Rotatie in jurul unei axe

Se dau: o axa a si, intr-un plan perpendicular pe ea, un unghi orientat ≯θ, cu varful pe axa (fig. 17.8). Ce inseamna a roti punctul M din spatiu, cu unghiul ≯θ, in jurul axei a?

Matematica Capacitate Rotatie in jurul unei axe 1
fig. 17 8

Ducem MM’⊥α, (M’∈α). Consideram translatia de vector \vec{M\prime M}\a planului α. Planul translatat trece prin M, iar O devine, prin translatie,O’∈a. Aplicam lui M o rotatie de unghi  ≯θ in planul translatat, si M” va fi “rotitul” lui M in jurul axei a cu unghiul ≯θ.

Sa demonstram ca rotatia in jurul unei axe este o izometrie. Daca, prin rotatia de axa a si de unghi ≯θ, se duce A in A’, aceasta se scrie A^\prime=R_{\left(a,\ \theta\right)}(A).

Sa demonstram ca daca R_{\left(a,\ \theta\right)}\left(A\right)=A si R_{\left(a,\ \theta\right)}\left(B\right)=B\prime atunci AB≡A’B’. Proiectam pe planul α, pe O’B in OC si pe O’B’ in OC’ (vezi notatiile din figura 17.9).

Matematica Capacitate Rotatie in jurul unei axe 2
fig. 17 9

Rezulta: ⊿OCA≡⊿OC’A’ (cazul 1 de congruenta, unghiurile cu laturile respectiv congruente, fiind diferente dintre unghiuri congruente cu acelasi unghi). De aici rezulta congruenta triunghiurilor dreptunghice BCA si B’C’A’ (catete congruente), deci AB≡A’B’ q.e.d.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.