO^'<R+R’, atunci, in orice plan ce trece prin dreapta OO’, putem construi un triunghi (neredus la o dreapta) MOO’ cu MO = R, MO’ = R’.

Sa observam ca triunghiul MOO’ este bine determinat, fiind date varfurile O, O’ ca si lungimile laturilor OM si O’M. In particular, lungimile OP si MP, unde P este piciorul perpendicularei din M pe OO’, sunt bine determinate (faptul ca P este de aceeasi parte a lui O ca si O’ sau nu, de asemenea, este bine determinat), P este deci fix. M este situat in planul β perpendicular pe OO’ in P, la distanta fixa de P, deci descrie un cerc de centru P, situat in planul β.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.