Puterea unui punct fata de un cerc

Teorema urmatoare este o aplicatie a asemanarii triunghiurilor. Ea ar fi aparut ca o problema la paragraful respectiv, daca nu ar fi prezentat o importanta deosebita prin consecintele ei, ce vor fi enuntate in paragraful urmator.

Teorema:  Daca printr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem o secanta ce intersecteaza cercul in A, B, atunci produsul MA ∙ MB este acelasi pentru toate secantele ce trec prin M.

In demonstratie vom deosebi doua cazuri.

Cazul 1.  M este in interiorul cercului. (fig. 1.32)

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 1

Concluzia: MA ∙ MB = MC ∙ MD

Demonstratie:

(cazul 2) deoarece  (opuse la varf) si  (ambele au ca masura jumatate din masura arcului CXB). Deci \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB} de unde, scriind ca produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obtinem concluzia dorita.

Cazul 2.  M este in exteriorul cercului.

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 2

Concluzie: MA ∙ MB = MC ∙ MD

Demonstratie:

(cazul 2) deoarece (identice) si  (ambele au ca masuri jumatate din cea a arcului BXC). Deci \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB} etc.

Observatie.  Teorema este adevarata, in cazul cand M este exterior cercului, si pentru tangentele duse din M la cerc; pe o tangenta, punctele A si B coincid. Demonstratia se face la fel; pentru a nu ne baza pe o proprietate a tangentei, sa observam, in figura 1.34, in care O este centrul cercului, ca \inline \fn_jvn \large m(\sphericalangle MAC)= 90^{\circ}-m(\sphericalangle OAC)= \inline \fn_jvn \large \frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot m(\sphericalangle OAC))=\frac{1}{2}m(\widehat{AXC}).

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 3

Teorema de mai sus ne conduce la urmatoarea:

Definitie: Fie M un punct si (C) un cerc.

  1. Daca M este in exteriorul cercului, numim puterea lui M fata de cerc valoarea MA ∙ MB, unde A si B sunt intersectiile unei drepte oarecare ce trece prin M cu cercul (C), luata cu semnul “+”.
  2. Daca M este pe cerc, spunem ca puterea lui fata de cerc este 0.
  3. Daca M este in interiorul cercului, numim “puterea lui M fata de cerc” valoarea MA ∙ MB, unde A si B sunt intersectiile unei drepte oarecare ce trece prin M cu cercul (C), luata cu semnul “-”.

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 4

Observatii.

  1. Ce ne-ar fi impiedicat sa dam definitia de mai sus inainte sa demonstram teorema? Daca vrem sa definim “puterea unui punct M fata de un cerc (C) aceasta trebuie sa fie un element, in cazul nostru un numar, care sa depinda numai de punctul M si de cercul (C). Examinand definitia de mai sus, vedem ca numarul MA ∙ MB definit in ea poate in principiu sa depinda nu numai de M si de cercul (C) ci si de “directia” secantei MAB, cu alte cuvinte, incercand sa calculam puterea lui m fata de cercul (C) ci si de “directia” secantei MAB, cu alte cuvinte, incercand sa calculam puterea lui M fata de cercul (C) am putea obtine rezultate diferite daca obtinem secante diferite. Daca intr-adevar asa ceva s-ar intampla, am spune ca “directia este incorecta”. Teorema de mai sus arata ca asa ceva nu se intampla, deci ca definitia “este corecta”, adica, oricum am alege secanta MAB, obtinem aceeasi valoare pentru MA∙MB. (In cazul de fata am fi putut ocoli discutia de mai sus, definind puterea punctului cu ajutorul unei secante precizate; cea mai naturala alegere ar fi fost: secanta ce trece prin centru cercului fata de cerc). Pe de o parte o astfel de definitie ar fi fost artificiala, iar pe de alta parte nu in toate cazurile in care se dau definitii in situatii cum este cea descrisa mai sus se pot alege astfel de “obiecte privilegiate” cum a fost aici secanta ce trece prin centru.)
  2. De ce consideram puterea unui punct ca avand semnul pozitiv sau negativ, dupa cum este in exteriorul sau in interiorul cercului? Stim ca daca spunem: fiind dat un punct A pe o dreapta d, alegeti pe d un punct B astfel incat segmentul AB sa aiba 2 c, problema are doua solutii, deci pozitia lui B nu este precizata prin fraza de mai sus. Aceasta nedeterminare poate fi inlaturata considerand, in loc de segmente AB, care sunt tot una cu BA, segmente “orientate” AB, care nu vor fi socotite tot una cu BA. Pe o dreapta data d alegem “un sens” (materializat printr-o semidreapta a ei s) si vom conveni sa consideram, daca segmentul AB are de exemplu 2 cm, ca segmentul orientat AB are +2 cm daca semidreapta AB are acelasi sens cu semidreapta s (deci este continuta in s sau contine pe s) si ca segmentul orientat AB are – 2cm daca semidreapta AB este de sens contrar cu semidreapta s (deci nu are puncte comune cu s sau daca intersectia lor este interiorul unui segment.)

Matematica Capacitate Puterea unui punct fata de un cerc 5

  • AB = – 2 cm
  • CD = + 2 cm
  • EF = + 2 cm
  • GH = – 2 cm

Dupa aceasta conventie, daca avem o dreapta d, o semidreapta s, un punct A pe d si un numar a pozitiv sau negativ, putem gasi un punct B pe d si numai unul astfel incat lungim segmentului orientat AB sa fie a. Daca acceptam si segmente orientate de forma AA, de lungime nula, atunci cele spuse sunt valabile si in cazul a = 0.

In cazul puterii punctului fata de cerc, in definitia de mai sus, este clar ca, oricum am alege sensul pe secanta MAB, segmentele orientate MA si MB vor avea acelasi sens, deci acelasi semn, cand M va fi in exteriorul cercului si vor avea sensuri deci semne contrare cand M va fi in interior. Cand M este pe cerc, unul din aceste segmente este nul. Deci produsul MA ∙ MB al lungimii segmentelor orientate MA, MB va fi pozitiv cand M va fi in exterior, nul cand M va fi pe cerc si negativ cand M va fi in interior. In acest mod “se explica” definitia de mai sus.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.