Rotatii

Definitie. Fie C un punct fixat si u o masura de unghi orientat. Rotatia de centru C si unghi orientat u se defineste drept transformare geometrica RC,n ce duce din C, iar un punct P≠C intr-un punct Q=RC,n(P), definit prin ≯(CP,CQ)=u, CQ≡CP.

Matematica Capacitate Rotatii 1

Observatii.

  1. Rotatia RC,0° de unghi nul este transformarea identica I.
  2. Rotatia RC+/180° de unghi orientat 180° este tocmai simetria fata de C.

Matematica Capacitate Rotatii 2

Teorema. Orice rotatie RC,u este o izometrie.

Demonstratie. Va trebui sa alegem doua puncte oarecare M, N sa notam M’=         RC,u(M), N’= RC,u(N) si sa demonstram ca M’N’≡MN.

Cazul “general” C, M, N necoliniare.

Ipoteza: CM≡CM’,CN≡CN^’,≯(CM,CM’)=≯(CN,CN’)(u)

Concluzia MN’=MN

Demonstratia in acest caz.

Avem ≯(CM,CN)=≯(CM,CM’)+≯(CM’,CN)=≯(CM,CM’)+≯(CM’,CN’)+≯(CN’,CN)=≯(CN,CN’)+≯(CN’,CN)+≯(CM’,CN)=≯(CM’,CN’), deci ∢MCN≡∢M’CN’. Rezulta ∆MCN≡∆M’CN’ (cazul 1) si deci M’N’≡MN.

Cazul “special” C, M, N coliniare.

Subcazul C = M sau C= N rezulta imediat din definitie: CN≡CN’….

Subcazul C≠M,C≠N. Din demonstratia de la cazul general rezulta ≯(CM,CN)=≯(CM’,CN’), valoarea lor fiind in cazul de fata 0° sau 180°. Deci daca semidreptele CM, CN sunt de acelasi sens, asa sunt si semidreptele CM’, CN’, iar daca CM, CN sunt de sensuri contrare, asa sunt si CM’, CN’.

Matematica Capacitate Rotatii 3

In prima situatie avem M’N’= |CM’ – CN’| = |CM – CN| = MN, iar in a doua M’N’ = CM’ + CN’ = CM + CN = MN.

Un carusel executa o rotatie.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.