Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare

Ni se pare mai simplu sa formulam folosind direct figura.

Matematica Capacitate Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare 1
fig. 6 3
  1. Se da d⊥α, a⊂α, b⊂α, c⊥ Se cere a⊥b. (fig. 6.3).

Demonstratie. Dreapta b este perpendiculara pe planul triunghiului MAP pentru ca este perpendiculara pe doua drepte concurente din acest plan (pe d si pe c). Dar a este continuta in planul triunghiului MAP. Rezulta ca a⊥b.

  1. Se da d⊥a, c⊥b, a⊥b, a⊂α, b⊂α. Se cere d⊥α.

Demonstratie. Dreapta b este perpendiculara pe planul triunghiului MAP, fiind perpendiculara pe c si pe a. Deci, este perpendiculara si pe d, care este continuta in planul lui MPA, avand doua puncte (M si A) in acest plan. Deci d⊥b. Din ipoteza d⊥a, deci d⊥α  (pentru ca α contine atat pe a cat si pe b, concurente in P).

Exercitiu. Incercati sa demonstrati una din aceste reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare si prin reciproca teoremei lui Pitagora.

Comentariu. Cum se construieste perpendiculara dintr-un punct pe un plan, folosind teorema celor trei perpendiculare? Luam o dreapta b in planul α. Fixam piciorul P al perpendicularei din M pe b. Ducem apoi, in planul α, perpendiculara a in P pe dreapta b (fig.6.4).

Matematica Capacitate Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare 2
fig. 6 4

Consideram perpendiculara din M pe a (dusa in planul determinat de M si a). Aceasta este dreapta cautata (MA).

Observatie. Acest procedeu, in comparatie cu cel din constructia anterioara a perpendicularei pe un plan dintr-un punct exterior, nu foloseste intersectii de plane, date prin elementele lor, ci numai constructia unui plan ce trece printr-un punct si o dreapta data.

Vom vedea ca aceasta constructie se va dovedi utila in multe probleme de calcul.

De ce apar doua teoreme reciproce la teorema celor trei perpendiculare? Pentru ca ipoteza este formata din doua propozitii.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.